有界

以前, こちらの記事で話題にした件ですが, やはり反例がありました. ブルバキ数学原論 積分 vol.3, p.34, 系 4 の statement で, F を可算型ノルム空間, m を F の強双対 F'_β の中に値を取る T 上の測度とし, F'_β の標準ノルムに関して上有界とする時, m は基底 |m| の測度になるという記述がありますが, m が F の弱双対 F'_s に値を取る測度として基底 |m| であっても, F'_β に値を取る測度としては基底 |m| にならない反例があります. 証明には, ブルバキ数学原論 vol.3, pp.71-72, 演習 17) を使います…

最近, 有理数や無理数の話をしたので, 以前から語りたかった関数を紹介する.そもそも, 集合Aから集合Bへの関数とは, Aの任意の要素をBの或るひとつの要素に対応させる物なので, 次のような関数も考えられる.関数 f:R→{0, 1}⊂R をf(x)＝1 (xが有理数のとき)f(x)＝0 (xが無理数のとき)と定義する. fはディリクレ関数と呼ばれる.fのグラフは描けない. 任意の有理数に対して, それにいくらでも近い無理数が存在し, 同時に, 任意の無理数に対してそれにいくらでも近い有理数が存在するからである. つまりfは至る所で(定義域全体で)グラフが不連続な関数である. しかし「殆んど至…

8/6(土) 晴れ 9時過ぎに起きた。わからんわからん言ってて何も進んでなかった昨日のやつをまたどうにかしようと思って試行錯誤してた。とりあえず今取ってきてたやつをもう少しいじってみた。なんか使えないか考えてたけどN-2 ringになるというのに着目してなんか考えてみた。一つ証明がわかってないけど使えそうな有界性みたいなのがあったからそれを使ってみている。complete Noether local domainならNagata ringだからこれを使ってみた。なんかこれ使うと他の方法で示してたやつがうまく行ってしまいそうな気もするので注意して使わないといけなさそう。 麻雀配信を見ながら夜まで…

√2はもしかしたら虚数かもしれないという話ではなく, そもそも実数として存在するのかという話である.「√2は無理数である」は冗長には「√2は実数であり, 特に√2は無理数である」と言える. √2が無理数であることが正しいのは, √2が実数だからである. では√2は本当に実数なのだろうか？高校数学では, 有理数が, 有限小数か循環節のある無限小数であることに言及した上で, 無理数を循環しない無限小数であることを定理または定義として述べる. (多くは定理とするようである. 復習:https://pdem.hatenadiary.com/entry/2022/07/15/231042 . ) そして…

数列とは 数列の収束・発散 数列の有界 定理1 収束する数列は有界列 定理2 極限の性質 定理3 有界の別の表し方 定理4 空集合は有界 数列とは (実)数列とは、$\mathbb{N}$から$\mathbb{R}$への写像のことをいい、第$n$項が$a_n$である数列のことを$\{a_n\}_{n=1}^\infty$とかく。ただ、単に$\{a_n\}$と省略することが多い。 数列の収束・発散 数列$\{a_n\}$と$a\in \mathbb{R}$に対して、$a_n$が$a$に収束するとは、任意の$\varepsilon>0$に対しある$N\in \mathbb{N}$が存在して、$n …

中国には呉驥揚博士という米国MBTI認定ユーザーを称する方がおり、MBTIの解説を行っているチャンネルが見つかる。音声を拾い、訳してみる。 ここではE-I尺度について。 聞き取れない所が1センテンスあったので飛ばした。内外向比較の例として水滸伝の登場人物を挙げている箇所があるが、私が面白くないので飛ばした。 心理学の性格類型論においては、スイスの心理学者であるカール・ユングが打ち出した内向型・外向型の理論が最も重要である。1913年、カール・ユングはドイツのミュンヘン国際精神分析会議で内向型・外向型の性格分析を打ち出した。その後、彼は1921年に発表した心理類型学の本の中で、この2つの性格の分…

問題 解答 旧解答 新解答との異同 a b c SLP & Evan Chen 別解 正体 雑感 問題 問題 2. $3$ 以上の整数 $n$ で, 次の条件をみたす $n+2$ 個の実数 $a_1, a_2, \dots, a_{n+2}$ が存在するものをすべて求めよ. $a _ {n+1}=a _ 1$, $a _ {n+2}=a _ 2$ $i=1,2,\dots,n$ に対して, $a _ i a _ {i+1} + 1 = a _ {i+2}$ IMO 2018 公式日本語訳 解答 旧解答 2018 年に数学オリンピック財団が付した解答は次の通りです。ただし、順序付きリストは引用者…

例1 例2(ワイエルシュトラスの多項式近似定理) 例3(スターリングの公式) 例1 極限\begin{align} \lim_{n \to \infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{x_1 + \cdots + x_n} dx_1 \cdots dx_n \end{align}を求めよ. 解答 を な確率変数列で, とする. 大数の強法則より, \begin{align} \frac{X_1 + \cdots + X_n}{n} \xrightarrow{a.s.} E[X_1] = \frac{1}{2}, …

302．商賈在朝，則貨財上流①；婦言②人事，則賞罰不信；男女無別，則民無廉恥。而求百姓之安③、兵士之死節④，不可得也。（卷三十二 管子） 【注釈】①貨財上流：因賄賂風行而使財富流向朝廷及官吏手中。②婦言：后妃妻妾之言。③安：《治要》「商務本」斷句為：而求百姓之安、兵士之死節。校勘記：「安下有難字」。「天明本」斷句為：而求百姓之安兵、士之死節。校勘記則為：「兵作難」。今從商務本。「安難」謂不避禍難。④死節：為守住節操而犧牲。 【白話】商人在朝做官，賄賂就會風靡上層；后妃妻妾干預朝政，獎賞處罰就不會準確；男女沒有界限，人民就沒有廉恥。如此，卻要求百姓為君主不避禍難，兵士為朝廷捐軀，是不可能的。 【…

こちらの本を自分の言葉で書いてみる。 指数的現象 まず、マルサスの法則を考える 人口に比例した数、増えるタイプ さっきは定数にしたのを、時間依存的関数とする。 これを解くには、変数分離形が必要 さらに、初期条件をつける この時に、リプシッツ条件を満たすなら、初期値問題の解が一意になる。 人口の増え方は上限あるのでは、と考えてみる。 ロジスティック方程式 他の方程式 同次形 分数を別の文字で置いてやれば、同じ作業 和でひっくるめるやつ 定数変化法 先に、定数だと思って式を解いて、（この場合、変数分離） 後で、時間依存的な関数と思い出して、式に代入してみて、 その関数の具体的な形を決めていく。 米…

本記事では, 物理や工学で有名な, デルタ関数が存在しないことを数学的に証明します. デルタ関数 δ : R → R ∪ {+∞} は, δ(x) = 0 for x ≠ 0 かつ, R 上の任意のコンパクト台の連続関数の全体 K の任意の元 f に対し, ∫f(x)δ(x)dμ(x) = f(0) と言う性質を満たす, と言う『定義』です. ここに, 積分は, R 上のルベーグ測度 μ による積分です. δ は R 上有界とは限らないため, リーマン積分は適用できません. さて, このような関数 δ が存在するとすると, 明らかに δ は R 上ルベーグ可測で, δ と R 上のルベーグ測度…