有界
距離空間Xの部分集合Aが有界であることの定義は，適当なx Xを中心とする半径R>0の開球B(x, R)にAが含まれること．
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修論が無理すぎて厳しい話Part1
こんにちは。ひよこてんぷらです。修士論文です。無理です。 まあいきなりこんなこといってもあれなので、つらつらと苦しみをつづっていきます。 もうそろそろ修論を書こうということで指導教員からテーマを与えられました。そのテーマが放物型Keller Segel方程式の一番広い初期データにおける解の存在と解析性を示そうという話です。 放物型Keller Segel方程式とは次のような方程式です。 \begin{align}\left\{\begin{array}{rll}\partial_tu &=\Delta u-\nabla \cdot (u\nabla v) & x \in \mathbb{R}^…
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近況報告＆束論カードゲームの製作状況について
皆さん、おはこんばにちは(死語？)。Solyuです。何と２年近くブログを放置していたことに気付きました。多分エタってないので安心して下さい。安心して下さい(念押し)。 ２年の間に数学甲子園で２連覇し、メルアイコンに参考書・ホワイトボードを頂き、数理の翼に参加し、東工大に合格し、色々という言葉で収めてしまうのも勿体ないほどの経験をしたと思います。COVID-19拡大の影響で色々なことが大幅に変更され、私の身のまわりでも授業がオンラインになったり、工大祭(東工大の文化祭のようなものです)が中止になったりといった出来事がありました。インドア傾向寄りなのでそこまで外出自粛で精神に悪影響が出ることはなか…
二者択一定理とな＿＿『線形計画法』
線形計画法 (応用最適化シリーズ)作者:並木 誠発売日: 2008/06/01メディア: 単行本 工学，経済，金融，経営学など幅広い分野で用いられている線形計画法の入門的教科書。例，アルゴリズムなどを豊富に用いながら実践的に学べるよう工夫された構成 朝倉書店の紹介ページより とりあえず２章まで読んだから感想を書きます。あんまり同じ本が続くと見栄えしないし、私としても退屈なので今後は適宜ほかの本を混ぜていこうかと思いますが。 ２章の内容は、基本定理と強双対定理です。目的関数値が有界で、実行可能解がとりあえず１個以上存在するなら最適解が存在するというのが基本定理。強双対定理というのは、あれです、双…
なつやすみ(よんじゅうきゅうにちめ)
8:00起床。 9:00～11:45複素解析の勉強会。前回の復習をメインにしてたらあんまり新しい範囲をやれなかったのが少し反省。とはいえコーシーの積分定理の応用例の辺りを色々見れたので個人的にはそこそこ満足のいくものだった。リウビルの定理とかなかなか面白いなぁと思った。複素解析の中では一致の原理と並んで今のところ面白いと思ってる。複素解析何も知らんけど。 14:00～16:30で4継練習。心配してた割には意外と綺麗に渡って少し安心した。もう少し攻められそうだけどとりあえず予選は安全第一でいくと思う。後は個人の調子を上げていけばなんとか形には出来そうなので良かった。 夜は加群十話の群の表現の辺り…
In Short, What is the Neo-Fregeanism from a Philosophical Point of View?
目次 序論 Neo-Fregean の問いと答え概要 論文要約前置き 論文各段落要約 1. 哲学的・個人的動機 2. Frege の数学の哲学 3. Neo-Fregean による見取り図 4. 結論 Neo-Fregean の問いと答え再考 疑問点三つ 補遺 注意 このブログでは、研究をしているのではありません。 またこのブログでは、哲学をしているのではありません。 これらをご理解の上、以下をご覧くださいましたら幸いです。 注意終わり 序論 先日、部屋の中に積んである本の一つを何気なく手に取り、そこに収められている次の論文を読んでみて、大変面白く感じました。 ・ Roy T. Cook ''…
変分法の直接法で、ラプラシアンの第一固有関数と第一固有値を手に入れる
この記事では, 滑らかな有界領域 に対して Dirichlet Laplacian の第一固有関数 と第一固有値 を変分的な手法で得ます. すなわち, 次の Dirichlet 条件付き楕円型偏微分方程式を満たす固有値 と固有関数 を求める問題を考えましょう. \begin{equation} \begin{cases} - \Delta u = \lambda u, &\text{in } \Omega,\\ u = 0, &\text{on } \partial \Omega. \end{cases}\tag{P} \end{equation}簡単のため, 固有値の中でも最小の第一固有値と…
Navier Stokes方程式の論文を読もう！
どうもこんにちは。ひよこてんぷらです。夏休みだのなんだのうかうかしていたらもうおしまいです。夏休み明けからゼミは対面が復活し、週に一度は大学に向かう予定です。まあ夏休み中はゼミがなくても質問があればメールで指導教員が対応なさってくれるとのことでしたので、1,2週間程度に1回ほどメールを送り、かなり良くしてくださいました。なんなら対面で一度説明を受けてもわからない内容でも、書面だと何度も見返しながら理解できるのでとても効果的です。まあかわりに文書を作成する指導教員側の手間はあるのですが……(負担かけてごめんなさい) さて、だいぶ間が空きましたけど、何をしていたかというとNavier Stokes…
Ascoli-Arzeràの定理
次回からソボレフ空間のコンパクト性定理の話をしたいので, その準備としてAscoli-Arzeràの定理を紹介します. [定理] (Ascoli-Arzeràの定理) をコンパクトHausdorff空間とし, を 上の連続関数空間 の部分集合とする. このとき が で相対コンパクトであることと, が で有界かつ同程度連続であることは同値である. まず用語の確認をしましょう. [定義] 相対コンパクト 距離空間 の部分集合 が相対コンパクトであるとは, の閉包がコンパクトであることをいう. 距離空間ではコンパクト性と点列コンパクト性が同値になるので, 上記は の任意の点列が で収束部分列をもつ …
Poincaréの不等式
[定義] 空間 [定理] (Poincaéの不等式) を有界開集合, とする. このとき, . (証明) なので を の外で0として 全体に拡張したものを とおく. であることに注意する. Sobolevの不等式より となる. ここで前回の記事と同様の議論により として togedemaru419.hatenablog.com を得る. なので, 任意の に対して となる. 上から2行目はヘルダーの不等式を用いた. また は に依存する定数である. 従って任意の に対して が成り立つ. (証明終) の場合拡張定理を必要とせず自然に拡張できるため, 境界の滑らかさの条件は必要ないです. このため…
Sobolevの不等式の応用①
前回は拡張定理の記事を書きました. 拡張定理とSobolevの不等式を使うとソボレフ空間 と 空間の関係がわかります. [定理] (Estimates for ) は有界開集合で境界 は 級であると仮定する. とする. このとき であり, にのみ依存する正の定数が存在し, が成り立つ. (証明) が有界かつ境界が 級なので拡張定理より拡張作用素 が存在する. をとる. とおく. フリードリクスの軟化作用素の議論から は で稠密であるので . ここでSobolevの不等式より, 任意の に対して が成り立つ. は でCauchy列なので, 上式右辺はCauchy列であり, 従って左辺もCauch…
拡張作用素
前回のブログではSobolevの不等式を示しました. しかし関数の定義域が全空間であるため, 定義域が全空間でない場合だと使えません. そこでソボレフ関数の定義域を全空間に拡張し, Sobolevの不等式を適用することを考えます. それが以下の拡張定理です. ただし, 無条件にいつでも全空間に拡張できるわけではなく, 領域の境界に何かしらの滑らかさを仮定することになります. [定理] (Extension Theorem) は有界開集合で境界 は 級であると仮定する. を となる開集合とする. このとき有界線形作用素 が存在して以下を満たす： (1) a.e. in , (2) , (3) .…
100円をたくさん機械に入れてお金儲けしたいって話（後編）
皆様お久しぶりです。ぼくではないひとです。 友人がはてなブログを更新していたのに感化されてブログを書いてみようと一念発起したところ、更新はほぼ1年ぶりだわ自分がなんと名乗っていたか覚えてないわでめちゃくちゃでした。慣れないことはしないほうが良いですね。 えーと、どこまで話したんでしたっけ・・・ そうでした。黒服の人間が変な機械を持ってきて、ぼくがそれを破壊したところまでですね。「100円入れると200円帰ってくる」という謳い文句のくせに回硬貨を入れようとすると途中で文字通り無一文になってしまう、今回はこの現象について考察していきたいと思います。 順序数について、が非有界閉集合（これは、「clo…
一般化して考える2（数学夏祭り問5）
出典 誰でも参加できる2週間に渡るTwitter難問チャレンジ数学夏祭り 第5問は「解析」問5は証明問題です。解答の結果だけではなく、必ず過程も含めて全て画像で提出してください。「解答する、拡散する、解説する」それぞれにキャンペーンプライズを進呈！みんなで祭りを盛り上げよう！ pic.twitter.com/VzaoPFr9Q4 — 数学夏祭り＠絶賛開催中🎆 (@mathmatsuri) 2020年9月4日 については、区分求積法で求めることができる。この問題が問いているのは、区分求積法が収束するスピードである。 一般化 $$a_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\lef…
リーマン面入門
<!doctype html> リーマン面入門html {overflow-x: initial !important;}:root { --bg-color:#ffffff; --text-color:#333333; --select-text-bg-color:#B5D6FC; --select-text-font-color:auto; --monospace:"Lucida Console",Consolas,"Courier",monospace; } html { font-size: 14px; background-color: var(--bg-color); color:…
最適輸送「モンジュの問題」と「カントロビッチの問題」
最適輸送問題とは？ ある砂山の形 を別の砂山の形 に移すことを考える. 砂山の移動に掛かる労力が「質量」と「始点と終点の位置」で決まっているとき, トータルの労力が最小になるような移し方はどんなものだろうか？ 数学的に定式化すると 砂がありえる場所の全体を領域 として表し, 砂山の形をそれぞれ確率測度 で表し, 関数 ] として単位体積を始点から終点へ輸送したときの労力を表す. モンジュの問題 次の最小化問題を満たす を見つけ出せ; \begin{equation} \inf\left\{\int c(x,T(x))\,d\mu(x)\,|\, T:\Omega\rightarrow\Omeg…
