与えられた体の素体の元の個数で、素体が無限体であれば0と定義される。0でなければ常に素数である。
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最近、理系と文系という二分法をやめよう、という主張が出てきている。私も頭では賛同するが、腹では納得していない。というのも、理系と文系を分けているものがあるからだと信じている。その「あるもの」とは、実験である。実験がある学問は理系だし、実験がない学問は文系だ、と私は信じてきた。しかし、実験がない理系の学問分野があることに気が付いた。数学である。数学には、実験がない。 本当に数学には実験がないのか。これは２つの点で間違っている。第1の点は、学生のカリキュラムとして、大学の数学科の学生は、教養科目を取得するときに、他の理科系と同じように物理学実験とか化学実験をかなりの割合で履修するだろう。特に物理学…
問題 A - Topological Map コンテスト中の方針 以下の焼きなまし（もどき） 近傍 1点を隣の色で塗る 十字で２マス同時に動かす 評価関数：生スコアを使い、以下の値でタイブレークを行う*1 境界線の長さの和 境界線が短い方が全体的にきれいなので小さくしやすそう 各タイルのサイズの２乗和 中央のタイルが大きいままになりがちなので、タイルの大きさを均したい 温度：スコアが悪化しても確率p=50.0%で受理する。25,000回のイテレーションごとにpを0.1%小さくする*2 曲率の離散類似による連結判定 上の方針の実装で主に問題となるのは各タイルの連結性の判定である。wataさんの解…
👇この記事の目次👇 オイラーというエポニム人間 オイラーのとんでもエピソード① オイラーのとんでもエピソード② オイラーのとんでもエピソード③ オイラーのとんでもエピソード④ オイラーが神の存在を証明した？ オイラーが発見した世界で最も美しい数式
8/9(水) 晴れ 何をしただろうか。大学行ったかも覚えてない。多分行ってないんじゃないかと思う。家でずっと正標数の特異点の類似としてどういうものが考えられるかこちゃこちゃいじっていた。そもそもの話題を知らないのでそこらへんの論文を参照しつつ、いい定式化を探している。すぐに分かる性質とかすぐに示せることとかを溜めていってなにか繋がりが見えてこないかを探している段階。ここが一番おもしろいかも知れない。まあ一番迷走しているときでもあるんだけど。 ほんとに簡単な状況証拠だけはまとめておいて、一応ちゃんと関係はしているらしいという感じだけわかった。そんなこんなしていて日記は当然書いておらず、8/12に…
wagaizumo.hatenablog.com wagaizumo.hatenablog.com 上の記事から漏れたこと、あるいはその後勉強して気になったことを寄せ集めた。随時更新予定。ただし現在進行形で勉強しているので、今後内容がガラリと変わる可能性がある。 KdV方程式の一般解 KP方程式の特殊解 可積分系としての共形場理論の謎 KZ方程式から 共形場理論とPainleve性 共形場理論の変形 共形場理論とソリトン 共形場理論と量子可積分系 共形場理論とゲージ理論
wagaizumo.hatenablog.com wagaizumo.hatenablog.com wagaizumo.hatenablog.com ようやく量子群について勉強することができる。12000文字。 量子化という病：非可換幾何学の夢 文献A：量子群の前に読むべき表現論の教科書 文献B：日本語で読める量子群の教科書 文献C：量子群の教科書 文献D：可解格子模型について 文献E：結び目理論と量子群 文献F：最高パス・箱玉系・艤装配位 文献G：量子群の広がり おわりに
リーマン対称空間の不連続群論では 100 年以上にわたって広く深く研究が発展してきたが，それとは対照的に，1980 年代当時は非リーマン等質空間の不連続群論に興味を示す研究者は殆どおらず，孤独ではあったが何をやっても新しい発見になった． （小林俊行『非リーマン等質空間の不連続群について』） https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~toshi/texpdf/rons-discont.pdf 数学の中には表現論と呼ばれるけったいな分野がある。その歴史について以下で素描を試みたい。14000文字。現状、数学に心得のある人向け。 表現論の紹介 1830-1870年代：ガロアからジョ…
前回，星先生の，「絶対ガロア群による数体の復元」を見ていました．§２以降は，復元アルゴリズムについて書いていますが，かなり技術的詳細に踏み込むため，後回しにして，先に，「宇宙際」の部分について見てみることにしましょう．（繰り返しますが，このブログは解説ではなくて，ただの自分の勉強記録なので，間違いがたくさんあると思います！） 加藤先生によるIUTの解説では，宇宙と宇宙の間で，「対称性通信」を行うと説明されていました．この対称性通信について現時点では直接的に勉強するのは難しいので，まずは「簡単版」で雰囲気だけ見てみることにしましょう． まずはガロア理論に関する例で，望月先生の「数論的Teichm…
7/3(月) 天気不明 研究集会に参加する前日。夜にバイトがあるしFF16も最後の詰めがあるし、なんだったら午前中にはゼミを大学でやるしで結構忙しかった。ゼミの方はまあ問題なく終わって、次から混標数の場合へ入っていく。結構自分にも為になる内容になっていることがわかり始めたので良い。 午後は準備とFF16をやっていた。ここでクリアした。最後のシーンには色々あるらしいけどある種美しく終わるためには救いがあまりない結果でも不思議ではないと思った。自分的にはとても面白かったしアクションもストーリーもとても良かった。かっこよかったし自分好みのキャラクターがたくさん出てきてくれた。こういうストーリーがちゃ…
6/28(水) 晴れ 今日は午前中は論文を読んでいた。標数に依らない証明のところまで読んでいて、残りは正標数特有の話が始まる。前に読んでいた論文のところでよく分かっていない操作がここでちゃんと書いてあったのでこっちから読めば最初から読みやすかったのかも知れないと思い始めた。それもあるので、正標数特有のところも読んでいきたいと思う。 午後はFF16を進めていた。結構終盤まで来たっぽい。まだどれだけあるのかわからないけど。楽しい。大怪獣バトルみたいなのがやっぱり一番燃えるし、その分量がいい感じに分散されていて、しかも飽きのこない形になっているのがすごい。 それで日記は昨日のと合わせて6/29にまと…
6/22(木) 曇のち雨 8時前に起きて大学に行った。10時位からゼミがあったんだけど電車がいつも遅れて意外とギリギリの時間になってしまった。今日は自分の発表だったけど、予想以上に全く進まなかった。いくつか頭から飛ばしてしまったところもあったし、やっぱり位相についてよく分かってないことがわかった。今の場合はある特定の位相を含めて有限型であると定義しておくと色々うまくいくことがわかった。実際にそうならなければならないのかはわからないけど色々な同型を連続性とか同相性を追加して示すためにはそうしておかないといけ無さそうだった。とりあえず定理の証明の途中まで終わらせて、残りは次回に持ち越すことにした。…
6/15(木) 雨 8時過ぎに起きた。大学で10時くらいからゼミをやる関係ですぐに家を出た。運良く電車が遅れていて乗りたいやつの一本前に乗ることができたけど遅れているということはもっと送れるということで、結局時間ギリギリになってしまった。 ゼミではGalois表現とかについてやり始めた。自分が使っているものの出自はおそらくここであるのでその勉強も含めて。まあ最初だし定義とかが多くそんなに大変じゃない。ハイブリッドでのゼミは初めてやったけど意外とipadのカメラの性能がいいことを知った。これは今後も何かと使えそうな気がする。 次回は自分が定理の証明から始める。そのためにも今回みたいにギリギリにせ…
有限体を生成する既約多項式の選択 前回の記事では有限体の代数的閉包について調べた。その際、有限体の間の包含関係には、包含のさせ方が一意に定まらないという問題があることを述べた。その具体例としてという単射が一意に定まらないということを確かめた。しかし、よく考えるとこれはあまり大した問題ではないのかもしれない。というのも、結局とするかとするかだけの問題であり、行き先となる集合は変わらないからである。ただし、ここでは1つ暗黙的に固定しているパラメータがあった。それは既約多項式の選択である。既約多項式として他のものを選べば具体的な集合の要素は変わってくる。もちろんどのような既約多項式で商体を作ろうが結…
5/2(火) 晴れ 8時に起きた。午後にセミナーがあるので大学に行った。午前中に昨日書いていた論文の続きをちょっと修正してから相談していた。それで割りといい感じの定理と、そこからすぐに分かってしまうし混標数という制限がついてしまっているからちょっと微妙そうというものを判断した。もう少し他の性質について考えられないか相談していたけど、そのとき大きな間違いに気づいた。てっきり正則局所環の正則元による剰余がまた正則局所環になると思っていた。なんで変わらかないけどどうも頭の中で正則局所環の全ての巴系が正則巴系になると勘違いしていた。当然正則列は巴系にはなるんだけど、そのべき乗とか考えれば全然正則にはな…
この記事では平方剰余の相互法則の証明に必要な補助定理である命題4.19を証明します。そためにまず命題4.18を補題として示します。 命題4.18$p,q$を相異なる奇素数、有限体$F_p$上で$1$の原始$q$乗根の１つを$\zeta$とします。法$q$に関する平方剰余記号の値を係数とする$\zeta$のガウス和を$ G_q=\sum_{a=1}^{q-1}\left( \frac{a}{q} \right)\zeta^a $と定義します。この時任意の整数$k$について次が成り立ちます。$$\sum_{a=1}^{q-1}{\left( \frac{a}{q}\right)\,\zeta^{k…
はじめに 有限体の代数的閉包ってどうなるんだろう？ずっと前にこの疑問を抱いてからずいぶんと時間が経ってしまった。どうにも最近は子どもとマイクラする時間が長すぎて趣味の時間が取りづらい。子どもが大きくなればそのうち親離れしてくのだろうか。今は時間がなくて苦しいが、未来のことを考えると寂しくなるのでやめておく。さしあたっては、いつまでも疑問を寝かせておくと解決する情熱がなくなってしまうので、そろそろ重い腰を上げてこの課題に取り組んでみようと思う。 有限体の代数的閉包 出発点 以前の記事にも書いたように、有限体は代数的閉体にはならない。というわけで、有限体の代数的閉包は無限体になる。具体的にはどのよ…
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