ベクトル空間Ｖからベクトル空間Ｗへの写像fが次の性質をもつとき、ｆを線型写像という。
ｆ（ｋｕ）＝ｋｆ（ｕ） ｆ（ｕ＋ｖ）＝ｆ（ｕ）＋ｆ（ｖ）
ここで、ｕ，ｖは任意のベクトル、ｋは任意の実数。
第1講 物理の発展の中で生まれた向きと大きさを持つ量であるベクトルは、和とスカラー倍のみの線型性のみが注目され、抽象数学の中に取り込まれた。この性質を持つ数学的対象である｢ベクトル空間｣から話を始めることとしよう。 第2講 ベクトル空間の公理は加法とスカラー倍である。具体例はR^nや連続関数。ベクトル空間の任意の元を表すのに必要な一次独立な基底の数を次元といい、有限次元と無限次元に分けられる。 あるベクトル空間同士の同型はそれを繋ぐ同型写像の有無によって定義される。同型写像は、｢加法してから飛ばすのと、飛んでから加法するのが同じ｣であり、｢スカラー倍してから飛ばすのと、飛ばしてからスカラー倍す…
久しぶりのブログだ……。ふくほです。 高専の5年生になり，大学編入試験を受けたので，そのことについて書きます。 使った参考書と科目別の具体的な勉強法は，別の記事にまとめています。もしよかったらそれも見てください。↓後で書きたいことができたら最後に「追記n」として続けていきます。 すごく長い記事になるので，適当に読んでね。 受験校と志望動機 受験前の過ごし方とか 3年 4年 5年になる前の春休み vs TOEFL 5年 4~6月 vs 専攻科(6/18) 5年 7月前半 vs 阪大(7/9,10) 5年 7月後半 ~ 8月 vs 京大(8/30,31) 最後に 受験校と志望動機 受験校は以下です…
こちらの本を爆速で読む（流す）。 非線形数学へ向けた序説 線形理論の概観 線形、ベクトル空間、線型写像、関数空間 ノルム、距離を定義して、いそうを定める、Banach空間 Lebesgue可測関数でp乗可積分なもの、 Hilbert空間 内積によってノルム定義されるBanach空間 準同型写像、定義域、値域、核、余核、階数、退化次数、余次元、Sobolev空間、トレース 固有ベクトル、固有値、スペクトル分解、比例関係、随伴行列 レゾルベント、スペクトル、複素Banach空間における線形作用素 自己共役作用素 グラフ、グラフ・ノルム、閉作用素、 gelfand表現、Cayley変換 Schwar…
ここまで長らく有限体上の線形空間について考えてきた。本稿ではそのフィナーレとして、有限体上の線形空間の双対空間について考えてみる。 線形空間の双対空間 双対空間の定義をWikipedia[1]より引用する。 双対空間 体上の任意のベクトル空間の（代数的）双対空間は上の線型写像（すなわち線型汎函数）全体の成す集合として定義される。集合としてのには、次の加法とスカラー乗法 を定義することができて、それ自身上のベクトル空間となる。 この定義では体としか言っていないので、有限体でも問題なく意味を持つ。 双対基底 次に、双対基底の定義を同じくWikipedia[1]より引用する。 双対基底 が有限次元な…
「入門線形代数 ('19)」の直接の続編講義である。「入門」では、行列演算の基本事項から「固有値を求めて対角化する」というところまでをカバーしていた。今期の講義では、幾何ベクトルから再出発して、各種の変換を学んで、ジョルダンの標準形を求める。また2次多項式を合同変換して形状ごとに分類する手続きも与えられた。 テレビ講義の実施が技術的にクリアされているときに、どうしてあえてラジオ講義の形式をとろうとするのかは理解に苦しむが、この講義ではテキストの情報量と講義の情報量が適度に一致していて、厳しく苦しめられることはなかった。主任の隈部先生は、放送大学の副学長も務められているということにつき、講義をイ…
〇Wathematicaというサークルで行われているアドベントカレンダー企画（アドベントするものは無し）の一環として書いた記事です。 はじめに 「四元数」というものを聞いたことがありますか？物理やプログラミングなどへの応用もあるようですが、 今回は四元数自体の構造と各成分が四元数であるような行列について書きました。四元数は複素数の拡張のようなもので、加減乗除ができる構造をもちますが積についての交換法則が成り立ちません。そのため、扱う際に注意が必要となります。この記事の目標は、交換法則が成り立たないことによる不便さを感じて交換法則へのありがたさを実感すること・それ以外の性質（特に結合法則）が生き…
前回の記事から随分と間が空いてしまったが*1、本稿では有限体上の線形空間について考えてみたいと思う。単に線形空間とだけ言うと対象が広大になり過ぎるため、本稿では次元定理が成り立つことを確かめるところまでをスコープにする。そのために、まずは線形空間、線形写像および線形空間の基底が有限体上でも定義し得るかを考えた後、有限体上の線形空間でも次元定理が成り立つことを確認する。なお、本稿はこちらのブログ記事に触発されて考え始めたものである。本当はこのブログで紹介されている参考文献「Lovász, "Combinatorial Problems and Exercises"」も参照したかったが、あまりにも…
もし関数解析をご存知でなければ, バナッハ空間は有限次元線型空間, Xの双対空間はXからRへの線型写像(例えば固定したベクトルaに対して内積を用いて定まる写像X∋x→(a, x)∈Rなど)の成す空間, ヒルベルト空間は有限次元線型空間, Tの共役作用素はTの随伴変換と読み替えていただきたい. 有限次元線型空間は計量線型空間である. これは各ベクトルを基底の元の成分による線型結合として書いて成分の成す数ベクトルの内積を考えればよい.参考文献齋藤「線型代数入門」谷島「新版 ルベーグ積分と関数解析」宮寺「関数解析」梶原「複素関数論」
タイトルが長い． を「偶数次元」で「向き付け可能」で「連結」な閉多様体（=コンパクトで境界のない多様体）とする． とおくと， の 係数の偶数次コホモロジー環 \begin{align} H^{ev}(X;\mathbb{Q}):= \bigoplus_{k=0}^{d} H^{2k}(X;\mathbb{Q}) \end{align}は Gorenstein 環になることを示す． はベクトル空間としての加法とカップ積 と呼ばれる積によって可換環になっており，カップ積による双線型写像 \begin{align} H^{2k}(X;\mathbb{Q})\times H^{2d-2k}(X;\ma…
動機とか なんとなく勉強したこととか、面白かったこととかの記録をブログでつけようと思った。 理由としては 最近クソ怠惰で勉強せず、かといってゲームもせずただただYouTubeやらTwitterやらで毒にも薬にもならないコンテンツを摂取している現状が辛くなってきた。進捗を産むきっかけが欲しい。 Twitterだと字数制限で大したこと書けない&見返さないから記録として残すには向いてなさそう。 といった点あたり。 三日坊主になるのは目に見えているが、まあのびのび書いていきたい。 やったこと とりあえず今日やって面白かったのは代数学(群論)の基礎。使ってる本は5日前くらいに図書館で借りた『代数系入門(…
定番書線型代数入門 (基礎数学)作者:齋藤 正彦東京大学出版会Amazonを基に線形代数を学び直していく。 今日のまとめ 4. 線形空間 4.1 集合と写像 4.1.1 集合の諸性質 4.1.2 集合の相似 4.1.3 同値関係 4.1.4 集合間における写像の性質 4.2 線形空間 4.2.1 線形空間の定義 4.2.2 線形写像 今日のまとめ 集合が以下の2つの条件を満たすとき、を線型空間（もしくはベクトル空間）という。(1)加法が定義されており、これに対し以下が成り立つ：(a) (b) (c) (d) (2)複素数に対しスカラー倍が定義され、これに対し以下が成り立つ：(e) (f) (g…
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