Lemma
ある定理を証明するための補助定理。レンマ。
はじめに 今も昔も変わらずCV界隈では三次元復元が盛り上がっています。 特に、複数枚の画像から点群を推定するStructure from Motion (SfM)やMulti-View Stereo (MVS)に関する日本語資料はググれば大量に出てきます。 medium.com blog.negativemind.com 一方で、対象の形状をVoxel群として得る三次元復元手法として知られるSpace Carving*1に関する日本語資料はあまり見当たりません*2。 本稿では、Space Carvingの源流として知られるA Theory of Shape by Space Carving […
今日の数学エッセーでは、以下の文献の中から、 選択公理から整列可能定理とツォルンの補題を導く際、 ZF のどれだけの公理が必要かを紹介します。 公理的集合論入門 結論を言ってしまえば、等号述語論理の公理系に加え、 [1] 外延性の公理 [2] 対の公理 [3] 合併の公理 [4] 分出公理シェーマ [5] 冪集合の公理 [6] 選択公理 (これはもちろん必要ですね) です。置換公理や無限公理、そして、正則性公理は必要ありません。 最近の基礎論の勉強では、逆数学の入り口みたいなことをやっていますが、 結構面白いものです。 文責: Dr. Kazuyoshi Katogi
加法的整数論において重要な指数和に関するWeylの不等式を示します。 Notation Weylの不等式 １次多項式の場合と前進差分 Weylの補題 Weylの不等式の証明 参考文献 Notation実数 に対して \begin{align*} \| \alpha \| :=\min_{n\in \mathbb{Z}} |\alpha -n| \end{align*}と定めます。次の諸性質は容易に示せます。Prop1(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 証明 (3)と(5)のみ示す。(3)については \begin{align*} \| \alpha + \beta \| &=…
仮設検証/プログラミング能力についてまだまだ未熟な人へ向けて、仮設検証/プログラミング能力の磨き方の要点を言語化します。 0. 仮説検証する命題を言語化 「機械学習で手法AをBで差し替えると予測精度向上する。なぜなら○○だから。」といった文を作ります。言い切りの文にすることで、文（命題）が正しいか正しくないかの結論が出せます。仮説検証とは基本的に正しいか正しくないか確認する作業なのでそもそも何を確認するのかを正しく認識することが必要です。 1. 仮説を最短で検証する手順を考える=チェック項目をリストアップ 仮説を最短で検証すべきです。仮設検証を早くすればどんどん次のことを調べていくことができま…
先月の日曜数学会で教えてもらった「クラスター代数入門」を読みはじめました。 セクション 1 の Conway-Coxeter frieze と、セクション 2.1 の（係数なし）クラスター代数まで。具体的に手を動かして計算できるところが多いですね。 他のこともいろいろ始めてしまって、だんだん疲れが溜まってきたため、少しペースを落として進めています。今後もあまり無理せずに続けるようにしたいです。 Twitter にアップしたノートまとめ クラスター代数入門を読んでいく。https://t.co/n4V4sufCyk— 宇佐見 公輔 (@usamik26) 2020年6月30日 Conway-Co…
様相論理を学ぶと体系が沢山現れることが気になると思う。 それじゃあ一体いくらあるんだ？ という疑問に対してこう答えられる。 S4を含む様相論理だけで非可算無限個ある。 つまりアホほど存在するのである。 Kit Fine, "An ascending chain of S4 logics", Theoria, vol. 40, issue 2, pp.110-116にある証明をある程度ラフに説明する。 証明にはJankov-fine論理式というもの(原論文ではframe-formula)とbounded morphismというものを使う。以下記号は読みやすさを考慮し、適宜原論文とは異なるものを用…
概要 順序関係についてです。 概要 半順序 順序集合における諸概念 順序準同型 全順序 整列順序 鎖とZornの補題
以前の記事で有意水準と検出力、それらをもとにした一様最強力検定については書きました。 medibook.hatenablog.com 今回は一様最強力検定を求める一つの方法であるネイマンピアソンの補題について書きます。 ネイマンピアソンの補題の成立条件 条件として単純仮説であるが前提です。単純仮説・複合仮説が分からない方はこちらをご参考ください。 medibook.hatenablog.com まず、この補題で求められる一様最強力検定とはどのようなものなのかを示します。 ある確率密度関数（θはパラメータです）において 帰無仮説 対立仮説 としたとき、の棄却域が を満たせば、一様最強力検定となり…
仮説検定の内容をまたまとめてみます。 統計検定1級でも過去に出題されているネイマン-ピアソンの補題について書こうと思いましたが、その前段階として、第一種の過誤、第二種の過誤と検出力についてグラフにして確認してみます。 目次： 第1種過誤 第2種過誤と検出力 一様最強力検定 第1種過誤 第1種過誤とは帰無仮説が正しいのに誤って棄却してしまうことを指します。文章で覚えようとすると分からなくなりますが、要するにこれは単純にたまたま本来起きにくいはずの有意水準の確率のことが起きてしまう場合です。 例えば有意水準はよくα=0.05でとられます。普通5%の確率で起きることなんてまず起きないと思うのですが、…
