Lemma
ある定理を証明するための補助定理。レンマ。
以前この補題の１つ目を使って変数係数非斉次線型２階偏微分方程式の超関数の解を構成したと話しましたが, あれは超関数好きが高じてやってしまいました. 不備が度々指摘され, 訂正を繰り返し, みなさまの信用を失いました. それについては取り下げ済みです. みなさまにはご迷惑をおかけし大変申し訳ございませんでした. 再度応援してくだされば幸いです.
今回は鈴木治郎氏の次の論文の紹介です。 Jiro Suzuki, On Coefficients of Cyclotomic Polynomials, Proceedings of Japan Academy Series A, 63, 1987 この論文はPDFがProject Euclidで公開されています。 Xを変数とするn次円分多項式の\(X^i\)の係数を\(c_{i}^{(n)}\)で表すことにします。 $$\Phi_{n}(X)=\prod_{d|n}^{}{(1-X^{n/d})^{\mu(d)}}=\sum_{i=0}^{\phi(n)}{c_{i}^{(n)}\,X^i}$…
[補題3]に行く前に、以下の[補題 1]を再考する。 「...だろう」という記述ばかりで、再考というより、妄想かもしれないが、、、[補題3]に関連してあれこれ思いを巡らす。 ーーーーーーーーーー [補題1] 体K1と体K2が同型であり、その同型写像をπとする。 K1上の既約多項式 f1(X) とK2上の既約多項式 f2(X)がπ(f1)=f2 を満たすとする。(f1のK1係数をπでK2係数に写し変えたものがf2に等しいとする) f1(X)とf2(X)の根 θ1とθ2について、それぞれを体K1とK2に追加した拡大体K1(θ1)と K2(θ2)をつくると、これらは同型であり、その同型写像σとして、…
こんにちは。Math。です。 位相幾何学に関する命題の一つに，「Alexander の補題」とよばれるものがあります。 シンプルな内容ゆえに忘れてしまいがちなんですが，意外と重要な命題なので備忘録として書いておきます。 Alexander の補題 次元球に同相な 2 つの位相空間の間の写像に関する命題で，証明もそこまで難しくないです。 以下， を位相空間， を 次元単位球とします。 Alexander の補題 とするとき，同相写像 は同相写像 に拡張されます。 ここで， は同相であること， は位相空間 の境界を表します。 また，写像 が写像 に拡張されるとは， が成り立つことをいいます。 では…
バーンサイドの補題が競技プログラミング界隈で話題のようです。先日開催された ABC で出題されたからです。 atcoder.jp バーンサイドの補題については下記の opt さんの記事も参照してください。代数学の知識を仮定しない証明が載っています。 opt-cp.com この記事の目標は、バーンサイドの補題を表現論を用いて証明することです。最近表現論を勉強しているので、そのアウトプットを兼ねています。 追記:HackMD 上でも公開しました。はてなブログ上で数式が壊れる場合はこちらでご覧ください。
概要 atcoder.jp opt-cp.com これを見てバーンサイドの補題というものが気になったのでいろいろ試してみることにした。 問題 正多面体の各面に対して正の整数を定める方法で、全部の面の和が$S$になる方法は何通りか。ただし回転して一致するものは同じとみなす。 立方体 ABC198-Fは同じことをしている。 立方体[-1,1]^3における回転を考えてみる。回転の構造は群をなしている 24個の回転方法を全て数えるのは面倒だが、共役元に関しては本質的に同じなので、共役類ごとに考えればよい。 具体的には以下の5つとなる。 x=y,z=0に対して180°回転（6つ） x=y=zに対して12…
$(X, +, \cdot, -, 0, 1)$をブール代数とする。 $X \text{はc.c.c.} :\Leftrightarrow \all A \subseteq \;\bracket{ \all x, y \in A \;\parenth{ x \nequ y \Rightarrow x \cdot y \equ 0 } \Rightarrow A \text{は高々加算} }$ $\text{c.c.c.}$とはcountable chain condition(加算連鎖条件)のことである。 $(X, \leq)$を順序集合とする。 $X \text{はc.c.c.} :\Lef…
そもそも回転の列挙が難しい．以下，厳密性を欠くので注意．問題はこちら 問題概要 解説 提出プログラム 感想 問題概要正六面体のつの面に正整数を書き込んだとき，正整数の和がとなるような物の数を求めよ．ただし，正六面体を回転して一致する書き込み方は区別しない．解説 和がとなるようなものはまだしも，回転一致を区別しないのは難しそう．回転一致を除去した数え上げは蟻本とかに書いてあったように「ポリアの数え上げ定理」とか言うのを用いればよさそう．以下の資料がわかりやすかったので参考にしました．http://dopal.cs.uec.ac.jp/okamotoy/lect/2014/dme/lect07.p…
ABC198F-Cubeは、群論と母関数の知識を活かすことができるという意味で典型的な組合せ論の問題です。atcoder.jp結論から書くと、入力 に対して として、答えはをで割った余りです。ただし、は床関数、 は を で割った余り、 とします。C++による解答例： atcoder.jp公式の解説にも引用されているOEISのA054473にあるように、の母関数はです。これを示したのち、上に掲げた の閉じた表式 を導出してみましょう。 固定点を数える 立方体の回転について 立方体（正六面体）を自分自身に移すような回転（向きを変えない=反転を含まない）の全体は、位数24の正六面体群 をなします。こ…
この記事は仲間内で実施している数学会の発表ノートです. 本ブログのスタンス, 読むときの注意等は以下の本ブログaboutページをご覧ください. smbttimemo.hatenablog.com テーマとステータス 前記事の復習 本記事のサマリ 9.3 最小分解体とガロア拡大 最小分解体の導入 最小分解体の性質 次記事の予告 さいごに 参考文献 テーマとステータス 私エイヒレは現在, 代数方程式の可解性に関する研究として有名なガロア理論の解説を行なっています. 教科書として, 津山高専の松田修先生による「ガロア理論を理解しよう」を使わせていただいています (良記事の無料公開ありがとうございます…
K係数多項式f(X)の根 全てをKに追加した体 L = K( α 1 , α 2 , … , α n ) のガロア群G(L/K)を求める。 根 α 1 , α 2 , … , α n は全て異なるものとする。(注) Lの自己同型写像でKの元を不変(σ|K=idK )とするものをK同型写像ということにすると、 G(L/K) = {σ ｜σはK同型写像} が、ガロア群の定義である。 G(L/K)∋σ とする。Lの元β を根とする任意のK係数多項式g(X)に対し、g(β)=0 より、σ(g(β))=0 したがって g(σ(β))=0 つまり、K同型写像σはK係数多項式の根を再びその根（自分自身あるい…
[補題2].（注) 体K1と体K2が同型であり、その同型写像をσとする。 K1上の多項式 f1(X) とK2上の多項式 f2(X)がσ(f1)=f2 を満たすとする。（f1のK1係数をσでK2係数に写し変えたものがf2に等しいとする。 f1、f2は既約である必要はない） 次に、L1をK1にf1(X)の全ての根を追加した拡大体、L2をK2にf2(X)の全ての根を追加した拡大体 とする。 このとき 同型写像τ：L1 →L2で τ｜K1＝σ であるものが存在する。 なお、多項式の全ての根を追加した拡大体としては最小分解体(注目している多項式の根全てを含むもっとも小さい体）を考えるものとする。 以下は…
一般論としての次の補題1の証明について考える。 [補題1](注1)(注2） 体K1と体K2が同型であり、その同型写像をπとする。 K1上の既約多項式 f1(X) とK2上の既約多項式 f2(X)がπ(f1)=f2 を満たすとする。(f1のK1係数をπでK2係数に写し変えたものがf2に等しいとする) f1(X)とf2(X)の根 θ1とθ2について、それぞれを体K1とK2に追加した拡大体K1(θ1)と K2(θ2)をつくると、これらは同型であり、その同型写像σとして、σ|K1=π、σ(θ1)=θ2 なるものが存在する。 [証明] K1(θ1)の元λはK1係数のθ1の式である。σ(λ)をλ中のθ1を…
f(X)はn次元K係数多項式、その根を α 1 , α 2 , … , α n とするとき、 L = K α 1 , α 2 , … , α n はKの代数拡大で、ガロア拡大でもある。 つまり、 (1)Lの任意の元μは、なんらかのK係数の多項式の根になっており、 (2)μの共役元(μを根とするK係数多項式のうち既約なものに対する他の根)は再びLの元である。 今回は(2)について考える。(注1） Lの元μを考える。(1)よりμを根とするK係数多項式が存在する。その既約因子(K係数多項式の範囲で既約なもの)をg(X)とする。 この時g(X)の任意の根ξ もLの元となっている、ということである。 文…
本番中にACはできなかったがかなりいいところまで行ったのでメモ。 問題はこちら↓ atcoder.jp 問題概要 立方体の各面に対して正の整数を定めたとき、その和がちょうど $S$ であるような決め方は何通りあるか、$998244353$ で割った余りを答えよ。ただし、回転して一致するようなもの同士は区別しない。 制約 $6\leq S\leq 10^{18}$ バーンサイドの補題を使った解法 バーンサイドの補題（Burnside's lemma）という有名な群論の定理を使うと $O(1)$ で答えを求めることができる。 定理のステートメントは次の通り。 $G$ を位数 $n$ の群とする。要…
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