固有値について（その２）

ここ一週間ぐらいでまとめていた固有値について一応整理してみた。ここにPDFを置いた。

この中では、ある行列による一次変換を考えて、その行列の固有ベクトルを軸として点を表現すると点はとなるし、写像はとなって、簡単な式になるという事を示した。

これらの関係は図のようになる。

しかし疑問が残る。主成分分析やマハラノビスの汎距離を計算する時など、相関行列の固有ベクトルを取る。別に相関行列で一次変換するわけでもないのに・・・、相関行列の固有ベクトル空間で表現するという事をする。

計算上からだけいえば確かに、相関行列の固有ベクトルを座標軸にすると相関行列自体はと簡単にかける。

計算の概要は、まず相関行列の固有ベクトルを並べたモードマトリクスを作ってやり、それを新しい座標軸にする。そうすると、というデータ行列は、あたらしい座標軸でのデータ行列というように計算できる。

なので、となる。ここで、もともとが相関行列の固有値であるから、になっている。

なので、という寸法である。

相関行列を簡単にかけると何が嬉しいのか？

確かに、点と点の距離は、元の座標軸ではであるが、あたらしい座標軸ではと簡単になる。