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A Successful Failure このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter


2010年9月12日付でライブドアブログに引っ越しました。
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2007-03-10

円周率は3.05より大きいことを証明せよ。

円周率は3.05より大きいことを証明せよ。

電車のつり広告に乗っていた2003年の東大の入試問題だが、問題は実にシンプルで美しい。ただ、おそらく受験生の大半が行うであろう解法がすぐに浮かんでしまうのが難点だ。おそらく正答率は9割を超えるだろうし、独創的な回答はあまり期待できそうにないので、入試問題としては問題がある。

実際、乗り合わせた同僚に聞いても、一様に円に内接する6角形…は足りないから12角形を考えて…という無難な回答をみんな真っ先に思いついたようだ。もうちょっとエレガントな回答が出てこないものだろうか

[f:id:LM-7:20070310140616p:image]

半径1/2の円の円周ll=¥piである。この円に内接する正12角形を考えるとその辺の長さLは次で表される。

L=12¥sin{15}=12¥sqrt{¥frac{1-¥cos{30}}{2}}=6¥sqrt{2-¥sqrt{3}}

ルートが鬱陶しいのでL^2を考え、¥sqrt{3}<1.74なので、

L^2=36(2-¥sqrt{3})>36(2-1.74)=9.36>9.3025=(3.05)^2

よって、L>3.05と証明される。円周lが円を内接する正12角形の辺の長さLよりも長いことは明らかであるので、

l = ¥pi > L > 3.05

 ¥pi > 3.05

東大受験生なら問題見た瞬間この解法に行き着き、2,3分で解いてしまうだろう。つり広告で人の目を引く効果はあると思うが、入試問題として適切かと問われれば、東大には難易度が低すぎるのであまり良くない問題と言える。ちなみに城南予備校による模範解答では正8角形を利用しているようで、筆者の解答と同じくエレガントさのかけらもない。まだこちらの珍解答例の方が面白い(もちろん不正解だが)。

数学者はいかにエレガントに数式を証明するかに関して、情熱を傾ける。フェルマーの最終定理が証明されるまでを描いた『フェルマーの最終定理 (新潮文庫)』では、1976年のKenneth AppelとWolfgang Hakenによる四色定理の証明において、コンピュータを用いて全パタンを洗い出すという力業に失望したという逸話が載っていたが、やはり一見複雑な事象を誰もが思いつかない視点からシンプルに証明するエレガントさを求めたいところだ。ちなみに四色定理のコンピュータを用いない証明は未だ発見されていないので、エレガントな解法を見つけた人は是非発表してもらいたい。

三平方の定理には数百の異なった証明方法が知られているが、中でも正方形を用いた証明は小学生でも理解できるという点で筆者のお気に入りだ。

[f:id:LM-7:20070310140616p:image]

右の図のような一辺がa+bと表される正方形を考える。正方形の面積は(a+b)^2と表されるが、これは4つの黄色い三角形と真ん中の青い正方形の面積の和と等しい。すなわち、

(a+b)^2 = 4¥frac{ab}{2} + c^2

これを整理すると

 a^2+2ab+b^2=2ab + c^2

a^2 + b^2 = c^2

実にエレガントだ。こういうエレガントさを競うような問題にはならないものだろうか。

吉村吉村 2011/11/27 12:15 三平方の定理で一番エレガントなのは直角の頂点から斜辺に垂線を下ろすことだと思います。二つに割られた直角三角形はもとの三角形と相似。しかもその和は元の三角形。なのでそれぞれの斜辺の二乗が面積比なので、元の三角形の辺の二乗は斜辺の二乗となり、数式を使うまでもありません。

吉村吉村 2011/11/27 12:25 日本語が分かりにくいので、ちょっと最後の部分の表現を修正(“和”を追加):
「元の三角形の辺の二乗は」>>「元の三角形の辺の二乗和は」
日本語をエレガントに書かないとエレガントな解答といえませんね。

鷲沢鷲沢 2012/08/15 18:53 結局あなたも同僚の人が言った正12角形つかってるじゃん。

jackjack 2012/08/22 00:28 内接正八角形よりちょっとだけ周囲長が短い八角形なら三平方の定理でなんとかなりませんか。半径を17にして、5:12:13で3 1/17 まではいけるかな?

たかひろたかひろ 2012/10/08 17:11 √2の値が明記されてない。中学レベルで解ける悪問です。

ミカエルミカエル 2013/02/09 00:17 東京大学がこの問題を出したのは,日頃から当たり前のことにどれだけ関心を払っているかを問うためだと思いますよ、東京大学のメッセージ性の有る問題として僕自身は好きです。

たかひろたかひろ 2013/10/01 18:16 >たかひろ
お前みたいな奴って何にしても○○レベルでできるって言っちゃう奴なんだろうな
学歴は?

たかひろたかひろ 2013/10/01 18:16 >たかひろ
お前みたいな奴って何にしても○○レベルでできるって言っちゃう奴なんだろうな
学歴は?

数学者数学者 2013/11/03 12:49 エレガントかどうかは主観による。三平方の定理の証明は100以上知られているが、自力で思いつくような証明は1つもないので、エレガントさを競うというより知識を問う問題である。

数学者数学者 2013/11/03 12:49 エレガントかどうかは主観による。三平方の定理の証明は100以上知られているが、自力で思いつくような証明は1つもないので、エレガントさを競うというより知識を問う問題である。

全部で32全部で32 2014/06/06 10:45 1から41までの数がかかれたカードが1枚ずつ、全部で41枚あります。

 この中から3枚のカードを選んで、「小さい順に並べたときに、隣りあう数字の差が等しい」(※)ようにするとき、3枚のカードの選び方は全部で何通りあるでしょうか。

希暮竜輔希暮竜輔 2014/06/08 14:36 最後の三平方の定理の証明は小学生は展開公式を知らないので無理ですね。小学生にはバスカラの方法はどうでしょうか。http://www.youtube.com/watch?v=vQW4JzxVwCkまた、この東大の入試問題は中3生なら解けますね。正12角形の中心をOとして二等辺三角形OABのAからOBに垂線を下ろしHとすると△OAHは1:2:√3の直角三角形となり三辺の長さが分かるので△ABHで三平方の定理を使うとABの長さが出ます。また、エレガントと言えるかどうか分かりませんが、OからABに垂線を下ろしHとすると△OAHは15°75°90°の直角三角形になりますので三辺比4:√6+√2:√6−√2を使えば一発でAHが求まりABが求まります。また、問題に関しては上のミカエルさんと同意見ですね。

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