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ブール代数

サイエンス

ブール代数

ぶーるだいすう

Boolean algebra

後に挙げる公理を満足する代数的構造 (B,¥vee,¥wedge,¥neg,0,1) であり、束論的には有界かつ分配的な束で、補元を持つものとして定義される。しばしば二元ブール代数を指してブール代数ということもある。古典論理の意味論であり、論理学と深いつながりがある。

  1. ¥forall x¥forall y(x¥vee y=y¥vee x)
  2. ¥forall x¥forall y¥forall z(x¥vee(y¥vee z)=(x¥vee y)¥vee z)
  3. ¥forall x¥forall y¥forall z((x¥vee y)¥wedge(x¥vee z)=x¥vee(y¥wedge z))
  4. ¥forall x¥forall y(x¥vee (x¥wedge y)=x)
  5. ¥forall x(x¥vee 0=x)
  6. ¥forall x(x¥vee¥neg x=1)
  7. 上の6つの論理式に現れる 01, ¥vee¥wedge を交換した論理式。

ブール代数で成立つ等式は∧と∨、0と1をそれぞれ交換しても成立する。何故ならば、等式の形式的証明に現れるすべての∧と∨、0と1を取り替えてもやはり正しい証明になっているからである。この性質をド・モルガンの双対性という。

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