ある空でない集合 M が加法について群をなすとき、これを加群という。 また、係数環 R と、R の元の(左からの)加群 M への作用 R × M ∋ (r,m) → rm ∈ M が与えられていて、
が成り立っているとき、M を(左)R - 加群という。
リスト::数学関連
こんにちは。Math。です。 普段,数学をやっていても加群って全く使わない(あるいは意識していない)ので,いざ出てくると定義とかすっかり忘れてしまっています。 ということで,今回は加群についてです。 加群 を(単位的)環, を可換群とします。また, を単位元とします。 加群 写像 ( を と書きます)が次を満たすとき,組 を左 -加群といいます。 ,, ,,, , 右 -加群というものもありますが,特に断らない限り,以下では左 -加群のことを単に -加群と書きます。 -加群の定義は, を決めるたびに写像 が定まると考えることもできます。すなわち, が -加群であるということを「環準同型写像 が…
交換子の計算 以前引用した交換子の計算をするプログラムを作成しました。これは ChatGPT で「文字列を逆順にして、大文字を小文字に、小文字を大文字に変換したものを取得するプログラムを書いてください」と「文字列の中に「大文字とその文字の小文字」か「小文字とその文字の大文字」が連続しているときその二文字を削除することを繰り返して、そのようなパターンが含まれない文字列に変換したものを取得するプログラムを書いてください」と入力して得られた関数を使って、クラスのサンプルを元に、ChatGPT を使って Python の情報を得ながら作成しました。 class GroupExp: def __init…
-準同型 0の逆像 とする. 余像 余核 で定める.とくにこれらの内包は に関して であり,余像の要素は に対して (とくには加法群) で表される.もちろん,である. ☆ 集合の要素の要素について 私の見解は,うそつき村問題はなかったと考えるので,ラッセルの背理は起こらず,このような集合の要素の要素という構成はできる,と思われる. 性質 (1) (2) (1)について (設計) と置く.このときより である. (仕組) (ア) が単準同型写像であるときであり,とくに であるから i.e. (零元の性質,) と成る. したがってである. (イ) のとき,写像はという対応のみであるので,このような…
プログラムの改造(2) 前回のプログラムに、互換に適用した場合のコメントを入れます。assert を入れようと思ったのですが、うまくできなかったのでコメントだけです。ChatGPT で assert とコメントを入れることができれば良いのですが、やり方がわからないので自分で入れます。ChatGPT で Python について聞くとかなり詳しく答えてもらえるのでそれを参考にしてやっています。ChatGPT と Python の練習にはなります(AI がやってくれる時代に必要かは疑問)。 def adjacent_transpositions_indices_list(perm): """ 隣接互…
-準同型写像 -準同型写像 とする.このとき次が成立する. (設計) と置く.より (仕組) (ア) について 左-加群から左-加群への 左-準同型写像 に対してと定めるとと書けることは以前示した. (イ) について の誘導写像に関して () による. (ウ) について 合成写像 () による. (エ) について よりである. (オ) について による. ☆ 補足 の可換性を用いることがなかったので,は非可換環である,と考える.
置換の分類(2) ChatGPT で以下のように入力しました。 置換を隣接互換の積に分解するプログラムを書いてください これは正しいプログラムを得ることができました。 def adjacent_transpositions(perm): """ 指定された置換を隣接互換の積に分解します。 :param perm: 置換リスト :return: 隣接互換のリスト """ # 初期の状態として、置換をコピーする perm = perm[:] n = len(perm) transpositions = [] # シンプルなソートアルゴリズムを使って隣接互換を生成 for i in range(n)…
空気になりたい凡人です。 今日ずっと発表用資料作ってたけどヤバイ。いつの間にか日暮れてるし準備も穴が2か所埋めれてないし。どないしよ。 プログラミングやってふて寝しよう。夜更かしは能率下がるらしいし。 今日やったこと 参考図書7ページ JavaScriptの学習(2節分) 自由学習 全射の加群の長さ 今日できなかったこと なし!(頑張った自分!!) 明日やること 参考図書 準備完了 JavaScriptの学習(2節分) 自由学習ルーズリーフ1枚さ しんどい、この本理不尽な業過の多すぎる。それ埋めるだけで普通に1節分ぐらいあるし。絶対にself-containedな本を書いてやるからな。覚えてろ…
置換の分類 Visual Studio でデザイナーが開けなくなったので、C# を使うのをやめて、Google Colab というのを使ってみました。これは Python を使うことになります。これにはプログラムを書いてくれる機能があって、「 を指定して、 次の対称群のすべての元を偶置換と奇置換に分類するプログラムを書いてください」と入力すると、正しい結果が得られました。これは「置換のパリティー」などで書いたことで、普通の数学の本に書かれているものです。Visual Studio で Python を使えるようにしていたことがわかったので、こっちでやってみることにしました。これはデザイナーを使…
空気になりたい凡人です。 表題のように、ボールペンが先週替え芯買ったはずやのに使い切ってしまった。なんで5本ぐらい補充した。これぐらいあればしばらく大丈夫だろう。 そういえば就職活動でSPIだっけ?一般教養的なテスト何回か受験したけど絶対完答できるようにしてないような気がする。最後2問ぐらい間に合わん。訓練すればとかそういう問題じゃなく文章多すぎ。簿記の恐怖思い出したわ。 仮に暗算(非言語部分の一部理不尽な奴)とか速読できないとダメな試験...また時間もやらしい。ほぼギリギリになる。 なんかじっくり問題考えたいのにせかされてる気がしてしんどくなる。もともとゆっくりじっくり考えるのが好きだから。…
- 順序対の群準同型写像 とくに -準同型写像 とくにであるからこれを で表すとする.このとき - が成立する.これより,とはを法とするの剰余類に属するので(),次の写像を定義できる: このようなは-である. (設計) と置く.このときより - である. (仕組) -準同型 このときの写像は,-加群から剰余加群への自然写像である.また -準同型 も同じ構造である.とくに今回は,であるから に注意する.さて,について を考えると ① i.e. ② i.e. と表示できる. (1) について -準同型 したがって が成立する. (2) について 剰余加群の積 -準同型 それゆえ が成り立つ. 以上…
- (-) (-) とする.このとき (設計) () はより成立する. (仕組) (ア) について ① ② -準同型 ①と②より成り立つ. (イ) ① ② ①と②による. (ウ) について,これら-準同型写像の集合は-加群の構造をもつことから成立する.したがってがいえる. (エ) (ウ)と同様の理由で が成立する.▢
とする.このとき i.e. と置くとが成立する. (理由) ここで考えることは,が-準同型写像に成るのか,ということである. (ア) について よりは(ア)をみたす(が-準同型であるから). (イ) について は-加群であるので次のように変形できる よりは(イ)をみたす. したがって,と成る.▢ が-加群を成すこと (理由) に対して () と置く.このときより - を得る.実際 ・について に関して (-) ・について (-) ・について (-) ・も同様の理由で成立する. 以上より,-▢ 結果 は可換環である,という仮定をしたが,結果としてその交換性を用いることは無かったので,を非可換環と…
- とする. ☆ 写像とは何か? ここでは,言葉の意味について考えることはない.それが「抽象」である.たとえば(左)-加群とは何か? と言われたとしよう.私は(今覚えている限りで) ① ② ③ ④ をみたすような及びである,と答えたとする.では,非可換環とは何か? 加法群とは何か? 群とは何か? 二項演算とは何か? 順序対とは何か? 直積集合とは何か? 集合とは何か? というように用語の意味を遡り続けることになる(第一原因への言及).そして,最も重要なことは記憶というのは忘却するものである,ということだ. もし,仮に①から④を答えたからといって,-加群の意味を知っている訳ではない.私は-加群の…
どうもmmです.4年生に上がったので,とりあえず,近況報告と将来の展望について述べておきます. ・近況報告 とりあえず,4Sセメスターでお世話になる先生が決まりました.ここで研究室と言わないのは,研究室固有のことは特にしていないからです.(これは私が物理についてかなりの無知であるためです.)4Sセメスターはお世話になって,4Aセメスターからの卒業研究は別のところに進むことができて,数学系(解析)もあるのでそちらに行こうと考えています.また,今学期のセミナーは関数解析です.ちょっと分野別にやっていることを記しておきます. ・代数学 藤﨑「体とガロア理論」のおそらく標準的な3年生まででやる内容はほ…
とする.このときは-加群を成す. (説明) は-加群の部分加群であるから () () という性質をもつ.このとき (ア) が成立する. (証明) i.e. i.e. と置く.このときより である.とくにはの部分群であるから と成る.▢ (イ) が成立する. (証明) (ア)よりである.いま,に対して-加群でいう「積」を考える.(とくに)パラメタに対して () i.e. () i.e. と置きより となるようなを定義すればよい.▢ そして,について と置く.このとき(イ)の結果からであるので (-加群でいう積) という演算を定めると剰余群は-加群を成し,これをを法とするの剰余加群と呼ぶ.また, …
-の公理 i.e. とする.このとき (1) (2) (3) (4) と置く.より -という(P∧Qは公理) -加群の意義 とする.このとき (1) (2) (3) (4) が成立する.なぜなら,は環であるので(左)-加群の公理をみたすから.これより,を-加群ということができる. 部分加群の意義 -加群 (-) とする.このときパラメタに対して と置けばより ということができる. ☆補足 の意味については条件とを合わせたものである.すなわち ① に対して i.e. が成立するときである.も同様にして ② について が成り立つ場合である.但し,この方法は循環的なのでうそつき村問題が潜んでいる.も…