全射

空気になりたい凡人です。 今日ずっと発表用資料作ってたけどヤバイ。いつの間にか日暮れてるし準備も穴が２か所埋めれてないし。どないしよ。 プログラミングやってふて寝しよう。夜更かしは能率下がるらしいし。 今日やったこと 参考図書7ページ JavaScriptの学習（2節分） 自由学習 全射の加群の長さ 今日できなかったこと なし！（頑張った自分！！） 明日やること 参考図書 準備完了 JavaScriptの学習（2節分） 自由学習ルーズリーフ１枚さ しんどい、この本理不尽な業過の多すぎる。それ埋めるだけで普通に1節分ぐらいあるし。絶対にself-containedな本を書いてやるからな。覚えてろ…

-) とする． 定義 と置く．このときより という． ☆ 上への写像とは に対してが成り立つことをいう． 定義 と置く．このときより と呼ぶ． 定義 と置く．このときより という．これをで表す．また，その逆写像も同型写像であり，とは互いに逆同型写像である，という． ☆ 注意 -) -) とする．このとき ① が成立する． ☆ 恒等写像とは (設計) と置く．このとき より①は成立する． (仕組) は全単射であり，その逆写像も全単射であるからは恒等写像(全単射)である．すなわち と書ける．同様にしてとについても言える． ☆ 恒等写像が全単射であることはよりわかる． ・単射 による． ・全射 は像…

とあるテキスト（書籍）の代数（分野）に関する記述で、幾つかの種類の可換環が登場するのですが、分類の基準がよく分からない。なので、ちょっと伺ってみたり調べたりしてみました。分類された各クラスに所属する／所属しない可換環の実例や、クラスの相互関係などは考えが及んでません。聞きかじりや俄仕込みの浅知恵な記述が多いです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\hyp}{\text{－} } `$内容： 分類基準 単数群 イデアル 因子分解 方程式の解 分類されたクラス 分類基準イチを持つ可換環しか考えないので、単に「環」と言ったらイチを持つ…

写像と同値類 ChatGPTでブログの記事を分析したものを書いてもらうというのはなかなか難しそうなので、ChatGPTでいろいろやりとりしながら、それを参考に記事の内容をまとめてみることにします。まず写像と同値類の関係についてまとめてみます。「群論の計算」の「写像による分類」(さらにその後の「写像の計算」) 群論の計算(2) - エレファント・ビジュアライザー調査記録 群論の計算(3) - エレファント・ビジュアライザー調査記録 の項目では何をやっているのかというと、「準同型定理」のようなものを「写像の理論を使って書く」ための準備をやっています。「準同型定理」はもともと写像で書かれているので、…

第4章「集合と関数」の最後のセクションはシュレーダー＝ベルンシュタインの定理のLean4による証明です。 初めてこの定理をきちんとした形で知りました。集合論の濃度に関する基本的な定理です。 定理：$\alpha, \beta$を集合、$f:\alpha \rightarrow\beta, g:\beta\rightarrow\alpha$が両方とも単射である時、$\alpha$から$\beta$への全単射がある。 集合の濃度に関して$|\alpha| \ge |\beta|, |\beta|\ge|\alpha|$のとき$|\alpha|=|\beta|$が成り立つということで確かに基本的です…

バタニン／マークル〈Michael Batanin, Martin Markl〉のオペラディック圏は、オペラッドを定義するための道具ですが、“ファイバーの計算”を抽象化したものだともみなせます。この記事では、抽象化する前の具象的な“ファイバーの計算”、つまり集合圏の部分圏における“ファイバーの計算”を紹介します。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} }\newcommand{\hyp}{\text{－} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{…

前提とか を級多様体、とする。この写像はから派生した空間の元とから派生した空間の元との対応を誘導することがあって、側からへの誘導を押し出し、その逆を引き戻しとよぶ。の押し出しは、の引き戻しはのようにかく。 はとりあえず級を仮定しておく。微分同相まであると定義した押し出し/引き戻しの逆写像がとれることがあって、それも引き戻し/押し出しと呼んでいいっぽい。あと、出てくる関数とかベクトル場とかは基本的に級を仮定する。 関数の引き戻し 押し出し/引き戻しのもっとも簡単な例は多様体上の関数の引き戻しである。つまり、上の関数 (上の級関数全体の空間の元ともいえる) を引き戻しての元 を定義する。やり方は明…

ランキング参加中知識 参考文献 準同型定理 第1同型定理 第3同型定理 第2同型定理 参考 群以前の定理 参考文献 佐藤，田谷，理工基礎代数系 (ライブラリ新数学大系 E12) 以下， は群， は部分群， は正規部分群， は単位元を表す． 準同型定理 定理 写像 を準同型写像とする．このとき写像はwell-defined（代表元 の取り方によらず定義される）で，単射準同型写像となる．したがって値域の方を狭めてと再定義すればこれは同型写像．すなわち これのイラスト化を考えてみたのだけど，rhidetoのblogに載ってる下の絵が一番分かりやすかった． rhidetoのblog : 例6. 剰余群…

部分群 ある群の部分集合であって、それ自身も群となるもの。 部分群 H⊂G とは、Gが群であり、Gと同じ演算に関してHが群であること。 H≤G と書くこともある。 (演算に関して閉じている) (単位元を含む) (逆元に関して閉じている) 例 (Z,+) ⊂ (Q,+) ⊂ (R,+) ⊂ (C,+) (整数、有理数、実数、複素数の加法群) (4Z, +) ⊂ (Z,+) (加法に関して、4の倍数は整数の部分群) 1+4Z は Zの部分集合だが、加法に関して群ではない。 正規部分群 部分群 H⊂G が正規部分群であるとは、 つまり であること。 ここで、gH = {gh | h∈ H} を意味す…

この記事内では圏論の概念・用語は使ってませんが、背景は圏論的です。-- 関数は関係の特別なものとみなせます。単葉で全域的な関係が関数です。この特徴付けは、圏論的には「関数は、関係の2-圏の左随伴1-射」と言えるのでした（「左随伴関係は関数」参照）。では、関係の2-圏の右随伴1-射は何でしょう？ これは、随伴パートナーが転置で与えられることから簡単にわかります。関係の2-圏の右随伴1-射は弱分割関係（本文内で定義）です。弱分割関係も関係の特別なものですが、その“特別さ”は関数の“特別さ”と同等なものです。関数が重要な概念であるなら、弱分割関係も重要な概念のはずです。圏論／随伴の文脈を離れても、弱…

イルリキウムです。 もとい。パレクル兼、宇宙食兼、ハノモニの、イルリキウムです。 当ブログでは、単一のアーティストにスポットライトを当て、何曲かをピックアップして語っていく形式の記事を何度かリリースしてきた。『論理の感情武装』のキラーコンテンツ（文量に筆者が殺されるという意味で）、【楽曲語り記事】というやつである。 しかし今回は、とあるアイドルユニットのオリジナル楽曲全曲をぶっ通しでレヴューすることとする。曲数がちょうどいいのと、私の熱量が迸っているから出来る芸当。 主役は、3人組シティポップユニット・Sputripだ。 （画像：https://paletteproject.jp/member…

とする．このとき記号に対して と置きこの記号の内包は i.e. である．これより i.e. と表示する．このように表された記号をからへの写像と呼ぶ．とくにとがパラメタのとき - という． 例 が全射でないことを示す． を考える．を考察する． そのために を調べる． 1 (1) 前提 1 (2) 1. ∀-除去 3 (3) 仮定 このとき，に対して であるから，は存在記号に束縛されていることがわかる．したがって，この仮定は前提(1)に反するので妥当でない．したがっては全射でない．