全射

が、（なめらかな）多様体のあいだの（なめらかな）写像のとき、その“微分”を と書きます。この書き方についは、「多様体上のとある公式： 計算練習」で次のように言いました。 上下のアスタリスクを使う書き方は僕は嫌いですが（微分らしく見えないし、色々と紛らわしい！）、よく使われています。 記号が気に入らないだけではなくて、微分 はなかなかに難しい概念だと思います。接写像 と関係はしますが、もちろん接写像と同じではないし、素直な関手性を持つわけでもありません（込み入った関手性を持つ）。というわけで、多様体のあいだの写像の微分について述べます。合成関数の微分公式が目標です。[追記 date="投稿当日"…

4/13(火) 曇り 10時位に起きた。午前中からお昼過ぎまでにかけて院試の基礎問題を解いた。解いたけど解いたとは言えないくらい解けなかった。最初の二問くらいしか解けない。後半のやつは手は動くけど途中の議論で止まってしまう。そんなこんなでお昼過ぎくらいまでうんうんうなってその後お昼ごはんを食べた。 食べた後はセミナーの本を思い出しつつ書き出した。最初はアフィノイド代数の射がうまい感じに平坦整モデルの方からゆうどうされるものと一致することで、次はアフィノイド代数の完備テンソル積を定義した。だけど最初に考えていたときは見逃していたのか平坦整モデルと平坦整モデルが整モデルなのはわかるけど平坦性がわか…

数学 位相群論の定理の証明を何個か追った。以下にステートメントと略証を書く。 H を G の部分群とする。このとき、自然な全射 p: G -> G/H は開写像である。 V を G の開集合としたとき VH が開であればよい。これは Vh (h in H) の union なので。 X を位相空間、~ を同値関係とする。p: X -> X/~ が開のとき、X/~ がハウスドルフであることと ~ が X * X において閉であることは同値。 (==>) は楽。( X/~ * X/~ も開なので、これで開集合 {(x, y) | not (x ~ y)} を写した先 {(x, y) | x != …

4/3(土) 晴れ 12時に起きた。ご飯を食べるまで昨日の続きをやった。結局あの後続きを読んでいてTate代数の剰余環と多項式環の剰余環が同型になっているところにテンソルしていたけどそれで導かれる同型がわからなかった。わからないままなのでBGRとか他のやつを参考にしたらBGRに書いてある証明が使えそうなので使った。稠密性と完備性を使って単射が全射にもなっていることを示していて位相を持つことの良さがわかった。 その後は環論的性質ということでTate代数が正則環でありアフィノイド代数がJacobson環であることを示した。正則環の方は結構アティマクの命題を使っていたしJacobson環の方ではJa…

4/2(木) 晴れ 10時過ぎに起床。午前中に院試を解こうかと思ったけど途中でおなかすいちゃうと思ってご飯を食べるまではアフィノイド代数の完備テンソル積と代入写像について読んだ。Tate代数の極大イデアルを考えたくて、そのためにはlocal fieldsの一部をやっぱり読まないといけ無さそう。というのもやっぱり代数閉体へと係数拡大したくてそのためには付値を延長しないといけない。さらに完備テンソル積の方は拡張した位相を入れているからいつもの位相加群の完備化が出来なくて、別の定義をしていた。その当たりをまず確認しようとまたappendixに戻った。ただ、その拡張した位相による完備化がその位相を定め…

3/29(月) 晴れ 11時に起きた。今日はどうも暑い気がする。結局夜まで外を見なかったから体感温度だけど。午前中とお昼食べてから少しは昨日見つけた論文を一つ試しに読んでみた。短いこともあって最近のやつだけど意外と読めた。読めただけで理解できたかわからないのと最後の方をまだ読んでないけど。qcqs scheme上のquasi-coherent sheafからなる圏がflat generatorを持つこととsemiseparatedであることが同値になってしまう。本当はqcqsでもそれが成り立ってほしかったのに否定的に解決されたとのこと。ついでに内部hom関手(多分これ)が任意のinjectiv…

データサイエンス界隈でグローバルに活躍したいと思ったら、英語で論文も読む必要があるしコミュニケーションをとる必要も出てくるかと思います。 でも、数学用語とかその他テクニカルタームって簡単な意味の単語でも英語になった途端、まったく分からなくなることって多くないですか？ （私は中学生レベルの数学用語でも英語になると、どう表したらよいのか分からなくなることがあります...😂） そこで、データサイエンス界隈でよく使われているけど自分が知らなかった英単語/フレーズを中心に、この記事にまとめていきます。 こだわりポイントとしては、意味と一緒に発音記号を載せておくことで発音と意味をセットで覚えられるようにし…

今回は「保型形式（モジュラー形式）を勉強するとこんなにも楽しい」シリーズの 応用編 です！数学ガール等を読んで保型形式について知ったけど、さわりの部分だけでは物足りない、もっと保型形式のその先を勉強してみたい、そう思っていた「あなた」のためのシリーズ記事です。 前回の記事では、「導入編」と称してモジュラー形式に関する最低限の事項を紹介しました。導入編で手に入れた知識は、まさに今回の応用編を読むために用意したものです。 tsujimotter.hatenablog.com 今回は「モジュラー形式を勉強するとこんなにも楽しい」ということを紹介したいと思います。いよいよ本題ですね。前回の記事を読んだ…

米田の補題まで理解できるように圏論の学習を進めていまして、メモを残すことで大分整理できてきた気がします。 圏論学習中メモ 射 対象 a,b があったとき f: a -> b のように対象間の矢印を射といい、このとき a を始対象、b を終対象という。また f: a -> b のとき cod(f)=b で dom(f)=a で射に対する始対象、終対象を表す。 対象 a があったとき Id_a: a -> a のように自分自身に向かう射を恒等射という 対象 a,b があり f: a-> b の射と g: b -> a の射があるとき、g を f の逆射といい、逆射をもつ射のことを同型射と呼び、その…

三井孝美の論文 https://www.jstage.jst.go.jp/article/jjm1924/26/0/26_0_1/_pdf や本 https://www.iwanami.co.jp/book/b265375.html に、イデアル数なる怪しい概念が出てきます。それの現代的な定式化をします。 三井が使っているイデアル数の概念はナゾなのでここでは説明しません。数体Kのイデアルたちを、数体の元の集合でパラメタ付けるために使われる概念です。けれども、とにかくナゾなので定式化し直されるべきものです。最終的には以下の概念と同値であることが確認できるはずです。 逆イデアルの元による、 イデア…

以下の記事でリーマン面の定義をまとめたことがありました。 tsujimotter.hatenablog.com これまでtsujimotterのブログではリーマン面の具体例を挙げたことがありませんでした。今日は、リーマン面（特にコンパクトリーマン面）の代表例である複素射影直線 を紹介します。 が、リーマン面の構造を持つ例であることを、リーマン面の定義にしたがって示したいと思います。なお、リーマン面の定義は示すべき条件が割と多く、証明を丁寧にやろうとすると結構大変です。大変ではあるのですが、示す価値はあります。リーマン面であることを示すことにより、リーマン面に成り立つ諸定理を使うことができるので…