全射

8/3(水) 晴れ 8時位に起きた。1限があると思って少し早く起きてたけど先週で終わっていることに気づいた。終わってないのは数学系の授業だけだった。昨日の続きもなにも思いつかないから代わりに授業のレポート問題を解いてた。数問だけだしいけると思ってたら最後の問題がよくわからない。ヒントっぽいのはあるんだけどそれに帰着させる方法がわからなかった。まあもうちょっと時間あるしそれ以外の問題を解いておいた。まあ来週提出だから週末にはもう提出するから解けなさそうだけど。 それで午前中を過ごしてて、午後になってから昨日考えてたやつをぼんやりと考えていた。base changeと絡めればいいかもしれないという…

7/26(火) 曇り 8時過ぎに起きていつもと同じ時間に大学に行った。今日は一日なにもないので昨日の夜にメモしていたことと新しい方法について考えてた。だけどなんかやれることが無くて行き詰まってしまったのでなんかあんまり集中できてなかった。午前中は考えてた方法が結構難しそうで、almostでのArtin-Reesのようなものが必要になってきていて、それは普通に非自明すぎる。 午後もなんかぼんやりしながらalmost purity theoremについて色々調べてた。最新の一般的なやつしか知らないと思ってFaltingsの最初のやつとかその解説した論文とかを色々探してた。原論文とAsterisqu…

7/23(土) 晴れ 10時過ぎに起きた。午後にゼミが二つあるのでそれまで昨日のセミナーで相談していた内容について軽く考えておいた。たしかにうまく行きそうだと思いつつ、途中でイデアルの剰余を取るところで包含関係が無いことに気づいた。包含関係がある場合はうまく全射的な系になるんだけどそもそもそれがないから無理やり包含関係を与えると今度は全射性がうまくいかない。どうしたもんかと思って考えてたけど微妙な感じ。これを抜きにしてやろうとしても逆極限を取っているところでやっぱり全射性が欲しいので困った。もう少し考えてみる。 午後はまずゼミを一つ聞いた。家の環境的に声を出せなくなってしまったので聞き専だった…

から奇置換して得られる、重複のない全ての配列の集合を、偶置換して得られる重複のない全ての配列の集合をとします。の上に、配列の1番目と2番目を入れ替える写像を与えます。これはからへの単射になっています。もし、が全射でないとすると、が存在します。ここで、の上に、配列の2番目と1番目を入れ替える写像を与えましょう。すると、は奇置換なのでの元です。ここで、明らかにであるので、となりに矛盾します。よっては全単射であり、となります。 間違い等ありましたら柔らかい物腰でご指摘お願いします(-_-)。

7/16(土) 曇りときどき雨 9時位に起きた。午後に出かける用事があったからそれまでは昨日見ようと思っておいた論文の該当箇所を探して読んでいた。松村可換環論ではNoetherが課されているところをちゃんととても一般的に示していて確認したい性質が完全に示されていた。ただこれを使えるかどうかは話が別なんだけど。 そこそこにしてお昼を食べてから家を出た。諸々の用事を済ませるために。まあそれなりに問題なく終えられたと思っているのでヨシとする。結局夜ご飯まで外で済ませてきた。 帰ってきてからは午前中に読んでた論文はとりあえず使えるかもしれないくらいで置いておいた。示したいことを示すのに一周回って最初の…

今回のテーマは、群における(直積と)半直積です。 直積と半直積の定義 定義1 （群における（外部）直積） , を群とするとき、 集合としての直積（デカルト積） に対して として演算を定めるとこれは群になる。 これは群 , の(外部)直積(direct product)と呼ばれる。 例としては 実ベクトル空間 に定まる群構造は、 加法群 を 回直積したものとして定められる。 次に内部直積の性質を調べるために 直積群 の部分集合として次の2つを考える。 これらは , ともかける。 ゆえに直積群 の部分群である。 かつ、これらは元の や と同型な群であり、 さらに直積群 の正規部分群でもある。 実際…

はじめまして！数学科B2の「じふ」と申します。自分が所属しているサークルの企画として記事を書くことになりました。 今回は群論の重要な定理である「準同型定理」のお気持ちを「剰余群」の概念と絡めて理解していくという内容になります。 初めてのはてなブログでTeXも１年近く触っていなかったので拙い記事となるかもしれませんが最後まで読んでいただければ幸いです。 剰余類 正規部分群と剰余群 準同型定理 おわりに 参考文献 おまけ 剰余類 まずは群を考えるうえで非常に重要な 「剰余類」を定義します。定義1 をの部分群とする。このときの元に対して をのによる左剰余類と呼ぶ。*1 の元のによる左剰余類全体の集合…

三つのイメージ イメージ1：機械 (wikipedia参照) 関数は機械や変換機と捉えることができる。ある機械に何かを放り込んで、その結果機械から何かが返ってくるというイメージ。この「機械に放り込む何か」は入力（input）と呼ばれ、「機械から返ってくる何か」が出力（output）と呼ばれる。（本ブログでは、関数のマシンチックな側面を強調するために、あえて「インプット」と「アウトプット」という表現をそれぞれ入力と出力の代わりに使うことがある。） ここで重要なのは、関数が数学だけにしか存在しないと考えないことだ。広義に考えると、関数というのは、1) 入力があり、2) その入力値に対して何らかの処…

こんにちは. ぱいです. モジュラー群 の生成系の話シリーズ第 4 弾です. ↓↓↓ 第 1 弾 ～ 第 3 弾の記事はコチラ ↓↓↓ モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 1 - シン・ぱいおつ日記 モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 2 - シン・ぱいおつ日記 モジュラー群 SL(2,Z) の生成系の話 その 3 - シン・ぱいおつ日記 前回の第 3 弾では, 射影モジュラー群 が上半平面 へ以下のように左から作用することを確認しました: \begin{align} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \lan…

前回の記事から随分と間が空いてしまったが*1、本稿では有限体上の線形空間について考えてみたいと思う。単に線形空間とだけ言うと対象が広大になり過ぎるため、本稿では次元定理が成り立つことを確かめるところまでをスコープにする。そのために、まずは線形空間、線形写像および線形空間の基底が有限体上でも定義し得るかを考えた後、有限体上の線形空間でも次元定理が成り立つことを確認する。なお、本稿はこちらのブログ記事に触発されて考え始めたものである。本当はこのブログで紹介されている参考文献「Lovász, "Combinatorial Problems and Exercises"」も参照したかったが、あまりにも…

対応 とする．このときからに対応することを で定義し で表す． 写像 という集合を定める．このとき を定義してこれをからへの写像といい で表示する． 全射 とする．このとき を定義しこれを写像は全射であるという． 写像が定義できることの例 のに関して を選択する．このときについて としととの合成を考えると i.e. と書けるのでは写像であり と表すことができる． 写像の一意性の確認 (1) を選ぶ．このとき であるから を得る． 注意 ここでのは自由変項であるので上記のようなが1つでもあればよい (2) (1)と同じ条件でを前提にする．このとき であるから を得る． 写像が全射を成す例 とする…