全射

「エレファントな整数論(3)」で書いたような内容ですが、また書き直していきます。 全射・単射・有限集合 を集合、 を写像とします。任意の に対して ならば であるとき、 を単射と呼びます。任意の に対して となる が存在するとき、 を全射と呼びます。 が全射かつ単射であるとき全単射と呼びます。 が全単射であるとき、 は全射なので に対して となる が存在し、 は単射なのでこの は一意的となります。よって を と定義することができます。 ( の恒等写像)、 ( の恒等写像)となります。 を の逆写像と呼び と書きます。集合 に対して以下の条件(F1)が成り立つとき、 を有限集合と呼びます。有限集…

一昨日あった函数解析セミナーの記録。完全に忘れてた。 内容はコンパクト作用素のなす空間とコンパクト作用素の固有値の性質(前半)です。 今回最後に示したことは、λ≠0,T_λ:全射 ⇒ T_λ:単射 と言い換えられますが、 逆のλ≠0,T_λ:単射 ⇒ T_λ:全射 は言えるのか？という疑問が起きました。 (有限次元なら両者とも成り立ち、無限次元ではどちらとも一般に成り立ちません。) セミナー後、行きつけの洋食屋で考えてたらFredholmの交替定理を用いて示せました。 どうやら有名な事実らしいです。 drive.google.com 宮寺関数解析を読み切った後、日合・柳を読む予定だったんですが…

モジュラー曲線というのは、上半平面 を の合同部分群で割ったものとして定義されます。定義からは、明らかに複素解析的な対象に見えると思います。ところが、実はモジュラー曲線は数論的な対象でもあるのです。わかりやすい応用として、楕円曲線の位数有限な点に関する メイザーの定理 があります。定理（メイザーの定理） を 上の楕円曲線とする。このとき、 の位数有限の有理点の位数 は、 のいずれかである。これは楕円曲線の有理点の構造を決定するために大変有用な定理です。数論における大定理といってよいと思うのですが、この定理を証明するのにモジュラー曲線が用いられるのです。メイザーの定理の証明自体は私は理解できてい…

４年に一度、国際数学者会議（ICM: International Congress of Mathematicians）と呼ばれる大きな催しが行われます。フィールズ賞という、数学界の最高峰の賞が発表される会としても知られていますね。次回、2022年にはロシアのサンクトペテルブルグにてICM 2022が開催されるようです。私がこの情報を知ったのは、ICM 2022の公式が出しているプロモーション企画の情報を、Springerさんのツイート経由で見たのがきっかけでした。プロモーション企画のタイトルは "Surprising math user video contest" です。いかにも楽しそうな…

4/19(月) 晴れ 10時位に起きたはず。午前中は院試の問題を解いた。午後は授業までべき有界性の同値性を証明した。なんでこんなふうにやるのを思いつくんだというレベルで突飛に思えた。還元写像の全射性とその像を考えて結局認容ブローアップがaffineで有ることを示してそれから整であることを示していた。途中何回か止まったけど思いの外すぐに読めた。 授業は今回は平坦と忠実平坦についてやった。忠実平坦はアティマクのやつよりこっちのほうがわかりやすかった。複体が完全であることの証明をやるところが難しくてなかなかわからなかった。だけど他の受講者が上げてくれたURLとか見て考えたら結局わかりやすいところまで…

みなさんこんにちは。ひよこてんぷらです。いきなりですが、今回は の双対空間についてお話したいと思います。なんでこんなことを考えたのかはおいおい話すとして、さっそくやっていきましょう。今回の話はDunford-Schwartzの「Linear Operators PartI」のp.296あたりのことを紐解いていく感じです。 まずは を抽象的な集合とし、 を 上の完全加法族とします。さて、ここで有界有限加法的(bounded finitely additive)な符号付き測度 \begin{equation} \lambda : \mathcal{M} \to \mathbb{R} \end{eq…

数学 Cohen の Alg. 3.4.6 や Prop. 3.4.7 について考えていた。U = T + T^2 + T^4 + ... というのは T のトレースに対応していて、T^{2^d} - T = U(U + 1) というのはトレースは F_2 の元で 0 か 1 のどちらかというのに対応している。それに対し奇素数 p に対するアルゴリズムでは T^{(p^d-1)/2} = (N T)^{(p-1)/2} を考えていて、ノルム写像は (乗法群の間の) 全射準同型なので、T (に対応する F_p(theta) の数) (であって 0 でないもの) について N T が平方剰余となる…

4/15(木) 晴れ 10時過ぎに起きた。午前中何しようかと悩んでいたけど結局院試の専門科目を解いた。環論とガロア理論を解いた。環論の方は整閉包を明示的に書くのが出来なくて終わった。ガロア理論の方は演習書の方にあったのを思い出してそれを復習しつつ考え直したら出来た。複二次式のときは結構いけそう。 その後はお昼食べた後色々調べた後にipadを買った。どちらにせよ今の時期に買っておいたほうが良さそうなことと最悪返品が可能なことも確認しておいた。とりあえずペンの方は新作発表の方を待とうかと思う。 数学の方は還元写像の全射性の続きを読んだ。整域の場合は示せて、そうじゃないときで平坦整モデルがaffin…

が、（なめらかな）多様体のあいだの（なめらかな）写像のとき、その“微分”を と書きます。この書き方についは、「多様体上のとある公式： 計算練習」で次のように言いました。 上下のアスタリスクを使う書き方は僕は嫌いですが（微分らしく見えないし、色々と紛らわしい！）、よく使われています。 記号が気に入らないだけではなくて、微分 はなかなかに難しい概念だと思います。接写像 と関係はしますが、もちろん接写像と同じではないし、素直な関手性を持つわけでもありません（込み入った関手性を持つ）。というわけで、多様体のあいだの写像の微分について述べます。合成関数の微分公式が目標です。[追記 date="投稿当日"…

4/13(火) 曇り 10時位に起きた。午前中からお昼過ぎまでにかけて院試の基礎問題を解いた。解いたけど解いたとは言えないくらい解けなかった。最初の二問くらいしか解けない。後半のやつは手は動くけど途中の議論で止まってしまう。そんなこんなでお昼過ぎくらいまでうんうんうなってその後お昼ごはんを食べた。 食べた後はセミナーの本を思い出しつつ書き出した。最初はアフィノイド代数の射がうまい感じに平坦整モデルの方からゆうどうされるものと一致することで、次はアフィノイド代数の完備テンソル積を定義した。だけど最初に考えていたときは見逃していたのか平坦整モデルと平坦整モデルが整モデルなのはわかるけど平坦性がわか…

数学 位相群論の定理の証明を何個か追った。以下にステートメントと略証を書く。 H を G の部分群とする。このとき、自然な全射 p: G -> G/H は開写像である。 V を G の開集合としたとき VH が開であればよい。これは Vh (h in H) の union なので。 X を位相空間、~ を同値関係とする。p: X -> X/~ が開のとき、X/~ がハウスドルフであることと ~ が X * X において閉であることは同値。 (==>) は楽。( X/~ * X/~ も開なので、これで開集合 {(x, y) | not (x ~ y)} を写した先 {(x, y) | x != …