全射

数列版の"逆関数"を導入し、その和を逆関数の定積分と同様の手法で求めます。 以前に投稿した「和分差分学(シリーズ)」「逆関数の積分」が一つにつながる内容になっています。 ※なお本記事は「Math Advent Calendar 2024」の12/19の記事になっております。 adventar.org (function(b,c,f,g,a,d,e){b.MoshimoAffiliateObject=a; b[a]=b[a]||function(){arguments.currentScript=c.currentScript ||c.scripts[c.scripts.length-2];(b…

クラン〈clan〉は、ジョイアル〈Andre Joyal〉によって導入された圏論的構造〈構造付きの圏〉です。ジョイアルは、型理論の理論〈theory of type theories〉の基礎としてクランを定義したようです。クランとその双対であるコクランは型理論や計算科学で有用そうです。クランはディスプレイクラス付き圏と類似しています。ディスプレイクラス付き圏が現れるところでは、代わりにクランを使えることが多いでしょう。この記事では、クランと、クランから作られる左ファイブレーション的スパンの圏を紹介します。$` \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newc…

午後からのルーティン 弓道TIME 珍しく 稽古仲間が 誰もいなくて 先生と弟子 ふたりだけ 射場は ひっそりと 静寂。 先生 体調が極めて良好で 射場 15.6℃の寒さを もろともせず いきなり 4つ矢で 射位に立ち いきなり 皆中‼️ 今の先生には 凄いこと！！ なし崩しに失われた 弓道筋力も 幸いに わずかづつ 回復の兆しが見えてきて 全射 4つ矢で 射位に立つ日が 必ずくると 信じたい ➖不撓不屈➖

「圏論のエンドとコエンドは双対なんだよ」で述べたように、エンドとコエンドは完全に双対なのですが、この双対性、なかなかに分かりにくいようです。エンドの作り方は「連立方程式系の解空間を求める」行為になっています。コエンドを作ることはその行為の双対です。つまり、コエンドの作り方は「余連立余方程式系の余解空間を求める」ことです。そういうわけで、この記事では、連立方程式系と余連立余方程式系について述べます。$` \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} } \newcommand{\mrm}[1]{ \m…

[JMO 2006 第3問] 解： ， で与式への代入を表す. は与式をみたし，解の一つである. 以下， なる が存在する場合について考える. より は全射である. ⋯ ① ⋯ ② ここで与式を変形すると よって①から とおいて これは与式をみたす. ＊ で が二次関数の問題では単射も全射も成り立たず， 本問では すら決まらない。IMO 1999に似た方法で解ける問題が あり， みたいな形に持ち込んだ。 ＊ウェブ上には以下のような趣旨の解答もあり，多分同じことをしてい るのだが，そういう操作をしていたのかと思った。 [略解] なる が存在する場合について とおいて与式を変形すると， ⋯ ① ⋯…

[JMO代表選考合宿 2022 第2問] 解： ， で与式への代入を表す. [１] のとき とくに であるから， これは与式をみたす. [２] なる が存在するとき 補題１： は単射である. 証明： より であるから， は単射. 補題２： 証明： と仮定すると， よって単射性より となるが，これは なる が存在することに矛盾するので， 仮定をすて 単射性より ⋯ ① 補題３： 証明： ①で として より であり ⋯ ② ここで であるから，①より は全射. よって なる が存在し， ②を用いて ①で として ②を用いて ②より であるから， である. ①より これを用いて与式を変形して 単射性…

[和田杯 2022 第6問] 解： ， で与式への代入を表す. 以下，文字は で考える. 補題１： において は単射である. 証明： とすると， と を比較して [１] なる が存在するとき 補題２： のとき， 証明： のとき， より であり， とすると補題１に 矛盾するので となる. ここで は を除く区間 を動くので， のとき， (ただし を除く) 次に を示す。 より ここで とすると， であり， ， より となるので， ここで ， より，補題２から となるので これは与式をみたす. [２] のとき となる場合 補題３： のとき ， のとき 証明：「 かつ 」または「 かつ 」 なる が…

[EGMO予選 2024 第3問] 解： ，， で与式への代入を表す. より または [１] のとき これは与式をみたす. [２] のとき [２-１] なる が存在する場合 は全射より これは与式をみたす. [２-２] のとき の場合 なので これは与式をみたす. ＊簡単だが， の代入，場合分け，部分的な単射性の利用といった 関数方程式の基本が詰まっており，良問と思う。

ひとつ前の記事「圏論のエンドとコエンドは双対なんだよ」において、“連立方程式系の解空間”と“関係族の同値閉包による商集合”が双対的だという話をしました。この双対性はちょっと不思議な感じがします。最終的には、写像（集合圏の射）の並行ペア（両端が同一である射のペア）の極限と余極限に帰着されます。双対性の根源は、極限と余極限が双対だからです。そう言われれば、圏論的メカニズムに不思議さはないのですが、集合圏における極限と余極限の具体的実現方法が不思議さを醸し出しているのでしょう。並行ペアの極限（イコライザー）も並行ペアの余極限（コイコライザー）も等式を使って表現できます。しかし、等式の解釈が全然違うの…

エンドとコエンドは、その名前から双対なんだろうとは誰でも思うでしょう。しかし、定義の仕方によっては双対性が見えにくいこともあります。この記事では、エンドとコエンドの双対性が出来るだけ見えやすくなるような定義と記法を提示します。$`\newcommand{\END}{ \overline{\prod} } \newcommand{\COEND}{ \underline{\sum} } \newcommand{\LEFT}{ \overline{L} } \newcommand{\RIGHT}{ \overline{R} } \newcommand{\COLEFT}{ \underline{L} …

$`AB = I`$ だが $`BA \ne I`$ である正方行列 $`A, B`$ があるか？ という問題。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\id}{ \mathrm{id} } `$次の仮定をする。 $`A`$ は線形写像 $`f:\mbf{R}^2 \to \mbf{R}^2`$ を表す。 $`B`$ は線形写像 $`g:\mbf{R}^2 \to \mbf{R}^2`$ を表す。 $`I`$ は線形写像 $`\id: \mbf{R}^2 \to \m…

推し（ガロア）の研究（ガロア理論）を何とか理解したい、という気持ちのもと誕生した記事の３回目です。前回は実際に数字を使って、ガロア理論をなぞってみました。今回はガロア理論で使われる用語についてまとめました。 お付き合いいただけたら幸いです！