微分方程式や数列の漸化式を解くために使用する、その微分方程式や漸化式の特性を表す方程式。
実定数係数の線形同次2回微分方程式がay''+by'+cy=0という形になった時、ap^2+bp+c=0を特性方程式という。 この回によって一般解の形は異なり、
一般解はy=Ae^rx+Be^sx(A,Bは積分定数、以下同)
一般解はy=(A+Bx)e^rx
一般解はy=e^px(Asin(rx)+Bcos(rx)) となる。
ストロガッツ 「非線形ダイナミクスとカオス」ﾒﾓ ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス 作者:Steven H. Strogatz 丸善出版 Amazon ストロガッツ 「非線形ダイナミクスとカオス」ﾒﾓ ５ 線形系
先日行われた2024年度の九州大学の後期数学を解いてみました。
AR過程の定常性 AR過程と同一の係数をもつ差分方程式が安定的になる場合に、AR過程は定常となる。 AR(p)過程の定常条件は、 のすべての解の絶対値が1より大きい時、AR過程は定常となる。 上記の方程式を AR特性方程式 と呼ぶ。 定常AR過程は MA(∞)過程で書き直すことができる。 となり、 ならばMA過程になる。 MA過程の反転可能性 任意のMA過程に関して、同一の期待値と自己相関構造をもつ異なるMA過程が複数存在する。 例えば、 と、 の期待値と自己共分散は同じ値になる。 同一の期待値と自己相関構造をもつMA過程が複数存在するとき、どのMA過程を用いるべきか。その基準の1つとなるのが…
前回は移流方程式の解析解を変数変換法で求めたが、その際、、を、に変数変換したものの、解として出てきたのはのみであった。そうであれば、最初からだけ使っても解けるのではないかという気がしてくる。この方法は特性曲線法として知られる。
なかなかまとまった時間が取れない……第1問 難易度：Ｄ**** かかった時間：29分35秒パスカルの三角形に関する問題です。n＝12程度ならひたすら書き出せば求まりそうなものですが、今回はそういうごり押しはせずにちゃんとやっていきます。(1)まずパスカルの三角形って皆さん見たことありますかね。定義式は組み合わせの記号Cを使って書かれていますが…… 各数字は、このように左上の数字と右上の数字の和になっています。これって漸化式でやってることそのまんまなので、この超基本的性質を追っていけば漸化式がすぐさま立てられそうです。 図のように色分けしてみればもはや一目瞭然です。(実際の試験では色分けできませ…
この記事ではRLC回路の過渡現象についてまとめます。本記事の元となった関連動画は最下部に置いていますので、理解のためにそちらもご覧ください。 微分方程式について RLC回路の過渡現象について RLC回路の過渡現象解析 解析手順 RLC直列回路の例 TinkerCADによるシミュレーション実行 [動画]RC回路の過渡現象 [動画]RLC回路の過渡現象 自己紹介 微分方程式について 以下は，過渡現象について説明した動画になります。 youtu.be また、以下は、微分方程式の解法について説明した動画になります。RC回路の過渡現象に触れる前に視聴することをお勧めします。 youtu.be RLC回路…
2024年も大学入試のシーズンがやってきました。 今回は、北海道大学の理系数学に挑戦します。
チャート式基礎と演習数学3, p.142 EX 86 (1) 次の条件によって定義される数列{an}の極限を求めよ。 keyword: 特性方程式
この記事では状態方程式に基づく制御について1つの記事にまとめます。状態フィードバック制御の個々のトピックの詳細を説明した記事へのリンクは都度貼っています。 状態方程式の基本事項 可制御性と可観測性 可制御性 次数ごとの可制御性行列 可観測性 次数ごとの可観測性行列 同値変換による状態座標の変更 同値変換の前後で保存される性質 状態方程式の同値変換手順 極配置による状態フィードバック制御 状態フィードバック制御と自律系 配置された極と制御性能 スカラシステムの極と応答 極と安定性 極配置と制御性能 可制御正準形の極配置 可制御正準形の制御則と構造 2次の場合の特性方程式 最適レギュレータによる状…
2024年も大学入試のシーズンがやってきました。 今回は、早稲田大学理工学部の数学に挑戦します。
この記事では状態方程式表現されたシステムの状態フィードバック制御についてまとめます。特に、極配置によるゲイン設計手法と極配置と性能の関係について触れています。最後に、本記事の関連動画を置いておりますので併せてご覧ください。 なお、状態フィードバック制御の全体像は次の記事でまとめています。 状態フィードバック制御・状態方程式に基づく制御のまとめ 状態方程式とフィードバック制御 制御対象の状態方程式表現 状態フィードバック制御と自律系 配置された極と制御性能 スカラシステムの極と応答 極と安定性 極配置と制御性能 極と応答のまとめ 可制御正準形の極配置 可制御正準形の制御則と構造 2次の場合の特性…
どうも。今日やっと漸化式入りました。 ちょっとやってみて思ったんですけど、特性方程式思いついたひたひとすごすぎません？ なんで特性方程式を用いるのかはわかったんですけど、よくこれを見つけましたね。 数学の真理をついた発想でした。
今日行われた2024年度共通テストの問題を見ていきます。 次に数学ⅡBを扱います。 ※試験当日に解いており、ミスがあるかもしれません。
はじめに 前回に引き続きこちらの本の紹介をしていきます。 入門ディジタル回路 (入門電気・電子工学シリーズ) 前回の一文 「フリップフロップの状態遷移関数はとくに特性方程式ということもある。」です。 解釈 「順序回路というフリップフロップの状態遷移関数は特性方程式と呼ばれ、出力の時刻に関係する。」です。 今回の気になる一文 「出力値そのものの決定には何ら影響しない」です。 解釈 「フリップフロップの1入力をクロックパルスに使っている。しかし、出力の時刻を支配するだけで、R、Sの値は必要最低限である。」です。 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).pu…
はじめに 今回は前回に引き続き次の本を紹介します。 入門ディジタル回路 (入門電気・電子工学シリーズ) 前回の一文 「その内部状態から次にとるべき内部状態への遷移を対応する頂点間に引いた有効枝で表現したものである。」です。 解釈 「状態図を表現していて、特別な式と呼ばれる状態遷移関数という、内部状態と出力値が記入されるものがある。」です。 続いて今回の一文です。 今回の一文 「フリップフロップの状態遷移関数はとくに特性方程式ということもある。」です。 解釈 「順序回路というフリップフロップの状態遷移関数は特性方程式と呼ばれ、出力の時刻に関係する。」です。 今回は以上です。 (adsbygoog…
AA解析解 2. 線形ODE のうち、応用例の多い2階定数係数ODEを考える。式（4）を2階に、またその係数を定数に置き換えると、 ここでa、bは定数である。 （i）初めに次のような2階定数係数同次方程式から始める（右辺＝0）。 式（5）の基本解が三角関数や指数関数で表せるパターンが多いことが知られているから、式（6）のy(x)にe^λxを予想して代入してみる。ここでλはC級（複素数全体）である。 整理すると、 式（8）が成り立つためには、 式（9）（特性方程式という）が成り立てば良い（e^λxは非ゼロだから）。ここで見覚えのある2次方程式の解の公式の判別式D（平方根内部）を借用すれば、その値…
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