微分方程式や数列の漸化式を解くために使用する、その微分方程式や漸化式の特性を表す方程式。
実定数係数の線形同次2回微分方程式がay''+by'+cy=0という形になった時、ap^2+bp+c=0を特性方程式という。 この回によって一般解の形は異なり、
一般解はy=Ae^rx+Be^sx(A,Bは積分定数、以下同)
一般解はy=(A+Bx)e^rx
一般解はy=e^px(Asin(rx)+Bcos(rx)) となる。
この記事では極零相殺についてまとめます。伝達関数、極、零、および極零相殺は、制御システムの解析と設計において基本的かつ重要な概念です。これらを正確に理解し、適切に扱うことで、システムの安定性や応答特性を効果的に管理することが可能になります。ここでは、極零相殺によるシステム簡略化と極零相殺において注意すべき点について触れます。 伝達関数に基づく制御の全体像はこちら blog.control-theory.com 伝達関数 極と零点について 安定な極零相殺 不安定な極零相殺 非線形システム 関連記事 線形システムに関する書籍 伝達関数 伝達関数は、線形時不変システム（LTIシステム）における入力と…
ストロガッツ 「非線形ダイナミクスとカオス」ﾒﾓ ストロガッツ 非線形ダイナミクスとカオス 作者:Steven H. Strogatz 丸善出版 Amazon ストロガッツ 「非線形ダイナミクスとカオス」ﾒﾓ ５ 線形系
Simple Description 微分方程式の体系 微分方程式 ODE（常微分方程式） PDE（偏微分方程式） n階微分方程式 斉次線形ODE 解曲線 初期条件 一般解 特殊解（特解） 特異解 リプシッツ条件 求積法 重ね合わせの原理 単純な例: 自由落下 線形1階斉次ODE 速度に比例する抵抗 線形1階非斉次ODE 抵抗のある落下 定係数斉次線形2階ODE 単振動 減衰振動 定係数非斉次線形2階ODE 強制減衰振動 PDEの変数分離 Basic Problems 常微分方程式の求解 Standard Problems 常微分方程式の求解 LCR回路 変数分離法 Simple Descri…
【理論編 その１】でGyrodの運動を定式化し、その系が可制御であることを述べました。次にその実現方法について話を進めます。 可制御であることが保証されている制御系を具体的に構築するために広く用いられているのが、図４のように制御入力を状態変数の重み付き加算値として与える状態フィードバックと呼ばれる方法です。 図4 状態フィードバック Gyrodの場合、制御入力は支点を水平方向に動かす力だけで、 なので、 となる が制御入力になります。 この状態フィードバックで構成される制御系の挙動は、状態方程式(18)に(22)を代入して得られる で決定されます。ここで の固有値 、、、は状態フィードバックを…
皆さん、こんにちは。 前回までで「有限要素法の概要」まで、数値解析について説明してきました。 ただ、改めてまとめてみると、「これに触れとかないとまずいな・・・」と感じる部分がかなり多くあることに気が付きました。 そこで、今回から「数値解析」シリーズの増刊号を上げていこうと思います。主に次の3つのジャンルについて紹介していきます。 1. 連立1次方程式の数値解析 →ガウスの消去法、ヤコビ法、ガウス・ザイデル法 2. 固有値問題の数値解析 →べき乗法、ヤコビ（の対角化）法、QR法 ※QR法の前段階：ランチョス法、ハウスホルダー変換 3. フーリエ変換の数値解析 →離散フーリエ変換 初回の今回は、連…
皆さん、こんにちは。 今回は線形代数ネタの第3弾、「固有値」「固有ベクトル」「対角化」についてです。 対角化については以前こちらで簡単に紹介しましたが、今回はより詳細に解説したいと思います。 この2次曲線の正体はな～んだ？ ～行列の対角化～ - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com)
単位根過程とは 非定常過程である原系列 {} を考える。 その差分系列 が定常過程になるとき、{} を単位根過程、 もしくは1次和分過程とよぶ。 ちなみに、d-1階差分をとった系列は非定常過程であるがd階差分をとった系列が定常過程に従うとき、d次和分過程とよぶ。 単位根過程は d=1 の場合である。 ランダムウォークは単位根過程の代表例である。 単位根検定 ここでは、Augmented Dickey-Fullar（ADF）検定を取り上げる。 ちなみに、誤差項に自己相関や分散不均一性を許したPhillips-Perron検定など、他にも色々あるらしい。 概要 帰無仮説：データが単位根 AR過程に…
図書館で借りた本。数学の好きな高校生くらいが対象のようだ。 オイラーの公式 についての解説から、微分方程式に入ってバネの振動、電気回路、 シュレディンガー方程式へと応用していく流れ。 高校生程度の知識を前提としているので全然厳密ではない。 微分方程式も特性方程式が天下りに出てくるし。 でも、オイラーの方程式を巡る話としてはよいと思う。 虚数と複素数から見えてくるオイラーの発想 ～e,i,πの正体～ (知りたい! サイエンス) 作者:吉田 信夫 技術評論社 Amazon 高校生に限らず、そんなに厳密にうるさいことを言わずに いろいろな微分方程式への応用を示しているので 社会人にも向いていると思う…
時系列分析の勉強をしようとちょっと触ってみたら行列の算数に蹂躙されて酷い目に遭ったので戦闘の記録をまとめます。
この記事では状態方程式表現されたシステムの状態フィードバック制御についてまとめます。特に、極配置法によるゲイン設計と、極配置と性能との関係について触れています。最後に、制御シミュレーションや本記事の関連動画を置いておりますので併せてご覧ください。 なお、状態フィードバック制御の全体像は次の記事でまとめています。 状態フィードバック制御・状態方程式に基づく制御のまとめ 状態方程式とフィードバック制御 制御対象の状態方程式表現 状態フィードバック制御と自律系 極配置法により配置されたシステムの極と制御性能 スカラシステムの極と応答 極と安定性 極配置と制御性能 極の実部と応答 極の虚部と応答 極と…
この記事ではRLC回路の過渡現象について具体例を挙げた説明を行います。回路の過渡現象の全体像については以下の記事をご覧ください。 blog.control-theory.com RLC回路の過渡解析問題 スイッチ1の切替と過渡現象 スイッチ2の切替と過渡現象 RLC回路の過渡解析問題 ここでは、次の図で与えられる回路を考えます。この回路には、抵抗とコイル、コンデンサが１個づつ配置されています。また、スイッチが２個配置されています。 最初の状態では、スイッチは両方ともにオフとなっています。 RLC回路 スイッチ1の切替と過渡現象 最初のステップとして、スイッチ1をオンにした場合を考えます。このと…
先日行われた2024年度の九州大学の後期数学を解いてみました。
AR過程の定常性 AR過程と同一の係数をもつ差分方程式が安定的になる場合に、AR過程は定常となる。 AR(p)過程の定常条件は、 のすべての解の絶対値が1より大きい時、AR過程は定常となる。 上記の方程式を AR特性方程式 と呼ぶ。 定常AR過程は MA(∞)過程で書き直すことができる。 となり、 ならばMA過程になる。 MA過程の反転可能性 任意のMA過程に関して、同一の期待値と自己相関構造をもつ異なるMA過程が複数存在する。 例えば、 と、 の期待値と自己共分散は同じ値になる。 同一の期待値と自己相関構造をもつMA過程が複数存在するとき、どのMA過程を用いるべきか。その基準の1つとなるのが…
前回は移流方程式の解析解を変数変換法で求めたが、その際、、を、に変数変換したものの、解として出てきたのはのみであった。そうであれば、最初からだけ使っても解けるのではないかという気がしてくる。この方法は特性曲線法として知られる。
なかなかまとまった時間が取れない……第1問 難易度：Ｄ**** かかった時間：29分35秒パスカルの三角形に関する問題です。n＝12程度ならひたすら書き出せば求まりそうなものですが、今回はそういうごり押しはせずにちゃんとやっていきます。(1)まずパスカルの三角形って皆さん見たことありますかね。定義式は組み合わせの記号Cを使って書かれていますが…… 各数字は、このように左上の数字と右上の数字の和になっています。これって漸化式でやってることそのまんまなので、この超基本的性質を追っていけば漸化式がすぐさま立てられそうです。 図のように色分けしてみればもはや一目瞭然です。(実際の試験では色分けできませ…
この記事ではRLC回路の過渡現象についてまとめます。本記事の元となった関連動画は最下部に置いていますので、理解のためにそちらもご覧ください。 微分方程式について RLC回路の過渡現象について RLC回路の過渡現象解析 解析手順 RLC直列回路の例 その他RLC回路の例題 TinkerCADによるシミュレーション実行 [動画]RC回路の過渡現象 [動画]RLC回路の過渡現象 RLC回路の関連書籍 その他 自己紹介 微分方程式について 以下は，過渡現象について説明した動画になります。 youtu.be また、以下は、微分方程式の解法について説明した動画になります。RC回路の過渡現象に触れる前に視聴…
2024年も大学入試のシーズンがやってきました。 今回は、北海道大学の理系数学に挑戦します。
yosshy.sansu.org
blog.livedoor.jp
atarimae.biz
