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数学的帰納法
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数学的帰納法

(サイエンス)
【すうがくてききのうほう】

数学における証明法の一つ。Mathematical induction(Deduction) しばしば帰納法と略されるが、れっきとした演繹法である。帰納的に定義される対象（自然数や論理式、形式的証明など）に関する命題の証明に多用される。数学の証明は有限回で行わなければならない。そのことがこの数学的帰納法やε-δ論法（イプシロンデルタ論法）などを尊ぶ所以でもある。

(自然数上の)数学的帰納法とは P(1) と \forall n\in\mathbb{N}(P(n)\Rightarrow P(n+1)) の証明を以って \forall n\in\mathbb{N}P(n) の証明とするという推論規則である。この例では1から始めているが、必ずしも1から始める必要はない。実際 P(n) を k から始めて帰納法で証明をすることと、Q(n)\equiv k\leq n\Rightarrow P(n) を帰納法で証明することとは同じ事である。

整列集合 P 上の超限帰納法とは、Q(\min\{P\}) と \forall x\in P(\forall y\in P(y\lt x\Rightarrow Q(y))\Rightarrow Q(x)) の証明を以って \forall x\in P, Q(x) の証明とするという推論である。P が自然数の場合、超限帰納法は数学的帰納法の形式に書き換えられる。何となれば R(m)\equiv \forall n\in\mathbb{N}(n\lt m\Rightarrow Q(n))\Rightarrow Q(m) とすれば良いからである。

「素数は無限にある」という証明
証明:仮にk個の素数 p_1,\ldots,p_k が存在すると仮定する。ここで p=p_1\cdots p_k+1 とする。すると定義より p は p_1,\ldots,p_k のどの素数でも割れないから、p はそれ自身素数であるか、p_1,\ldots,p_k 以外の素因数を持つかのいづれかである。したがってそのどちらかを新たに p_{k+1} としてk+1個の素数を得る。この操作はいくらでも続けられるから、素数は有限個ではありえない。

最初の素数をなんでも良いが例えば p_1=2 とすると、上記の議論により、まず2+1=3なので次の素数は p_2=3 とできる。その次は2×3+1=7なので次の素数は p_3=7 とできる。次に生成される2*3*7+1=43は2でも3でも7でも割り切れない故に次の素数はp_4=43 とおける。次の2*3*7*43+1=1807=13×139で合成数であるが、2でも3でも7でも43でもわりきれないので新たな素数p_5=13（あるいは139）とおける。　このように次々に出てくる数の素因数を素数とおくことによって（しかもそれがそれ以前の素数でないことはあきらかである）次々に素数を指定でき、それは際限がない。

この証明は互いに素な数列を具体的に構成するアルゴリズムを記述しているものであるとも考えられる。

*リスト：リスト::数学関連

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alchemist_380 のひとりごと•2ヶ月前

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... の話 (3)

今日の函館は雨雪混じり。午後になってから1時間あたり降水量 0.5mm-1.0mm のペースで、もちろんやみ間はありますが、まあ、降り続いています。雲の分布はこんなもので、雪雲・雨雲が列を作って流れ込んでいるのが分かります。 衛星画像（赤外）とレーダーによる画像 気温も日付が変わったころの 3.8℃が最高で、上がったり下がったりしながら 17:15 には 0.5℃になっています。冬がやってきましたか。 さて、前回は、大学で習う「解析接続」らしきことを考えて、フィボナッチ数列の各項の総和は -1 に等しいことを正当化しました（Q.E.D. とは書きましたが、ふつうは正の無限大に発散するにきまって…

#冬#フィボナッチ数列#特性方程式#一般項#ビネの公式#数学的帰納法#行列とベクトル#固有値と固有ベクトル

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気ままな数学ノート•9ヶ月前

【数学的帰納法】納得できないときはドミノ倒しで考えると分かりやすい

数学の証明で使われる「数学的帰納法」 なぜこの方法で証明ができるのか，なかなか納得がいかない人も多いのではないでしょうか 今回は有名な「ドミノ倒し」を使って数学的帰納法を考えてみます ◎問題 永遠に続いているドミノ倒しがありますこのドミノがすべて倒れること説明したいとき，どうやって説明すればよいでしょうか 答）永遠ドミノが全て倒れる説明 ドミノを数学的帰納法で考える 数学的帰納法のイメージ さいごに 答）永遠ドミノが全て倒れる説明 ①１枚目を押したとき、１枚目が倒れる ②２枚目以降について 続いて２枚目が倒れ、３枚目が倒れる... ｋ枚目が倒れたら（ここが仮定），その次のｋ＋１枚目も倒れる こ…

#数学的帰納法#イメージ#なぜ#ドミノ#納得いかない
alchemist_380 のひとりごと•1年前

数式だけでなく図も使って考えよう

昨年末（2023/12/08）、原子の K, L, M, N... 殻の定員が 2, 8, 18, 32... だとか書いたのですが、これは主量子数を n とすれば定員が 2n2 という関係。「すべての n に対して○○が成り立つ」ようなことを考えていたら、数学的帰納法の話をしたくなっちゃって。そして、数学的帰納法を語るなら自然数を構成する「ペアノの公理」を紹介しなきゃあと。元・水の分析屋さんの頭の中ではそのようにつながっているのですが、唐突でしたかねぇ。申し訳ないけど、私の勝手、気まぐれです。 さて、今回は、数学的帰納法で証明しましょう、の例題になる三角数と四角数の話から。 三角数、四角数で…

#三角数#四角数#俵算#数学的帰納法#QED#さよなら三角#光るはオヤジのハゲ頭
alchemist_380 のひとりごと•1年前

徒然なるままに「数学的帰納法」

少しのことにも、先達はあらまほしきことなり （徒然草 第五十二段） 簡単そうなことでも教えてくれる先輩はいてほしいもの。「数える」という行為はとても簡単なことのようですが、「人間の精神構造と不可分である」と、どこかに書かれておりました･･･おりましたが、数えるのは人間だけなのでしょうか。 鳥は、巣の中に4つ卵があるとき、1つ取り除いて平気であっても、2つ持って行かれるとたいてい巣を放棄するそうです。鳥は2と3の区別はできるが、4はうまく認識できないのでしょうか。忘れっぽい人のことを、3歩歩くとすべてを忘れるトリ頭だとか言いますが、3あたりの数が何らかの境界になっているのかも知れません。英語の …

#徒然草#少しのことにも先達は#トリ頭#いち、に、たくさん#数える#ペアノの公理#数学的帰納法#ドミノ倒し#受験生
高校数学１ミリメートル•1年前

Vol.31 数学的帰納法の練習 その３

今回は、数学的帰納法の例題について（とても余計な？）解説を致しております。 大事なお知らせもあります。是非、ご覧ください。 私の第二ブログ、 「 心穏やかな日々のために 」 https://odayakakokoro.hatenablog.jp/ は、更新を中止しておりますが、公開は継続中です。こちらも宜しくお願い致します。 大事なお知らせです 拙ブログを訪れて頂きまして有難うございます。拙ブログは今回で更新を停止致します。今後 「高校数学１ミリメートル」は"note" にマガジンとして書き続けていく予定です。 暫くは、はてなブログに掲載の「高校数学１ミリメートル」を推敲や編集をして転載してい…

#高校数学#基礎数学#数学的帰納法
マーク方式の数学の問題を作ってみた。•2年前

徳島県教員採用試験の問題【2015年中高共通第4問】

ご訪問ありがとうございます！ 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今週は2015年実施の徳島県教員採用試験専門教養数学の問題です。 今回は中高共通第4問です。 今回の問題の原文 正の実数からなる数列の初項から第後までの和をとおく。数列がを満たすとき、次の(1)・(2)の問いに答えなさい。 (1)を求めなさい。 (2)を予想し、それが正しいことを数学的帰納法により証明しなさい。 今回の問題について 難易度は☆☆☆☆です。 漸化式から一般項を予想して、それが正しいことを証明する問題です。 難易度表記については以下の記事をご…

#数学#数列#数学的帰納法#大学入試#教員採用試験#徳島県教員採用試験
マーク方式の数学の問題を作ってみた。•2年前

徳島県教員採用試験の問題【2011年中高共通第3問】

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#数学#等式の証明#数学的帰納法#恒等式#大学入試#教員採用試験#徳島県教員採用試験
マーク方式の数学の問題を作ってみた。•2年前

徳島県教員採用試験の問題【2006年中高共通第3問】

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#数学#数列#漸化式#数学的帰納法#大学入試#徳島県#教員採用試験
マーク方式の数学の問題を作ってみた。•2年前

首都大学東京の問題【2011年前期日程第4問】

ご訪問ありがとうございます！ 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今週は首都大学東京の2011年・2012年の問題です。 今回は2011年文系学部前期日程第4問です。 今回の問題について 難易度は☆☆☆☆です。 積の形で表された数列に関する問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopper-mathmatics.hatenablog.com 今回の問題の解説 数列の具体的な数値を求める問題は、数値を実際に入れてみて求めていきます。 ですので となります。この法則からであることが…

#数学#数列#数学的帰納法#大学入試#首都大学東京#東京都立大学