高校数学

とおーい，むかーし，むかしのお話だよ〜 昔はね，高校の数学の学習内容は「何かの役にたつ」なんていうのはほぼ無関係に，純粋に数学を追求する教科だったぁ．特に最近これが「自然現象」のみならず「社会現象」などに直結させようと，無理な内容が入ってきた． そして，今日のニュース： news.jp 文部科学省は22日、次期学習指導要領で高校数学の必修科目「数学1」の内容を見直し、数列やベクトル、確率といった人工知能（AI）やデータサイエンスにつながる学習内容を盛り込む方針を中教審の作業部会に示した。 いわゆる「底辺校」だけではなく「進学を主としない普通科」や「専門高校」ではそもそも数学からドロップアウトし…

高校数学で習う積分法の集大成ともいえるのが、放物線の長さを求める問題です。 今回は放物線 の長さ を求める公式を導出しましょう。また、試しに の具体的な値を計算してみましょう。 ステップ① 求める長さ の定積分による表示 ステップ② 不定積分 の計算 ステップ③ を求める公式の導出 ステップ④ の具体的な値の計算 ステップ① 求める長さ の定積分による表示 曲線の長さの公式より、 ここで を で置き換えれば、 ステップ② 不定積分 の計算 とおくと、 で、 ここで とおくと、 で、 ここで であるから、これを代入して ステップ③ を求める公式の導出 ステップ②で得られた公式を用いて、 以上で …

今回は自然対数の底 の定義式が収束することの確認と、 が階乗の逆数の無限和となること、さらに が無理数であることの証明について書きます。 そもそも自然対数の底 は、下記のように対数関数の導関数を求める過程で必要となる定数でした。 ここで とおくと、 となって、未知の極限 ・・・☆ が現れます。 もしこの極限が収束すれば、定数 で置くことにより、 となって対数関数の微分公式が完成します。これが自然対数の底 の導入の経緯ですね。 しかし高校の教科書などでは、極限 が収束することの証明は省略されます。また、こうして定義された は、階乗の逆数の無限和になるという重要な性質がありますが、この証明も省略さ…

円の面積公式を数学的にきちんと証明するには、大きく分けて２種類の方法があります。 ・曲線の長さを折れ線の長さの和の（分割の最大幅を0に近づけたときの）極限として定義したうえで、弧長をそれよりも短い線分・長い線分で「はさみうち」して三角関数の極限 を導出し、さらに円の面積を内接・外接多角形の面積で「はさみうち」して証明する方法（→幾何的な証明） ・曲線の長さを折れ線の長さの和の（分割の最大幅を0に近づけたときの）極限として定義したうえで、リーマン積分の定義と弧長積分の公式に依り を定積分の式で表し、円の面積を表す定積分に代入して証明する方法（→解析的な証明） このうち一般的なのは、幾何的な証明で…