高校数学

階乗はおそらく組合せ数学を学ぶ頃に勉強したもので、非負整数上で定義された関数である。そのときの定義は そして、以下の性質もよく知られているはずです。 このとき、 が整数ではなく、任意の実数だったらどうなるの？という疑問を持ってませんでしたか？一緒に階乗の性質で実関数にしてみましょう！ 読者の皆様と一緒に考えたいので、やや口語的な表現を選ばせていただきました。

こんにちは。 僕を含めて、一定の人はこのような疑問を持ったことがあるのではないでしょうか。 は、をx軸方向に＋２、y軸方向に＋５平行移動させたものだけど、xyどっちもプラス方向に動かしているはずなのに、方程式ではxのところがマイナスで(-2)、yのところがプラス(+5)になっているのはなぜ？ がをx軸方向に＋２、y軸方向に＋５平行移動させたものじゃないの？ この疑問を解消するには、数Ⅱの「軌跡」の考え方を使わなければいけません。 問題を一般化してみましょう。 「平面上で、曲線を、x軸正方向に+a、y軸正方向に+b (a,bは実数)平行移動させた曲線の方程式は、」 ＜注＞数学でいう曲線とは、「線…

この概念も微分について問題になるので登場している。 ーーーー講義録始めーーーー 連続性という重要な概念について 画面をご覧ください。まず、関数 y=f(x) が与えられているとします。関数 f(x)f(x) が点 cc において連続であるとは、次のように定義します。定義：xx が cc に限りなく近づくとき、f(x)f(x) の値が限りなく f(c)f(c) に近づき、すなわち lim⁡x→cf(x)=f(c) となることをいう。 この定義は、数列を用いて次のようにも表現できます。任意の数列 {xn}\{x_n\} が cc に収束する（すなわち、lim⁡n→∞xn=c\lim_{n\to\i…

こんにちは。 以下の問題とその解答を見て、間違いを指摘してみてください。 <問題> のとき、の最小値を求めよ <解答> 相加相乗の関係より、 等号成立条件は、 のときで、x > 0 より、x = 1 このとき、f(1) = 2 であるから、最小値は２ この解答が間違いである理由は説明できますか？ 説明に入る前に、この解答が間違いであることを直感的に確認しましょう。 灰色の方がのグラフで、青い方がのグラフです。 これを見ると、f(x)はx=1のときは最小値を取らないことがわかります。実際はx=1.3くらいで最小となっていますね。 このグラフを踏まえて、説明を行なっていきます。 結論から先に言うと…

limの記法は微分で重要になるのだけれど、単に紹介するとなぜ出てくるのかは理解が出来なかったりするのだろう。 ーーーー講義録始めーーーー 関数の極限とその表記方法 まず、関数 f(x)f(x) が与えられているとします。ここで、xx がある値 aa に限りなく近づくとき、f(x)f(x) がある値 α\alpha に近づく場合、以下のように表現します。 「xx が aa に限りなく近づくとき、f(x)f(x) は α\alpha に近づく」 「f(x)f(x) は α\alpha に収束する」 また、記号で lim⁡x→af(x)=α と書きます。 1. 関数の値の収束例 例えば、f(x)=1…

「アルキメデスの原理」がまた出てきた。 ーーーー講義録始めーーーー 塵も積もれば山となる：富士山を例にした数学的視点 では、ここまでの内容について感想はありますか。先ほどの授業中、富士山に興味を持ったので、これを例に説明したいと思います。こちらをご覧ください。 ちり紙の厚さを 0.2ミリメートル、つまり 0.0002メートルとし、富士山の高さを 3776メートルとします。では、ちり紙を何枚重ねれば富士山の高さを超えるのかというと、 0.0002×N≥3776 という式を立てます。これを解くと、 N≥18 880 000 となります。つまり、ちり紙を1888万1枚以上積み重ねれば、富士山の高さを…

ーーーー講義録始めーーーー 無限級数の収束・発散の例 1. 自然数列の級数 1, 2, 3, 4, 5, … と並んだ無限数列のすべての項の和（級数）を考えます。部分和 SNS_N​ は SN=1+2+3+⋯+N=N(N+1)2​ となります。NNN を無限に持っていくと、SNS_N​ は無限大に発散します。 2. 定数列の級数 すべての項が1である無限数列 1,1,1,1,…1, 1, 1, 1, \dots の場合、部分和は SN=1+1+⋯+1=N となり、N→∞N\to\infty でこの級数も無限大に発散します。 3. 等比数列の級数 0と1の間の実数 rr（0<r<10 < r <…