積分

前書き Boole's Theorem と Glasser's Master Theorem は, 積分の応用に効く兄弟定理と呼ばれることがあります. これらの定理は, 複数の極を持つ複雑な有理関数が組み込まれた広義積分を, まるで魔法のように単純な形へと「圧縮」してしまう強力な道具です. 一見すると直感に反するチート技のようにも思えますが, その背後には複素解析, 特に上半平面の写像の性質とコーシーの積分定理が美しく機能しています. 本稿では, これら二つの定理の厳密な導出と, 実際の積分計算における応用例をまとめます.

まえがき 今回は、2026年の MIT Integration Bee (Semifinals) で出題された積分問題とその解答・解説をまとめました。準決勝ともなると、ラプラスの方法（Laplace's method）やチェビシェフ多項式、ブールの定理（Boole's Theorem）、論理演算と積分の融合など、極めて高度で独創的な数学的知識が要求される難問が揃っています。 それぞれの問題に対して、途中式や解説付きで解答を記述してみました。ぜひ一緒に手を動かしながら、積分の奥深さを楽しんで読んでみてください！ Boole's Theorem の導出はこちら harumoto.hatenablo…

まえがき 今回は、2026年の MIT Integration Bee (Quarter Finals) で出題された積分問題とその解答・解説をまとめました。準々決勝ということもあり、ベータ関数やガンマ関数、複素積分（留数定理）など、レギュラーシーズン以上に高度な数学的知識とテクニックが要求される興味深い問題が多数出題されました。 それぞれの問題に対して、途中式付きで解答を記述してみました。ぜひ一緒に手を動かしながら、積分の奥深さを楽しんで読んでみてください！

まえがき 今回は、2026年の MIT Integration Bee (Regular Season) で出題された積分問題とその解答・解説をまとめました。MIT Integration Bee は毎年MITで開催される非常にレベルの高い積分大会であり、今年も級数展開や対称性の活用（King's Property）、特殊関数の巧みな変形など、多様なテクニックが要求される興味深い問題が多数出題されました。 それぞれの問題に対して、途中式付きで解答を記述してみました。ぜひ一緒に手を動かしながら、積分の奥深さを楽しんで読んでみてください！

まえがき 積分評価に必要な結論(補題) 結論 I 証明 結論 II 証明 結論 III 証明 積分の評価 まえがき 今回取り上げたのは下記の積分です。 もちろん、 の部分を と書き換えて、留数で求めた結果の実部を取り出して完成ですが、複素解析の知識なしでも、実解析の知識だけで十分かなと思い、つい解いてみました。

2026年2月19日に新刊『読むだけでわかる「積分」 理解すれば、本質が見えてくる (ブルーバックス)』が出ます。 読むだけでわかる「積分」 理解すれば、本質が見えてくる (ブルーバックス) 作者:永野裕之 講談社 Amazon 積分が嫌いだったあなたへ。∫を忘れて、物語からやり直そう この本で手に入るもの なぜ積分は難しかったのか：犯人は「教える順番」 3部構成で、挫折せずに「神秘」まで行ける 入門編：数式ほぼゼロで「積分の本質」を掴む 中級編：テクニックを「暗記」するのではなく「仕組み」として理解する 上級編：無限の世界へ。積分が「世界を広げる道具」になる 読み方：数式は「音楽」として楽し…

出題範囲：数II（積分法） 難易度 ：★★★☆☆ 目安時間：15〜20分 問題画像 において、つの曲線 と > が交点 をもつ。 点 の 座標を とするとき、 を で表せ。 と 軸で囲まれた部分の面積 を と を用いて表せ。 となるときの の値を求めよ。 <考え方> まずは、2つの曲線の位置関係を把握することから始めましょう。 は原点から始まり山を描くグラフですが、 は から始まり減少していくグラフですね。 の範囲で交点 をもつということは、第象限のどこかでこれら2つの曲線がぶつかることを意味しています。 この交点の 座標を とすると、そこで が成り立ちます。したがって、 が得られます。 次に…