階乗

≪１≫ 昔むかしの東大入試に出された問題で、次のようなのがあったと。 「点（ｘ、ｙ）は単位円内を動くとします。 このとき、点（ｘ+ｙ、ｘｙ）の動く範囲はどういう図形か、 図示しましょう」 「エンマの唇」とは、その解答の図に付けられたあだ名として親しまれている。（出題は1954＝昭和29年） ところで、当ブログでもいつもお世話になっている関数： ｙ＝ｘ！ ｙ＝ｘ^ｘ においても、区間［０、１］に限定すれば、次図のとおり「エンマの唇」が現れる。 本日の題材は、こっちの方の唇を対象にして、それを閉じてみる；どこまで閉じれるものか･･･というあたりを探索する。 ≪２≫ まずは、双方とも扱いやすいように…

ファクトリオンは、各桁の数字の階乗の和がその数自身と等しくなるという極めて珍しい性質を持つ自然数です。40585という数字の背後には、数学の美しさと不思議さが隠されています。十進法では1, 2, 145, 40585の4つしか存在しないこの稀少な数は、整数論や計算理論において特別な地位を占めています。19世紀末から現代まで、数学者たちはこの神秘的な数の性質を探求し続けてきました。本記事では、ファクトリオンの発見の歴史、数学的構造、計算の仕組みについて詳しく解説します。 📑 目次 ファクトリオンの歴史的発見 ファクトリオンの数学的構造 階乗計算システムの仕組み ファクトリオン研究の課題と応用 ま…

どうもみなさんこんにちは！ たいきです！ 今回のクエスチョンは。。。？ ｢0!｣(ゼロの階乗)ってなんで1なの～？ みなさんは「0! = 1」という式を見たことはありますか？ 「0をかけたら0になるはずなのに、なんで1になるの？」と、不思議に思った人も多いのではないでしょうか。 今回はそんなクエスチョンを一緒に考えていきたいと思います！ それでは、いってみよう！ そもそも「階乗」とは？ なぜ0!が1になるのか 0! = 1 になる理由①：並べ方で考える 0! = 1 になる理由②：計算式のつじつま合わせ まとめ もっと学びたい方へ

≪１≫ 階乗シリーズのシメ（？）としまして、以前（およそ３年前）、指数関数ｙ＝ｅ^ｘでみたような特徴点を、階乗線上、とくに０から１あたりの美的に湾曲した区間において探索していきたいと思います。例により、ときどき自家製の数学用語や記号を使用していますが、文意は汲み取って頂けるものと期待しております。 candy-house.hatenablog.com 数値の計算結果は、主にWolframさんやときにはGeoGebraさんのインターセプト機能から引用しておりますが、転記マチガイなどはあるかもしれません。OEISさんで確認できたものは、例のA番号を付記してあります。（と申しましても、ほとんどない😓…

階乗はおそらく組合せ数学を学ぶ頃に勉強したもので、非負整数上で定義された関数である。そのときの定義は そして、以下の性質もよく知られているはずです。 このとき、 が整数ではなく、任意の実数だったらどうなるの？という疑問を持ってませんでしたか？一緒に階乗の性質で実関数にしてみましょう！ 読者の皆様と一緒に考えたいので、やや口語的な表現を選ばせていただきました。

≪１≫ 先日は魅惑の数「π！」を、探索方法としてはまるっきり素朴な方法で探ってみた訳ですが、そもそも階乗にはスターリングの公式なる強力な漸近アイテムがありましたね。本日は、これがどの程度強力なものか、魅惑のサンプル π！を例として観察していきたいと思います。 ≪２≫ スターリングの公式のモトの級数はこういう感じでした。（引用はWikiさんより） ja.wikipedia.org この最後の ( ) 内のうち、初項まで採用したものが有名な ↓ でありまして、ｎをｘと書き換えて、 ここではこれをＳ１公式としました。（ｘが３回登場します）そしてちょっと欲張って第２項まで加味したのをＳ２公式と呼ぶこと…

クヌース先生の『コンピュータの数学』は離散数学の宝箱のような本。 大きな階乗数n!を因数分解したいときの効率的なアルゴリズムも載っている。 例としては、100！の素因数分解はこうなります。 素数２を選んだらそのアルゴリズムはこんな感じ Floor関数は切り下げする。これならば階乗を直接計算せずとも算出できる。早い！ 1000！までを因数分解したのが下表のまとめ。 ちょっと面白いことは２の指数がｎ以下の最大素数に近いことだろうか。 100!では２の指数は97であり、最大素数は97だ。1000!では994と最大素数は997になる。下に抜き出したように10000!では２の指数は9995であり、最大素…