観察数学

≪１≫ 昨年秋、小山信也先生の『素数って偏っているの？』技術評論社（2023）を購入しました。 その中の第０部（ ≒ 序章）で、素数界では有名な「ベルトラン・チェビシェフの定理」（予想1845－証明1852）と、その改良版である「デザルトの進展版」（2018）が紹介されていました。 前者は世間一般に著名な定理ですが、後者の結果というのは愚生はこの本ではじめて知りました。本日は、このあたりの観察日記となります。 まずは、この２つの定理をおさらいしておきましょう。 最初のは、 「ｎ≧２のとき、区間（ｎ、２ｎ）内に少なくとも１つの素数がある」 ja.wikipedia.org といものでした。かたや…

≪１≫ 昨年末開催の ”Ｔ-１グランプリ” （…定数グランプリです）におきまして、私的お気に入りの定数８品を紹介させて頂きました。 本日は、その次点となるものを２品（再出品と新登場の各１品）を紹介して、新年のご挨拶にかえさせて頂こうかと思います。 ≪２≫ はじめは、レニム周長に関係するものでして、ｆ(ｘ)を （グラフは被積分関数と分母の関数；上からｘ＝２，３，４） としたとき、 ｘ＝２のときは、円周率ｆ(２)＝3.14159…、 ｘ＝４のときは、レムニスケート定数ｆ(４)＝2.6220…となり、このふたつは有名であります。では、そのあいだにあるｆ(３) はどういう定数か？というのが探索の動機で…

≪１≫ 図形方面では、いわゆる充填問題と呼ばれているモノが、身近で、ポピュラーで、実用的で、アマチュアでも考えやすいテーマでありますね。つまり「ある入れ物のなかに、小さいｎ個のものを詰め込むとき、どういう配置をしたら最適か？」というアレで、Wikiにあるオレンジでの画像なんかがみじかな一例です。 ja.wikipedia.org （日本では、そしてお正月も近いので、みかんの方がよかったですね） こういう充填問題にはそれこそ多種多様なバリエーションがある訳ですが、本日はこれにまつわることをちょっと考えてみましたので、記事にしておきたいと思います。 元ネタはこういうものです。 「ｎ個の単位正方形（…

≪１≫ わたしたちは、引き続き「愚問」を続けなければなりません。 愚生の様なアマチュア人がとっつきやすいのは、整数問題とか、平面や立体の幾何問題であったりする訳でありまして、今回もそのあたりからのアプローチ。 ですが、あまりにパズルパズルしているのは、数学的な面白みに欠けますよね。そのへんの境い目もビミョウではございますが、差し当たり愚問ワールドへ。 ≪２≫ こんな「愚問」からみていきましょう。以下の数ａは、整数か？ 先にネタを明かしておきますと、これは、佐々木浩宣「ヘンテコ関数雑記帳」（共立出版、2021，ｐ153～）の巨大数の章にあった は整数か？の二番煎モノです。2^2^2^2だったら、…

≪１≫ 愚問のススメ第二章、サンプルの事例は前回の数論の世界から180度変わって、幾何の世界からの出し物となります。 ≪２≫ おなじみの四色問題：平面の地図を塗り分けるには４色あれば十分、という例のあれです。証明されたという1976年以降、いまはもう定理になっちゃってる訳ですが 「これの立体版というのはどうなんだろう、、、」 と思うのが、正しい愚問の道その１です。 ３分ほど目を閉じて考えてみますと、下図のような「反例」が浮かんでくるかと思います。 あるいは、もっと単純に、 これは、すべての立体の国が腕を伸ばしてお互いに接しているので、必要な色の数は∞ 色。ということで、あえなく立体の世界での「…

≪１≫ 楕円と並んで周長計算界の東西横綱とも称されている（!?）レムニスケート。先日9.18のHyperion64氏の記事； hyperion64.hatenadiary.org を拝見し、「そうだ、レムニさんを測るの忘れてたー」と思い出しました。例の円弧活用法でどの程度までいけるもんか観察してみたくなった次第であります。 ≪２≫ 曲線の式や積分の式は、上掲Hyperion64さんのブログを参照頂くとしまして、いつものように飽きもせず測っていくこととします。例によってGeoさんでの上記画像をBMPにしてJwwに画像挿入、ｘｙ方向のひずみを目視補正し、等分数はこれも疲労感無きようテキトーに６分割…

≪１≫ この夏は、人生ではじめてキュウリやナスを育て、改めてお天とさまや大地のちから、自然の偉大さに感銘を受けた夏でありました。10cm小々の苗が水と少々の肥料をやってるだけで１ｍ以上に成長し、次から次へと実を提供してくれる。また、実だけじゃなく成長途中のつるの姿や仕草なんかも、なかなかオツなものでした。 本日はその成長過程のひとつだったつるのお話であります。 下掲の写真は、LOVEGREENさんのHPのものから、（少々加工させて頂き）転載させて頂きました。ありがとうございます。写真も実態も、実に美観であります。 「LOVEGREENhttps://lovegreen.net › homega…