観察数学

≪１≫ 先日来、階乗のグラフをいろいろイジっているなかで、愚生の好物である 「はさまれた狭い領域」 に遭遇しましたので、いつものようにGeoGebraさんらの助けを得つつ、ちょっと記しておきたいと思います。 ≪２≫ 対象は、ごくシンプルな以下のモノ。 y1＝ｘ！ y2＝ln(ｘ！) だれがみても、０から１あたりのカーブは似ている。なので、y1 を－１してみて重ねてみます。 重なり具合が見にくいので、ググっと拡大すると、 なるほど、赤の y1 がいつも大きいっぽい。 では、これの差をとって、（y1ー1）ーy2 を描画。 ぺちゃんこ部分を、見えやすく１０倍に拡大すると、、、 みごとにムラサキ色の微…

≪１≫ 種々の数学定数のなかで、円周率を階乗したもの、つまり というのもたいへん魅惑的な数でありました。”ありました” と申しますのは、魅惑度は今でもぜんぜん衰えてはいないのですが、探索する難易度が今日では超カンタンになっちゃいました〜という意味あいですネ。 文明が進歩した現代社会では、電卓ソフトかなんかで、ｐ，ｉ，！と計３回キーを押せば、ポィと応えて下さる。（ π キーがあるなら、計２回） π！＝7.18808 27289･･･ 優美な富士山の山頂に、文明の利器・人間ドローンかなんかでポィと行けちゃう感じ。 ですが、これではまんであいそナシなので、本日はちょっと回りくどくコレに迫ってみようと…

≪１≫ 昨年秋、小山信也先生の『素数って偏っているの？』技術評論社（2023）を購入しました。 その中の第０部（ ≒ 序章）で、素数界では有名な「ベルトラン・チェビシェフの定理」（予想1845－証明1852）と、その改良版である「デザルトの進展版」（2018）が紹介されていました。 前者は世間一般に著名な定理ですが、後者の結果というのは愚生はこの本ではじめて知りました。本日は、このあたりの観察日記となります。 まずは、この２つの定理をおさらいしておきましょう。 最初のは、 「ｎ≧２のとき、区間（ｎ、２ｎ）内に少なくとも１つの素数がある」 ja.wikipedia.org といものでした。かたや…

≪１≫ 昨年末開催の ”Ｔ-１グランプリ” （…定数グランプリです）におきまして、私的お気に入りの定数８品を紹介させて頂きました。 本日は、その次点となるものを２品（再出品と新登場の各１品）を紹介して、新年のご挨拶にかえさせて頂こうかと思います。 ≪２≫ はじめは、レニム周長に関係するものでして、ｆ(ｘ)を （グラフは被積分関数と分母の関数；上からｘ＝２，３，４） としたとき、 ｘ＝２のときは、円周率ｆ(２)＝3.14159…、 ｘ＝４のときは、レムニスケート定数ｆ(４)＝2.6220…となり、このふたつは有名であります。では、そのあいだにあるｆ(３) はどういう定数か？というのが探索の動機で…

≪１≫ わたしたちは、引き続き「愚問」を続けなければなりません。 愚生の様なアマチュア人がとっつきやすいのは、整数問題とか、平面や立体の幾何問題であったりする訳でありまして、今回もそのあたりからのアプローチ。 ですが、あまりにパズルパズルしているのは、数学的な面白みに欠けますよね。そのへんの境い目もビミョウではございますが、差し当たり愚問ワールドへ。 ≪２≫ こんな「愚問」からみていきましょう。以下の数ａは、整数か？ 先にネタを明かしておきますと、これは、佐々木浩宣「ヘンテコ関数雑記帳」（共立出版、2021，ｐ153～）の巨大数の章にあった は整数か？の二番煎モノです。2^2^2^2だったら、…

≪１≫ 古い数学ノートをめくっていたら、穴がふたつ空いた図形がいろいろ書いてありました。たぶんですが、今日ではnetにも同様のものはいっぱい出ているかと思います（というか、それほど調べてません）が、せっかくですので当ブログに転載しておきたいと思います。ノートでは、記入日が「1977.2.16」となっておりました。当時のなにかの書物とかに載っていたものかも知れません、あしからず。 ≪２≫ 早速ですが、説明文＋図のスタイルで紹介してまいります。 まずは、中空の円筒に、横から１ヶ穴をあけたもの。下面を固定してベターと平面状に押しつぶすと、穴が２ヶが見えてくるかと思います。 【追】 上下の円筒の穴をす…

≪１≫ 愚問のススメ第二章、サンプルの事例は前回の数論の世界から180度変わって、幾何の世界からの出し物となります。 ≪２≫ おなじみの四色問題：平面の地図を塗り分けるには４色あれば十分、という例のあれです。証明されたという1976年以降、いまはもう定理になっちゃってる訳ですが 「これの立体版というのはどうなんだろう、、、」 と思うのが、正しい愚問の道その１です。 ３分ほど目を閉じて考えてみますと、下図のような「反例」が浮かんでくるかと思います。 あるいは、もっと単純に、 これは、すべての立体の国が腕を伸ばしてお互いに接しているので、必要な色の数は∞ 色。ということで、あえなく立体の世界での「…