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整数
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整数

(サイエンス)
【せいすう】

…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…であるような数の集合。0 に 1 を有限回加えるか、有限回減じるかで得られる数。集合論では自然数の直積を適当な同値類で割って得られる商代数として構成される。整数全体からなる集合は可算無限集合である。数学の代数学の一部門に整数の性質を研究する「整数論」という分野がある。

自然数を用いた構成

自然数 (\mathbb{N},+,\times,0) の直積 \mathbb{N}\times\mathbb{N} に次のような演算と同値関係 \sim を入れる：

  1. (m_1,n_1)+'(m_2,n_2)=(m_1+m_2,n_1+n_2).
  2. (m_1,n_1)\times'(m_2,n_2)=(m_1m_2+n_1n_2,m_1n_2+n_1m_2).
  3. 0'=(0,0).
  4. (m_1,n_1)\sim(m_2,n_2)\Leftrightarrow m_1+n_2=n_1+m_2.

これが同値関係となっていることを確かめるのは容易である。代数系 (\mathbb{N},+',\times',0') を同値関係で割って得られる商代数 ((\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim,\overline{+},\overline{\times},\overline{0}) を整数環といい、\mathbb{Z} と書く。実際この代数系は(単位的可換)環を成している。同値類 [(n,0)] と自然数 n とを同一視すれば \mathbb{N}\subset\mathbb{Z} である。一方 [(0,n)] は n の加法の逆元 -n である。すなわち同値類 [(m,n)] は整数 m-n に対応しているのである。

リスト::数学関連

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完全無欠で荒唐無稽な夢•先月

ベイカー・ヘーグナー・スタークの定理と１６３

代数的整数論で負の二次体というテーマは奥が深いらしい。表題の定理も１９６６年にようやく証明されたという。 平方因子を含まない負の整数ｍで虚二次体の類数が１であるのは、-1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163に限る 何を主張しているかというと、√mを加えて拡張された整数で素因数分解（素イデアル分解）的なのは上記の９個しかないといっている。 この整数しかないというのは、ある意味、神秘的な感じがする。 有名な-1の場合はガウス整数と呼ばれ、彼がガウス平面でその特性を最初に研究した。この定理もガウスが予想したという。 例の不思議な数値、ぎりぎり自然数になりかけの…

#二次体#代数的整数論#ガウス#１６３#整数

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完全無欠で荒唐無稽な夢•2 か月前

自然数のi乗の和　ファウルハーバーの公式の相互関係の例

高校数学で習う自然数の総和の式というと 1+2+3+4+......+n=n(n+1)/2 が懐かしい式の代表だろう。 気の利いた教師ならガウスが１から100までの総和をたちどころに回答して教室を驚かせた逸話などもしてくれただろう。 確か三乗和くらいまでは、学生時代に学んだかもしれない。 高次のべき乗の和の公式を求めた最初の人物にちなんでファウルハーバーの公式というそうだ。 下に２０乗の和までの公式を載せた。６乗を超えたあたりから、因数分解もできず、不細工な多項式になってゆく。これでは、公式として学校で習うのも３乗までがいいところだろう。 ２０乗までの公式 さて、この表の冒頭で面白いのは S3…

#自然数の和#整数#ベルヌーイ数#オイラー#コンウェイ
つれづれなる備忘録•19 時間前

Texによる文書作成14 ～文章を枠で囲う

1. 部分的に枠で囲う 2. 複数行や数式環境を枠で囲う 3. まとめ 今回はLaTeXを用いて文章や数式を装飾枠で囲う方法について紹介する。論文などではあまり使わないが定理や重要な数式を装飾すると、教科書や専門書のような雰囲気が出せる。 1. 部分的に枠で囲う 重要な文章や数式を1行以内で囲うにはfancyboxパッケージを利用する。枠の種類としては丸形の枠が2種類、長方形が2種類、影付きの枠が1種類利用することができる。 具体的にはプリアンブル領域で \usepackage{fancybox} とする。document中に以下のようなコードを記述して利用する。 \ovalbox{丸角の枠}…

Ayataの勉強雑日記•昨日

Python : 単純なエッジ処理の実装

前回はエッジ処理について、ざっくりとした理論を学習しました。 ayatalog.hatenablog.jp 今回は一次微分を用いた単純なエッジ処理を実装していこうと思います。まずは便利な関数は使わずに自力で実装してみたいと思います。最初に縦方向のエッジ、横方向のエッジをそれぞれ片方ずつ検出できるものを作成し、後で合体させていきます。

すやすや眠るみたくすらすら書けたら•昨日

『君の名は。』への評がいかに快挙か；訳文と感想（ネットで読めるグレッグ・イーガン氏の映画・創作観）

録り貯めたお正月の特番を消化しているかたのなかには、３が日に地上波初放送された『天気の子』や８日新年一発目の『金曜ロードSHOW!』神木隆之介さんなど豪華吹替キャストによる『パラサイト』をご覧のかたもいらっしゃるんじゃないでしょうか？ 今回の記事は、そんな新海誠監督の前作で神木氏主演『君の名は。』にたいするグレッグ・イーガン氏の評価がいかにすごいか、氏のインタビューやエッセイ（『Avatar Review（「アバター」批評）』『No Intelligence Required Her, Ex Machina and Interstellar（知性は不要――「her／世界でひとつの彼女」、「エク…

Head First!•昨日

GD250 Dischagerのお話続き

GD250で放電情報が取得できるのですが、何かオカシイ 0.5秒ごとのデータ取得、の筈なんですよ 小数点なんで整数に丸められちゃうのは、まぁ分かる でもズレるってどういうこと？ 1回目と2回目の時間経過だけ抜き出して差を比較 黄色いセルはズレたところ ちなみにこの後一致しだして、またズレて最終的に一致するｗ 秒数は最悪自分で0.5刻みで直すしかないのか？ データの信ぴょう性とはｗｗｗｗ ちな、世間の評判でタミヤLF2200の充電は、（充電器にもよりますが）8.8A充電、20Aで5.4vまで放電、再度8.8A充電がいいらしい （1/22 追記:取説にある最大電流値は8.8A、メーカー推奨は4.4…

tn198403s 高校時代blog•一昨日

授業18．共通テスト（2021年）を少しやってみた

2021年1月大学入学共通テスト 2021年の大学入学共通テストが16・17日に実施されました。一番心配したのが、会場でのコロナクラスターの発生でしたが、今のところそのニュースを聞きません。感染対策は、受験生だけでなく、その家族や学校、塾、そして会場の人々までずいぶんと神経を使ったと思います。 今年も試験問題を少しやってみました。 2021年1月大学入学共通テスト 地理A ～ 未来の資料 ～ 数学Ⅰ第1問[１]（１） ～ －（マイナス）の呪縛 ～ 数学Ⅰ第1問[１]（３） ～ PISA的読解力の問題？ ～ 数学Ⅰ第1問[２]（１） ～ うっかりも健在 ～ 共通テストを少しやってみての感想 時を…

流れる空の中で数学を。•一昨日

2014ギリシャ数学オリンピック

数学関連の絶版本・品切れ本をコチラから購入できます！ 問題 今日は久しぶりに、暇つぶしに流れてきた整数問題bot②の問題を解いてみた。 (8n-25)/(n+3)が有理数の3乗となるような正の整数nを全て求めよ.(2014 ギリシャ数学オリンピック) — 整数問題bot② (@handmade_math) 2021年1月21日 解答 のとき、与式はそれぞれ、となり題意を満たさない。以後、とする。 与式の3乗根の有理数をとおくと、与式は正となるので、[tex;k]は正である。 これをについて解くと、 となる。右辺の分子が正であることに注意すると、は正の整数なので、分母も正でなければならない。従っ…

夜空と陸とのすきま•一昨日

2000年代海外SF傑作選

2000年代海外SF傑作選 (ハヤカワ文庫SF) 作者:エレン クレイジャズ,ハンヌ ライアニエミ,ダリル グレゴリイ,劉 慈欣,コリイ ドクトロウ,チャールズ ストロス,N・K ジェミシン,グレッグ イーガン,アレステア レナルズ 発売日: 2020/11/19 メディア: 文庫 昨年は各出版社からSFアンソロジーがたくさん出ました。本屋で見かけたらウハウハと鼻息粗くしてレジにGOしたのに積ん読で、読み始めたのは年明けからです。この流れはしばし続く。この「2000年代」は劉 慈欣の『地火』目当てで購入。 ■ミセス・ゼノンのパラドックス／エレン・クレイジャズ二人の女性がカフェでブラウニーをわけ…

エイヒレのお勉強memo•一昨日

【数学会】ガロア理論を理解しよう：ゼミノート8 ベクトル空間と次元

この記事は仲間内で実施している数学会の発表ノートです. 本ブログのスタンス, 読むときの注意等は以下の本ブログaboutページをご覧ください. smbttimemo.hatenablog.com テーマとステータス 前節の復習 本記事のサマリ 8.1 ベクトル空間 8.2 ベクトル空間の基底と次元 8章のまとめ 次節の予告 さいごに 参考文献 テーマとステータス 私エイヒレは現在, 代数方程式の可解性に関する研究として有名なガロア理論の解説を行なっています. 教科書として, 津山高専の松田修先生による「ガロア理論を理解しよう」を使わせていただいています (良記事の無料公開ありがとうございます)…

shaitan's blog•一昨日

東工大1984年前期問題1

[26]a,bを自然数とする。a³+b³が素数の整数乗となるa,bを求めよ(1984東工大、易)— 整数問題bot (@seisu_bot) 2021年1月19日 aとbの最大公約数をgとし、とおく。 が素数の整数乗ならばg, s, tはいずれも同じ素数の整数乗。 (i)x=yのとき x=y=1よりs=2であるから(nは非負整数)。 (ii)x≠yのとき x>yならばであり、y>xのときも同様。 s, tはいずれも同じ素数の整数乗であるから、tはsで割り切れる。 であるから、3xyはsで割り切れるが、sとx, yは互いに素なので3がsで割り切れる。 sは1ではないからs=3。よって(x, y)…

tsujimotterのノートブック•一昨日

素数生成多項式と虚2次体の類数 (2)

昨日は、オイラーの素数生成多項式に関して「私の発見」を紹介させていただきました。 tsujimotter.hatenablog.com執筆時は、この研究の先行研究にあたるものを発見できず、「先行研究はあるかわからないが独自にこんな発見をした」というスタンスを取っていました。しかしながら、やはり探せばあるものです。このブログでも何度かお世話になっている木村巌先生より、2件ほど教えていただきました。私自身の力で見つけることができなかったので、大変ありがたいお話です！ [1] Sasaki : On a lower bound for the class number of an imaginary…

(新) 檜山正幸のキマイラ飼育記 メモ編•一昨日

空間、正象限、方体、単体

ベクトル空間を単に空間と呼ぶことがある。ベクトル空間は自由ベクトル空間〈基底付きベクトル空間〉とする。 空間＝自由ベクトル空間＝基底付きベクトル空間 「格子」を付けると「整数環上の」の意味になる。 格子空間＝格子自由加群＝基底付き格子自由加群 正象限〈positive quadrant | 正クォドラント〉（ほんとは非負）、標準方体、標準単体が定義できる。 基底 A 空間 RA 正象限 (R≧0)A 標準方体 JA 標準単体 Δn-1 ProbMeas(A) これらを格子化すると 基底 A 格子空間 ZA 格子正象限 NA 格子標準方体 BA 格子標準単体 A

kmjp's blog•一昨日

Codeforces ECR #088: E. Modular Stability

ECRのEにしては解法が簡潔。 http://codeforces.com/contest/1359/problem/E

【う山先生】の　はてなブログ•一昨日

［中学受験・高校大学受験］【算数・数学】【う山先生・２０２１年対策問題】［印字・数列・６回目］

［中学受験・高校大学受験］【算数・数学】【う山先生・２０２１年対策問題】［印字・数列・６回目］ □──────────────────□ 【う山ＴＶ】（スタディ）（バラエティ） 【算数合格トラの巻】 【算太・数子の算数教室】(R) □──────────────────□ (o^-')b 本日はこの問題にチャレンジ☆【2021年対策】の問題です♪ □──────────────────□ □ 2021/01/21（木） □ (o^-')b 本日は【う山先生からの挑戦状】 【2021対策】【数の性質】【数列】の問題です♪ □ （問題） １から2021の整数が並んでいます。 □ 123456789…

Aratamotsu’s blog•一昨日

分野別　初中級者が解くべき過去問精選 100 問 in python（全探索： 順序列探索）

はじめに レッドコーダーが教える、競プロ・AtCoder上達のガイドライン【中級編：目指せ水色コーダー！】という記事にある、分野別 初中級者が解くべき過去問精選 100 問をpython解いている。 今回は、全探索：順序列探索の3問！ Google Colabに置いたのはこちら

【算太・数子の算数教室】はてなブログ•一昨日

［中学受験・高校大学受験］【算数・数学】【う山先生・２０２１年対策問題】［印字・数列・６回目］

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