整数

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整数

(サイエンス)

【せいすう】

…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…であるような数の集合。0 に 1 を有限回加えるか、有限回減じるかで得られる数。集合論では自然数の直積を適当な同値類で割って得られる商代数として構成される。整数全体からなる集合は可算無限集合である。数学の代数学の一部門に整数の性質を研究する「整数論」という分野がある。

自然数を用いた構成

自然数 $(\mathbb{N},+,\times,0)$ の直積 $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ に次のような演算と同値関係 $\sim$ を入れる：

$(m_1,n_1)+'(m_2,n_2)=(m_1+m_2,n_1+n_2).$
$(m_1,n_1)\times'(m_2,n_2)=(m_1m_2+n_1n_2,m_1n_2+n_1m_2).$
$0'=(0,0).$
$(m_1,n_1)\sim(m_2,n_2)\Leftrightarrow m_1+n_2=n_1+m_2.$

これが同値関係となっていることを確かめるのは容易である。代数系 $(\mathbb{N},+',\times',0')$ を同値関係で割って得られる商代数 $((\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim,\overline{+},\overline{\times},\overline{0})$ を整数環といい、 $\mathbb{Z}$ と書く。実際この代数系は(単位的可換)環を成している。同値類 $[(n,0)]$ と自然数 $n$ とを同一視すれば $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$ である。一方 $[(0,n)]$ は $n$ の加法の逆元 $-n$ である。すなわち同値類 $[(m,n)]$ は整数 $m-n$ に対応しているのである。

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