Hatena Blog Tags
はてなブログ トップ
自然数
このタグでブログを書く
言葉の解説
ネットで話題
関連ブログ

自然数

(サイエンス)
【しぜんすう】

natural number
{0,1,2,...}といった無限に続く数のこと。順序を表す数。有限の大きさを測る量。0を含めない流儀もある。
自然数全体からなる集合は可算無限集合である。

定義を明確に示すために非負整数、正の整数などと呼び分ける場合もある。

公理化

自然数は一階述語論理の公理系として次のように形式化される。項は2変数関数記号 +,\times、1変数関数記号 s、定数記号 0 からなり、述語記号は等式のみを持つ。例えば大小関係は m\leq n\Leftrightarrow \exists r(m+r=n) と定義できる。公理は次の8種類からなる。数学的帰納法の公理図式(8)が無限個の公理を代表していることに注意して欲しい。

  1. 等式の公理
  2. \forall n\neg(sn=0).
  3. \forall m\forall n(sm=sn\Rightarrow m=n).
  4. \forall n(n+0=n).
  5. \forall m\forall n(m+sn=s(m+n)).
  6. \forall m(m\times 0=0).
  7. \forall m\forall n(m\times sn=(m\times n)+m).
  8. P(0)\wedge\forall n(P(n)\Rightarrow P(sn))\Rightarrow \forall nP(n).

この体系はペアノ算術とよばれる。ペアノ算術より少し弱い公理系としてロビンソン算術がある。

集合論における自然数の構成

集合論では自然数を集合として構成する。具体的には 0:=\emptyset、s(n)=n\cup \{n\} のように帰納的に構成される。加算や乗算はペアノ算術の公理に倣って原始帰納により定義される：

  1. m+n=\begin{cases} &m& &\text{if $n=0$}& \\ &m+r& &\text{if $n=s(r)$}& \end{cases}
  2. m\times n=\begin{cases} &0& &\text{if $n=0$}& \\ &(m\times r)+m& &\text{if $n=s(r)$}& \end{cases}

関連キーワード

リスト::数学関連

このタグの解説についてこの解説文は、すでに終了したサービス「はてなキーワード」内で有志のユーザーが作成・編集した内容に基づいています。その正確性や網羅性をはてなが保証するものではありません。問題のある記述を発見した場合には、お問い合わせフォームよりご連絡ください。
浮動点から世界を見つめる•7ヶ月前

大人への問題：１＋３＝？ について

先日の記事「大人への問題：１＋３＝□ の空欄を埋めよ。（認知症テストではありません）」に、匿名さん（以下、Aさん）のコメントがありましたので、私の疑問について教えてください。また私の考えを少し述べたいと思います。（私は、数学に疎い文系人間ですので、分かりやすい説明をお願いします。私の理解に誤りがあれば直ちに訂正します）。 Aさんのコメントは、次の3点になろうかと思います。 数の基本的な概念全般（1+1=2、など）を公理としてよいなら証明は簡単である。 具体的な概念を数量というモデルに抽象化して扱う算術の埒外で話している。 算術におけるルールを勝手に相対化して懐疑視している。 １．数の基本的な概…

#ペアノの公理#自然数#無定義語#記号#原子命題#数字のピラミッド

ネットで話題

もっと見る
464ブックマーク【ループ系昔話】 n地蔵（nは0を除く自然数） | オモコロomocoro.jp
354ブックマーク「1001の素数じゃないのかよ具合はそんじょそこらの自然数では太刀打ちできない」「７は野放しにしちゃいけない」「２とか５は独占欲が強い」 - Togetterまとめtogetter.com
212ブックマーク円周率と素数と自然数の素晴らしき関係 | ぴよひこむ円周率はπである。3.14159265… 素敵な数だ。 ちなみに上の文章は3.14159265…の文字数で書かれている。 素敵だ。 円周率1000000桁表 素数とは、「1」とその数以外に正の約数を持たない「1」でない数のことである。 素数って素敵。唯一無二だ。 この前なんか、素数の本を買ってしまった。 そのぐらいのオーラが素数にはあ...piyohi.com
159ブックマークセンター試験に「自然数」が参戦 ! !togetter.com
119ブックマークそれでも自然数の積は可換である - 吾輩は馬鹿であるsokalian.hatenadiary.org
81ブックマークa/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)=4の自然数解(a,b,c)を求める - Qiitaqiita.com
63ブックマーク「木構造と自然数の重複あり集合は等価だよね」というはなし - EchizenBlog-Zweiechizen-tm.hatenadiary.org
62ブックマーク「こっくりさん、x^4+y^4+z^4=w^4+に自然数解が存在するか証明して」　理系vsこっくりさんの漫画がホラーと教養にあふれるnlab.itmedia.co.jp
61ブックマークなぜゼータ関数の自然数の和は無限大に発散しないのかxseek-qm.net

関連ブログ

完全無欠で荒唐無稽な夢•1年前

素数の相乗平均にかかわるある極限のゆくえ

自然数の相乗平均は定義から、 スターリングの近似式を代入するとおおよその大きさが知れるわけだ。 あとで比較する素数の相乗平均との兼ね合いでｎで除しておこう。 1/e=0.367879.. となる。これは一種の極限値といえる。 うえに見習って、次の素数積の相乗平均を考えたくなるのは人情というものだ。 この積については便利な近似式がないものだから、計算機馬鹿力に頼るしかない。 自然数の相乗平均との兼ね合いで、Prime nで割っておく。ｎ番目の素数の意味だ。 昼夜兼行でn=100000000までの数値計算結果を得た。 0.34820280303736749202 先程の自然数ケースの1/e=0.3…

#自然数#素数#相加平均#相乗平均#実験数学
数学帝國への逆襲　（西春自習質問教室のブログ）•2年前

スタンダード数学演習Ⅰ･Ⅱ･Ａ･Ｂ P26 88 解答

スタンダード数学演習Ⅰ･Ⅱ･Ａ･Ｂ P26 88 解答 スタンダード数学演習Ⅰ･Ⅱ･Ａ･Ｂ P26 88 解答 自然数。互いに素。学習院大の問題です。

#スタンダード数学演習Ⅰ･Ⅱ･Ａ･Ｂ#自然数#互いに素
完全無欠で荒唐無稽な夢•2年前

レーリーの定理とビーティ数列の可視化

レーリーの定理とは物理学者の発見（証明はしていない）による自然数の分類に関わる法則だ。 αとβという正の無理数があり、下式を満たすとしよう。 ２つの集合AとBを以下のように定義する。[ ]はガウス記号でありますね。 A＝｛[α n]｝; n=1,2,3,...... B＝｛[α n]｝; n=1,2,3,...... その時、A∩B＝∅ であり、A∪B={1,2,3,4,5,.........} ２つの集合に自然数を重なること無く分解できるわけです。 たとえば、とするとAとBにｎ＝１から３０まで順番に入れて計算すれば、 {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15,…

#レーリーの定理#ビーティ数列#自然数#集合
完全無欠で荒唐無稽な夢•3年前

自然数の虚数乗の和が実数になることはあるか？

数秘術的に自然数の演算アクロバットをひねくりまわす癖があるヒトならば、考えたことがあるであろう級数和をもて遊んでみよう。 お題のとおりの自然数の虚数乗の和だ。初項だけの時を除けば、一般的には複素数になる。１は何乗しても１だからだ。 ｎをどんどん大きくして、どこかで実数になることがあるだろうか？ あいにくとそうならない宿命だが、惜しい場所がある。せっかく計算したのだから、その場所をレポートしておきたい。 下のグラフがｎが１万までの複素平面での全体像だ。縦軸が虚数軸、横軸が実軸だ。 もう少し手前のｎ=100までのプロットを示す。 実軸の－３５あたりで交差しているようだ。n=51前後で実数に接近する…

#複素数#級数#自然数#数値計算#娯楽数学#数秘術
完全無欠で荒唐無稽な夢•3年前

163 という自然数について

知る人ぞ知るマーティン・ガードナーの1975年のエイプリル・フールにExp[π √163]が、自然数であるというのがある。M.ガードナーは数学パズルと科学啓蒙家である。 自分などはその影響下にまだあるのだが、どういう意味かを明らかにするために具体的な値を示しておく。 262537412640768743.99999999999925007259719818568888........... なんと、小数点以下に９が12個連続する。 この数がモンスター群でも重要な役割を果たすのは、『シンメトリーとモンスター』を参照されたい。 この１６３の発端は二次体の代数的整数論にあったようだ。実はヘーグナー数…

#有限群論#１６３#ガードナー#整数論#二次体#自然数
香料ゐっすゐ•3年前

数の比較～無限の彼方へ～

本記事では、数の比較ということで、自然数及びその拡張概念に関する大きさの比較を示します。 注意事項 本記事は、上記に示したYouTube動画「Beyond Infinity Number Comparison」のネタバレ記事です。 大きな自然数は、無量大数やグーゴルなどのような一部の例外を除いた大多数が概数です。 本記事を表示する環境や機種によっては、1016やa0のような冪べき(累乗)や添え字が正確に表示されない場合があります*1。又、注釈記号にカーソルを重ねた際に表示される脚注では冪や添え字が正確に表示されません。 冪や添え字は右側のものが優先されます。例えば432やxanはそれぞれ4(3…

#自然数#巨大数#無限大
中高生にも分かる数学•7年前

数をたくさん足すとどうなるだろう？｜無限級数の収束/発散

【対象年次:中学一年～】 みなさんこんにちは！ 中高生にも分かる数学のお時間です。 今回は「数をたくさん足していくとどうなるのか？」という疑問を解決するために、「無限級数」についてお話ししたいと思います。 "無限"の意味は大丈夫だと思いますが、"級数"の意味はちょっと分からない人もいるかもしれませんね。級数とは 「ある規則を持った数を並べたとき、それら一つ一つの足し算で作られた数」 と言うことができます。かなりかみ砕いて言ってますが分かりにくければ以下のような例を見てください。 例: 自然数を並べる これらを足し合わせる ↑これが級数です。なんかふわっとした説明ですね汗 まあ、厳密な数学をやる…

#自然数#逆数和
おもこん•1日前

拡張テンパズル

YoutubeのQuizKnockを見ていて、面白い問題を人間とコンピュータ（のプログラムを作る人間）が勝負していました。 動画はもちろん面白かったのですが、このパズルを解くプログラムを自分でも作ってみたくなりました。 このパズルは例えば次のようなものです。 数字1, 2, 3, 4, 5と四則演算（加減乗除のこと）をつかい、その式の計算結果が20になるような式を見つけよ。 答えは複数ある可能性がありますが、ひとつ見つければ良いことにします。 例えば、 はひとつの答になっています。 パズルの名前 このパズルは有名なのでしょうか？またその呼び名はあるのでしょうか？ ネットを探してみると、「テンパ…

我が秘密のブログ編•2日前

未解決の数学の問題：バーニュ問題やツイン・プライム予想など、特に難しいものとは？

未解決の数学の問題：バーニュ問題やポアンカレ予想など、特に難しいものとは？ 数学は、論理的な思考や厳密な証明に基づいて、様々な事象や概念を抽象化し、分析し、発展させる学問です。数学は、自然科学や工学、経済学などの他の学問にも応用され、人類の知識や文明を豊かにしてきました。しかし、数学にはまだ解決されていない問題がたくさんあります。 これらの問題は、数学の最前線で研究されているもので、その解決には高度な技術や知識が必要です。また、これらの問題は、数学の本質や美しさを表すもので、その解決には創造力や洞察力が必要です。

LapineNoel’s blog•2日前

厳密さを求めること（６）

数学基礎論。 数学は物理から見ると病的なほど厳密さや無矛盾にこだわるような気がします。そんな数学も数学基礎論では病的なこだわりを捨てました。 事のはじまりは、良くわからないんですが、たぶん、無限級数の収束のような気がします。何が起きたかというと、ほぼ全員で予想外の間違いをした、という事が起きました。 有限の個数の数の足し算では、足し合わせていくのは、どの数から始めて、どんな順番で足し上げて行っても、結果は同じです。しかし、無限の個数の数を足す(無限級数)では、順番によって違う値になる、という発見があり、その事が見つかったとき、多くの数学者は自分がやっていた計算を見直した(パニックだったらしい)…

LapineNoel’s blog•2日前

厳密さを求めること（３）

波動関数。 これは日本語のWikiに以前書き込みをして、今見てみるとそのままらしいので、自分の文章を以下に転記します。 (----- ２つの波動関数の重ね合わせ(加算)が物理的に意味を持つので、波動関数は加算に関する数学である線形代数に従うと期待される。しかし、波動関数の線形代数での次数を有限な自然数Ｎと仮定すると、正準交換関係と両立しない。したがって線形代数を使うことにこだわるならば、いわば「無限次元」の線形代数を使用しなければならない。 ノイマンはユークリッド空間の無限次元版であるヒルベルト空間を用い、質点の量子力学での波動関数の数学的定義を作成した。しかし、同じ手法は多粒子の量子論、場の…

夜光杯雑記帳•3日前

【常用漢字表】漢検10級の漢字／「七五三」は神秘の数字？

今日は9月20日。漢検10級の漢字を含み、漢検9級以上の漢字を含まない用例を上げます。10級の漢字は少ないので、ネタが枯渇しつつあります。そうなれば、10級～7級あたりをまとめて考えていきたいと思います。「七五三」は「しちごさん」と読みます。このブログおなじみの「デジタル大辞泉（小学館）」では4つの解説がありますが、2番目が気になったので引用しますと、「祝い事に用いるめでたい数。奇数を陽の数とする中国の思想から出たもの。」とあります。言われてみれば、10万円未満の祝い金で偶数の金額というのは非常に少ないような気がします。さて、数字の神秘を感じるかもしれない問題を一つ。どんなに大きい奇数でもいい…

本要約ブログ•3日前

【Newton2023年9月号】

Newton(ニュートン) 2023年9月号 [雑誌] https://amzn.asia/d/cGkyTzB 【Newton2023年9月号】 数学が難しかったですが、最高でした。 数学以外にも首都直下地震、恐竜の進化、AIが導く自動運転。加速の速度がすごい。 ●内臓機能を調べる体内ロボット。内臓の上を歩くことで病気を見つけるロボットが開発された。足がついていた場所の細胞の粘着力がわかる。粘着力がpHによって変わる材料を使うと細胞のpH測定も可能。 ●超音波をあててマウスを冬眠させる実験が成功。人工冬眠が可能になるだろう。視床下部視索全野に向けて超音波を照射した。 ●土星の衛星エンケラドゥス…

島田 秀次•4日前

日本における貧富の格差拡大問題：島田 秀次の視点

日本における貧富の格差拡大問題：島田 秀次の視点日本経済の現状については、年初から新型コロナウイルス（Covid-19）感染症が拡大し、日本及び世界は戦後最悪の経済不況に陥っております。 これが今の最大の問題です。日本において、今（2020年11月）から冬にかけて最も心配されているのは、通常のインフルエンザに加えて流行の第3波が到来することです。 第３波の到来。 このような状況の中で、日本経済はどうなっているのでしょうか。 2020年4～6月の第2四半期と比較すると28.1ポイント（第2次速報値）下落し、戦後最低を更新した。 リーマンショックに端を発した金融危機よりも落ち込みが顕著で、消費低迷…

SHIMADA SYOUZI 島田 秀次のブログ•5日前

島田秀次が日本経済の振興について検討

日本経済の現状については、年初から新型コロナウイルス（Covid-19）感染症が拡大し、日本及び世界は戦後最悪の経済不況に陥っております。 これが今の最大の問題です。 日本において、今（2020年11月）から冬にかけて最も心配されているのは、通常のインフルエンザに加えて流行の第3波が到来することです。 第３波の到来。 このような状況の中で、日本経済はどうなっているのでしょうか。 2020年4～6月の第2四半期と比較すると28.1ポイント（第2次速報値）下落し、戦後最低を更新した。 リーマンショックに端を発した金融危機よりも落ち込みが顕著で、消費低迷の影響は甚大です。 日本のGDPは約500兆円…

可能性 ある 島 の•6日前

展覧会　小川佳奈子個展『寡黙な饒舌』

展覧会『小川佳奈子展「寡黙な饒舌」』を鑑賞しての備忘録JINEN GALLERYにて、2023年9月12日～17日。 古物や植物・動物などの取り合わせによる絵画13点で構成される、小川佳奈子の個展。 何らかの意味の場に何かが現象することがありうるためには、その何かがそもそも何らかの意味の場に属していなければなりません。たとえば、水はガラス壜のなかにあることがあえりますし、何らかの着想はわたしの世界観に属するものでありえます。同じように、ひとは国民として何らかの国家に所属していることがありえます。3という数は自然数に属していますし、分子は宇宙の一部をなしています。このように何かが何らかの意味の場…

言いたいこと以外言わないソレ•6日前

出力形式が一次元形式なのが悪い

夥しい量の思考しなければならない事柄が、しんしんと降り積もる牡丹雪みたいに堆積し、もはやどうやっても削り取れない砿石みたいになっちゃった。 比喩を使うほどに事実（みたいなもの）から遠ざかっていくのはとても悲しいことだ。でも喩えることでしか、すごく曖昧模糊なこの胸中を限られた文の形に出力・格納することができない。全ての物事にはぴったり完璧な文章量というものがあり、それを一文字でも超えたら、あるいは一文字でも足りなかったら、そこに解釈の隙間みたいなものが生まれて、おじゃんになるのだが、当然これを完遂するのは難しい。 今冒頭に書いた文章は、てんで駄目だ。多分12文字足りないか、26文字多い。 この文…

のブログ•7日前

小学生でも解ける！京都大学の入試問題

仕事中、暇すぎてYouTubeを見ていました。 普段はそんなの観ないんですけど、塾の先生のチャンネルが出てきて 問題）pを素数とするとは素数でないことを証明しなさい。 という問題が出てきました。 京大の問題だそうですが、これなら小学生でも解けそうです。 p=2のときは自明。 それ以外の場合。pの下一桁は1、3、5、7、9のどれかなので、下一桁だけ計算すると、 1111+4=1+4=5 3333+4=99+4=1+4=5 5555+4=55+4=5+4=9 7777+4=99+4=1+4=5 9999+4=11+4=1+4=5 というわけで下一桁が５以外のときはが5の倍数になってることがわかる。…

金持ちになろう•7日前

思考停止という病 - 苫米地英人

思考停止という病 目次 第１章 思考停止する社会 ビジネスの世界でも思考停止は平然と行われている 本当に思考停止をしているのか？ なぜ優秀な学生であっても、３年働くとダメになるのか？ 「自分の頭で考える力」が身につくと、何が得られるのか？ チャイティンの超生物学からわかること 思考そのものが生命現象の一部である 思考を停める人は、進化を止めた人 スクールオブフィッシュ 第２章 なぜ日本人の思考は停止するのか？ なぜ、自分の頭で考えられないのか？ 前例主義 「前へならえ」が、ダメな大人をつくり出す 学校の暗記教育の弊害 知識量がすべてを解決する 知識がない人はスコトーマだらけの世界で生きている …

tsubame_flying_low’s blog•10日前

森ミスについての雑駁（Gシリーズタイトル以外のギリシャ文字、Fの問題の続き）

ただの雑駁な雑談です。 そんなに大層なネタバレでもないですが、『黒猫の三角』のネタバレを含みます。 『すべてがFになる』、『笑わない数学者』、『朽ちる散る落ちる』、『四季 冬』、『τになるまで待って』、『彼女は一人で歩くのか？』を未読の人も読まないほうがいいかも。 森ミスにおけるGシリーズのタイトル以外のギリシャ文字について 森ミスでギリシャ文字といえば、当然Gシリーズのタイトルが思い浮かぶが、じつはひっそりと他にもギリシャアルファベットが登場しているのにお気付きだろうか。 例えば『黒猫の三角』に登場する猫の名前デルタは、ギリシャ文字。 デルタは小文字がδ、大文字がΔ（三角形じゃ！）。 クロネ…