数論

まだ小学生の頃に習ったことで印象に残っているのは３の倍数の確認方法でした。各桁を足した数が３の倍数ならば元の数も３の倍数、というアレです。 倍数とか約数とかがLean4で扱えるようになり、この３の倍数の確認方法の証明を書き下してみようと思いました。自分で定理を形式化して証明を与えることを一通りやるには良いのではないかと思ったのです。 任意桁数の３の倍数で証明しようとすると、その数の10進数展開がk桁あるとして各桁を$a_n$とすると$\sum_{n=0}^{k-1} a_n\,10^n$と表すことができるところから始める必要があります。まだ$\sum$記号を勉強していないこともあり、えいやで３…

Mathematics in Lean 4で進めてきているLean4の勉強も第4章となり、初等整数論が扱えるところまで来ました。 最初の節では$\sqrt{2}$が無理数であることを示します。とはいってもこの段階で示すことは$\sqrt{2}$が有理数であるとして矛盾を導くことまでです。$\sqrt{2}$が実数の中に存在することまで示すわけではありません。 証明は古代ギリシャから知られているものです。$\sqrt{2}=\frac{m}{n}$となる互いに素な自然数$m,n$が存在するとします。すると $$m^2=2\,n^2$$ です。ここから$m$が偶数であることがわかります。$m=2\…

近代数学の3つのエポックメーキングな発想と発見は、解析幾何と確率論、それに数論ということになろう。 まさに17世紀の天才の世紀の創造力の結晶である。 そして、これらは、いずれも同時代のフランスの3人によって、為されたというのは、数学史上の奇遇と奇跡あるいは奇瑞というべきではないだろうか？ 3人とはデカルト、パスカル、フェルマーだけれども、ほぼ踵を接して生きたのだ。 デカルトは座標系と代数を結びつけることで、それまでのユークリッド幾何学の伝統に新たな対抗的な伝統を創始した。 やや若いパスカルとフェルマーは、古代数学にはまったく存在しなかった「確率」を 賭け事から拾い出した。パスカルは、幾何学では…

Hardy Littlewoodの定数という双子素数の拡張に関する定数がある。 ここでｐはｎ以上のすべての素数であり、無限個での積の極限を意味する。n=6とする 自分の非力な計算機と能力では、素数を2000000個まででの計算しかできなくて その値は0.186614302085344364095,,,,,,,,,,となる。 だが、如何なる偶然の仕業か！ 下のような三角関数の積の極限値が異様に近い。 この近似値は0.186611388026708605231894491738........となる。 両方とも数学的なバックグラウンドは別物だということは注意しておく。 どうやら一致は小数点5桁まで…

ｎ項の基本対称式のパターンがｎ個あるという前回の話の継続であります。 すなわち、5個の変数があれば、 次のような5個の基本対称式の種類がある。 今回はこれを自然数に対して適用して、素数の出現を表現するという面白半分の試みです。 例えば、自然数1,2,3,4,5に対して、基本対称式の5種の計算値は15, 85, 225, 274, 120となる。ここでの素数は皆無である。 n=１から10までにこれを繰り返す、個々の素数判定を可視化してみよう。パスカルの三角形的に表示してみた。 白抜き四角が素数であり、黒は合成数である。素数は少ないですね。 これを（基本対称式+1）で試行しよう。n=5での実例は1…

大数学者ガウスが認めた唯一の女性数学者ソフィージェルマンは、フェルマーの最終定理に関する次の定理で知られている。 2p + 1 もまた素数であるような素数 p においてフェルマーの最終定理が成り立つ ja.wikipedia.org これにちなんで、2 p+1が素数であるpをソフィージェルマン素数という。 ガウスとソフィージェルマンという卓越したカップルにちなんで、複素平面におけるガウス整数の素数でソフィージェルマン素数であるものを可視化してみた。 天上界における二人の栄光に捧げる。 【参考文献】 プライムナンバーズ ―魅惑的で楽しい素数の事典 (O’Reilly math series) 作…

数学マニアならこの二次式のｘが０から39までの整数ですべて素数になることを知っていると思います。 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601 はいずれも素数ですね。この手の二次式をオイラーの二次式と言っているようです。 これは伝説の数学コラムニ…

数学にはノーベル賞に代わって「フィールズ賞（カナダ）」や「アーベル賞（ノルウェー）」があります。しかしそれ以外にもすばらしい業績を残した数学者に与えられる名誉ある賞があります。今回はその中のひとつ、フランスのフランス科学アカデミー賞をご紹介します。

現在２０２４年１０月１２日１８時２１分である。（この投稿は、ほぼ３２８５文字）麻友「コンパクト開位相って、何」私「取り敢えず、位相空間論で、コンパクト開位相（かいいそう）というものが、あるという認識だけで良い」若菜「お父さんの失敗談ですか？」私「そうなんだ。大学２回生の夏休み、岩波基礎数学選書の、『位相幾何学』を、読みたいと、思っていた。位相幾何学 (岩波基礎数学選書)作者:服部 晶夫岩波書店Amazon位相幾何学の予備知識に、あたるのが、位相空間論である。私は、１回生のとき買った、トポロジーと幾何学入門作者:I.M.シンガー,J.A.ソープ培風館Amazonという本の第１章が、位相空間論で、…

現在２０２４年１０月１２日１時２０分である。（この投稿は、ほぼ２９５４文字）麻友「変な時間ね」私「寝そびれたんだ。ちょっとパソコンを触って、眠くなったら寝る」結弦「久し振りに、問題だね」若菜「どんな問題でしょう」私「こうしてみた」 問題１９ 時間 の関数、 が、あるとしよう。例えば適当に、 など。ここで、 が、３次元の空間（実数直線が、３本直交しているという意味）だとして、時間と共に、３次元の空間を動いていく点を、考える。座標を、 と、３つの関数で、表されるように、その点が、動くとする。さて、３次元の各点には、温度が分布しているとする。そうすると、ある時刻 に、その点のいる場所での、温度が、 …

昔、ふと思い立って「結び目と素数」について調べていた時期があった。 www.kinokuniya.co.jp 細かい経緯はよく覚えていない。ただ結び目のアレクサンダー多項式と数論の岩澤不変量が対応するというストーリーに関して、単なるアナロジーにしてはうまくいきすぎているという印象を抱いたように思う。そして結び目の量子不変量に対応する算術的チャーン＝サイモンズ理論（Arithmetic Chern-Simons Theory）というワードにときめきや可能性を感じた気もする。 結論から述べると、「結び目と素数」は伸びなかった話題だ。数論側の量子不変量というものがどうあるべきか、この枠組みから微かに…

記事の内容 この記事では、数学を楽しむための本を紹介します。 私自身、一般的な読み物から、大学数学入門まで幅広く学びを楽しんでいます。 それら本をこの記事で整理し、誰かの役に立つようにまとめておきたい、というのが記事の狙いです。 数学、本当に面白く奥深いですよね。自分のペースで、ゆったり歩んでいきたいですね。 それでは目次をご覧ください。 記事の内容 このブログ全体のガイドラインはこちらへ 数学読み物 数学の世界地図 数の悪魔 「無限」に魅入られた天才数学者たち 神は数学者か 集合とはなにか 竹内外史 「超」入門 微分積分 大学入試問題で語る数論の世界 素数夜曲 女王陛下のLISP 数学は言葉…

ガロアという数学者をご存じでしょうか？とびぬけた数学の才能がありながら、不幸が重なり、若くしてこの世を去ってしまった、太く短く人生を駆け抜けていった数学界のカリスマです。数学的な研究については難しくて理解できていませんが、私の大好きな数学者の一人です。 今日はそんなガロアについてご紹介します！

同じルートを踏むことなく、すべての点や線を一筆で描くパズルで遊んだことはありますか？与えられた図形を一筆で描くゲームです。9つのドットを一筆で全部通過する「ナインドットパズル」や、脳トレ問題としても扱われているこの「一筆書き」は、数学でも扱われてきた立派な研究だったりします。 今回はそんな一筆書き問題について紹介します。

≪１≫ 愚問のススメ第二章、サンプルの事例は前回の数論の世界から180度変わって、幾何の世界からの出し物となります。 ≪２≫ おなじみの四色問題：平面の地図を塗り分けるには４色あれば十分、という例のあれです。証明されたという1976年以降、いまはもう定理になっちゃってる訳ですが 「これの立体版というのはどうなんだろう、、、」 と思うのが、正しい愚問の道その１です。 ３分ほど目を閉じて考えてみますと、下図のような「反例」が浮かんでくるかと思います。 あるいは、もっと単純に、 これは、すべての立体の国が腕を伸ばしてお互いに接しているので、必要な色の数は∞ 色。ということで、あえなく立体の世界での「…

数学について興味がない人でも「フェルマー」や「フェルマーの最終定理」という言葉は聞いたことがあるのではないでしょうか？「フェルマーの料理」なんて漫画（およびドラマ）もありますよね。必殺技みたいで格好いいですよね、フェルマーの最終定理。これは、名前の通り「フェルマー」という人が提案した数学問題です。今回はそんなフェルマーの最終定理について、数学について詳しくない人でも理解しやすいよう、ご説明します！ フェルマーさんのイメージ

こちらの記事でも軽くふれましたが、フランスの数学者は個性の強い方が多いように思います。例えばソフィー・ジェルマンは女性ながら数学好きが高じて家族の説得にも負けずに数学の研究に励み、フェルマーは裁判官が本職でありながら数学で歴史に名を残しています。ガロアは才能がありましたが若くして決闘で命を散らすなど、生き方そのものがドラマチックな人が多い印象です。そもそも数学者は世間の価値観に惑わされず、己の道を進むタイプの人が多いですが、フランスの数学者は他にも何か理由があるのでしょうか？ フランスの数学者たちのイメージ

前回の記事では、フランスの有名な数学者を紹介しました。この数学者たちの活躍の足跡を見ていると、フェルマーが登場した17世紀あたりから、一気に数学文化が盛り上がった印象があります。この記事では、フェルマー以前はフランスの数学はどのような状態だったかについてご紹介します！

ひとつ前の記事「数論の扉を開いた孤高の女性数学者、ソフィー・ジェルマン」をまとめながらふと思ったのですが、ソフィー・ジェルマンだけでなく、彼女の研究に影響を与えたルジャンドル、ポアンカレ問題で知られるポアンカレ、フェルマー、ガロア・・・フランスって偉大でかつ個性の強い数学者、多すぎませんか？もしかして私が知らない、すごい数学者がまだまだいるのじゃないか？・・・というわけで、今回はフランスの数学者をまとめてみました。 フランスのすごい数学者たちのイメージ