実験数学

≪１≫ 枕元に置いている書物のひとつ、岩波、数学公式 Ⅱ の三角関数のあたりをめくっていたところ、またまた「挟まれた狭い領域」というのに関心を抱いてしまいました。ｐ176，177のグラフのところです。 そのグラフというのは、超基本的な以下のモノであります。 いきなりですが、この領域と面積をそれぞれＡ、Ｂ、また交点をα、βとして、その数値を探索していきましょう。あわよくば、このＡとＢに何らかの関係があるんじゃなかろうか、、、との魂胆も抱きつつ。 で、領域Ａは、あか：sin、みどり：cos、あお：tan で囲まれたところ。 領域Ｂは、あか：1/sin、みどり：1/cos、あお：1/tan で囲まれ…

≪１≫ ブルーバックス「数学オリンピック問題にみる現代数学」(小島寛之、1995、講談社) に、以下の問題が載っていました。 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 任意の実数 x１に対し、数列｛ｘn ｝（ｎ≧１）を、 で定める。 このとき、すべての自然数ｎに対して を満たすような、ただ１つの実数ｘ１が存在することを証明しなさい。 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 多少、意訳引用していますが、元出題が1985年の数学オリンピック・フィンラ…

≪１≫ 先月に引き続きまして、調和級数 ζ(１) やバーゼル級数 ζ(２)を親元とみたて、三角関数 sin、tanさんらを招いて級数の収束・発散っぷりを観察してみましょう。あっ、前回も今回も記入はしていませんが、ｎは基本１から∞の範囲です。 ≪２≫ まずは、「分母ｎにナニかを足す」という場合。 ＝＋∞ 整数ｎのときのsinｎの値の範囲は、±１未満の範囲ということからして、先々の大きいｎにsinｎはあんまり影響を与えない、つまり全体的には調和級数（＋∞）と同類、ということでこれは＋∞が妥当。 ＝「＋∞」 この tan の場合はちょいとややこしい。 tanｎがプラスマイナス０近辺だと調和級数っぽく…

二次の無理数を連分数展開する。逐次、連分数にすると分数の列が生まれる。 その分子に素数はどう出現するかが今回の試算です。 例えば、２の平方根は、はじめの３０個はこうなる。 その分子に着眼し、そのうちの素数はどうなるか？ 3, 7, 17, 41, 239, 577, 665857, 9369319, 63018038201 の７個になるわけだ Sqrt[3]ではどうであろうか？ 同じくはじめの３０個の分数列の分子には 2, 5, 7, 19, 71, 97, 3691, 191861, 138907099 があり、９個の素数だ。 ところが、Sqrt[5]では「０個」になるのが、今回のネタであり…

Gemini君に教示してもらいました。 盲目ですが有名な数学者を教えてください 1. レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler, 1707–1783) 史上最も多作な数学者の一人として知られるオイラーは、人生の後半をほぼ全盲の状態で過ごしました。 経緯: 30代で右目の視力をほぼ失い、59歳ごろには左目も白内障で失明しました。功績: 失明後も驚異的な記憶力と暗算能力を駆使し、口述筆記によって研究を続けました。実は、全盲になってからのほうが論文の執筆ペースが上がったと言われており、オイラーの全業績の約3分の1は失明後に生み出されたものです。 2. レフ・ポントリャーギン (Lev …

≪１≫ 昔むかしの東大入試に出された問題で、次のようなのがあったと。 「点（ｘ、ｙ）は単位円内を動くとします。 このとき、点（ｘ+ｙ、ｘｙ）の動く範囲はどういう図形か、 図示しましょう」 「エンマの唇」とは、その解答の図に付けられたあだ名として親しまれている。（出題は1954＝昭和29年） ところで、当ブログでもいつもお世話になっている関数： ｙ＝ｘ！ ｙ＝ｘ^ｘ においても、区間［０、１］に限定すれば、次図のとおり「エンマの唇」が現れる。 本日の題材は、こっちの方の唇を対象にして、それを閉じてみる；どこまで閉じれるものか･･･というあたりを探索する。 ≪２≫ まずは、双方とも扱いやすいように…

≪１≫ 辺長が３，４，５のピタゴラス三角形は、シンプルで美だ。 この3辺の長さの棒で正三角形を張れるか、逆にいうと正三角形内で頂点からの距離が３，４，５となる点は存在するのか？ということに興味をもった。 ≪２≫ そうすると、わりかし簡単に出てきた。（ただし、代数的な計算ではなく図形処理で。以下、数値は計算値） そういうのは、正三角形の１辺の長さが、6.76643（？）のときに成就される。その点の位置は図のとおり。これは第一ピタゴラス点と呼ばれている。（我が家内のみです） ≪３≫ つぎのピタゴラス三角形、５，１２，１３ではどうか。 同様な手順で、辺の長さが 16.52･･･のときに成就と。 ≪４…