級数

前回の調和級数の回 *1の続きだが、今回は Cauchy の収束判定法を用いて、級数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} $ の収束条件を考えてみよう。 $ \alpha $ が実数のとき、級数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} $ は $ \alpha > 1$ なら収束し、$ \alpha \leqq 1$ なら発散することが知られている。これは前回の調和級数を特別な場合として含む。この証明は、古典的な証明を一般化した Cauchy condensation test *2を用いたり、広義…

≪１≫ 泣く子も黙る痛快な関数は何？といえば、ご存知ゼータ関数。 これの分母や分子をいろいろいじくって楽しむという趣味があるのですが、本日は分子の方に三角関数をのせて楽しんでみたいと思います。なお、ｋ≧１としていますように、範囲は実数の世界のものです。名付けて「ゼータの三角関数乗せ」。 ≪２≫ ではいきなりですが、分子１のところを sinｎ とかに置き換えてみましょう。 、、 三角関数のなかにπを入れないのが味わい深いものとなるようです。これをk=１，２あたりで計算しますと、次表の結果に。 sin、cosはお行儀がよいものの、tanはやや暴れん坊風。挙動を見るためグラフ化（n=1000程度です…

x=0の近傍で微分可能な関数は下式に展開されるというのは高校で習った。 例えば、指数関数は となるが、 この分母を細工して、項を追加した場合はどんな関数（陽な表示）になるだろう？ 式の変形でこうなるのがわかる。 では、これはどうか？ 受験数学的だけれども、三角関数のバリエーションもある。 結果はこんな感じ。 三角関数の結果が代数的でないと陽表現にはならないだろう。 この関数のグラフだ。 ちょっとした変形なのに陽な結果がだせそうにないのが、これだ。分母の１がなければ、シンプルな分数式になる。 あるいは二項係数 Cを含む下式。 あるいは、手練な人ならなにかに結びつけることは可能かもしれない。 この…

はがの整数倍でない時，条件収束する級数です．この証明が面白かったのでメモしておこうと思います．条件収束するとはすなわち，は収束するが，各項の絶対値を取った級数は発散するということなので，示すことが二つあります． まずが収束することを示すにはディリクレの収束判定法を用います． ディリクレの判定法 - Wikipedia 簡単に言えば単調な列が0に収束し，の部分和列が有界ならの和が収束するという定理です．，としてこの定理を適用してあげると収束することが示せます．条件の確認をします．が単調で極限値が0であることはいいでしょう．の部分和列が有界なことを示します．あまり有名ではないですが以下の公式があり…

数秘術的に自然数の演算アクロバットをひねくりまわす癖があるヒトならば、考えたことがあるであろう級数和をもて遊んでみよう。 お題のとおりの自然数の虚数乗の和だ。初項だけの時を除けば、一般的には複素数になる。１は何乗しても１だからだ。 ｎをどんどん大きくして、どこかで実数になることがあるだろうか？ あいにくとそうならない宿命だが、惜しい場所がある。せっかく計算したのだから、その場所をレポートしておきたい。 下のグラフがｎが１万までの複素平面での全体像だ。縦軸が虚数軸、横軸が実軸だ。 もう少し手前のｎ=100までのプロットを示す。 実軸の－３５あたりで交差しているようだ。n=51前後で実数に接近する…

質問 大学数学の問題です。 冪級数について、次の等式を証明せよ。 (Σ[n=0〜∞]x^n)^2=Σ[n=0〜∞](n+1)x^n よろしくお願いいたします。 #知恵袋_ 大学数学の問題です。 - 冪級数について、次の等式を証明せよ。(Σ[n=0〜∞]x^n)^2=Σ[n=0〜∞](n+1)x^n... - Yahoo!知恵袋 回答 面白い式ですね。 級数にこんな等式があるのかと感心しました。 数学的に厳密な証明となるとお手上げですが、大雑把な概略で良ければ。

最近話題の形式的冪級数 (FPS) です。最近と言いつつ 4 年くらい前から流行り始めていた気がします。当時は「母関数」と呼んでいる人が多かった気がします。 今回は、FPS で考察をしていて「$\frac{\dd}{\dd x}y = f(y)$ なる FPS $y(x)$ に対して $y(x)\bmod x^n$ を求めたいな〜」となったときの話をします。 導入 たとえば、考察の結果、求めたい $y$ が $y^2 + 2xyy' - y' = 0$, $y(0) = 1$ となるらしいことがわかったとします*1。 出処 これは Catalan 数です。$C(x) = 1 + xC(x)^2…

こんにちは。 中学１年生のときの担任の先生が，近くの中学校で教鞭を取られていると知りました。定年退職後に非常勤でつづけられているのだと思います。 こちらの教室の生徒さんの中には，中学校でその先生に数学を習っている方もいらっしゃいます。昔の担任の先生と，ペアを組んで生徒さんを教えているような，不思議な感覚にとらわれます。 さて，その先生ですが，中学１年生の私たちに次のようなお話をしてくださいました。 たぶん覚えているのは私だけなのですが，そのお話が実に興味深い内容でした。 １つはアキレスと亀のお話。 実際は中１にもわかるようにもう少し簡単にして，微分や無限級数についてお話してくださいました。後年…

森美術館では現在、開館20周年記念展「ワールド・クラスルーム：現代アートの国語・算数・理科・社会」が開催されています。 展覧会のテーマ・みどころ 現代アートは学校の教科で考える図画工作や美術といった枠組みをこえ、むしろ国語・算数・理科・社会などのあらゆる科目に通じるものとなってきました。 本展は現代アート作品を通して未知の世界に多様な観点から出会い、学べる展覧会です。 現代美術史における重要な作品や、世界的なアーティストの新作など、合計54組のアーティストの作品が展示されています。 出展作品約150点のうち、半数以上を森美術館のコレクションが占めます。また、本展のための新作も披露されています。…

皆さん、こんにちは。 今回は、以前紹介したバーゼル問題（バーゼル問題 カテゴリーの記事一覧 - ちょぴん先生の数学部屋 (hatenablog.com) )に類似したいくつかの極限について紹介していこうと思います。

（2023/5/20） 『2040 2040年の未来予測』 成毛眞 日経BP 2021/1/8 ＜あらゆるもののコンピュータ―化＞ ＜破綻しつつある社会制度や減る一方の人口、起こるだろう天災＞ ・「今日」には、これから起こることの萌芽がある。現在を見つめれば、未来の形をつかむことは誰にでもできる。 ・新しいテクノロジーは、ありがたみがわかったときにはすでに陳腐化している。テクノロジーだけではなく、他のさまざまなことも、気づいたときには手遅れになっているのが人間の性でもある。東日本大震災があり、そのリスクをわかっていながらも、被災するまで手を打つ人は少ないし、明らかに破綻しつつある社会制度にも、…

ChatGPTに、numbaの有り無しでの処理速度を比較するため、ライプニッツ級数で円周率を計算するPythonコードを書いてもらいました。 指示文(プロンプト): ライプニッツ級数を用いて、円周率を計算するPythonコードを提示してください。和の上限を10^9としてください。numbaを利用する場合と利用しない場合、それぞれ提示してください。 numbaを利用する場合： import numba @numba.jit def pi_leibniz(n): sum = 0 for i in range(n): sum += (-1)**i / (2*i + 1) return sum * 4…

問題文 問題文は以下をご覧ください。 https://judge.u-aizu.ac.jp/onlinejudge/description.jsp?id=2951&lang=jp この記事は非公式です。この問題の公式解説は以下からご覧ください。 2019/Practice/模擬国内予選/講評 - ICPC OB/OG の会

【問題】以下の定積分を計算せよ。 【ヒント】 ① を、何かの微分形に書き換えて、部分積分する。 ② を、無限級数の形にする。 ③ を求める。 解答はyoutubeを見てね！ ランキング参加中数学・科学・工学 ランキング参加中数学

テイラー展開の原理 テイラー展開の成り立ちを完全に説明した。実はこうして生まれたのであった。なかなか書かれていない解説である。 ■参考書 シリーズ：日評数学選書 新版 微分と積分 その思想と方法https://www.nippyo.co.jp/shop/book/1731.html遠山さんのほんです。私が高校の時に買いました。１９７０年頃です。この本以外にこのような解説は見たことがありません。 ■解説 図１にある関数を示す。 図1 ある関数 図1において、 ｆ4＝ｆ0＋⊿ｆ0＋⊿ｆ1＋⊿ｆ2＋⊿ｆ3 である。 ここで、 ⊿ｆ0＝ｆ1－ｆ0 ⊿ｆ1＝ｆ2－ｆ1 ⊿ｆ2＝ｆ3－ｆ2 ⊿ｆ3＝ｆ4－…

昨日はゼルダの新作をやっていたら一日が終わった。 一応家事もやっているが、ゼルダをプレイするインターバルにねじこんでいる感じ。ゼルダ洗濯ゼルダ作り置きゼルダ掃除ゼルダ。 今作は序盤からだいぶマップが広い。横の広さに加え、今作は上方向にも移動できるのでx軸とy軸の移動がありいきなり行くところが多い。 そして新しい能力が登場し、これが流行りのクラフト系なのだ。武器に石をくっつけるとか、丸太と丸太をくっつけて帆を張り舟にするとか。 こんなのできることが等比級数みたいに増えていく。もはや遊び方を考えるところから始めねばならない。 当然時間がするすると溶けていくので、結果として日曜日はほとんどゼルダに捧…

ワタシ自身、大学生からクルマに乗っていた。ニッサンＳ１２シルビアをＣＡ１８ＥのＲ-ＸＥ⇒ＦＪ２０ＥのＲＳ-Ｘ、結婚して子供生まれチャイルドシート法制化に依りＲＢ２５ＤＥの４ドアセダンのＲ３４スカイライン２５ＧＴ-Ｖ、ソコまでは自動車メーカーに勤めている限り、自分にとって３リッター６気筒が持てるデッドラインだろうと思っていた。 しかし、自動車メーカーの出向者斬りのおかげで、開かれた気がする。 タイミング良かったのか、ＳＯＨＣながら５リッターＶ１２、アルピナが圧縮比アップしたエンジン搭載のアルピナＢ１２-５.０ＢＭＷを買う機会を得た。ＳＯＨＣだが、スロットルに対するレスポンスも音もキレイだった。家…