級数

まえがき 積分評価に必要な結論(補題) 結論 I 証明 結論 II 証明 結論 III 証明 積分の評価 まえがき 今回取り上げたのは下記の積分です。 もちろん、 の部分を と書き換えて、留数で求めた結果の実部を取り出して完成ですが、複素解析の知識なしでも、実解析の知識だけで十分かなと思い、つい解いてみました。

まえがき 関数の内積 関数の直交 定義 正規直交基底 フーリエ級数 各係数（座標）の導出 なぜ教科書では定数項が なのか？ おわりに まえがき 昔フーリエ級数を勉強するとき、導出がよくわからず公式を無理やり覚えさせられていましたが、理解が浅かったことでずっともやもやしていました。その後、線形代数の授業に入ってベクトル空間や内積空間を学んだことで覚えさせられた公式は、実はとあるベクトルと直交基底との内積をとってその基底における座標を求めることにすぎないとついに悟りました。

≪１≫ 先月に引き続きまして、調和級数 ζ(１) やバーゼル級数 ζ(２)を親元とみたて、三角関数 sin、tanさんらを招いて級数の収束・発散っぷりを観察してみましょう。あっ、前回も今回も記入はしていませんが、ｎは基本１から∞の範囲です。 ≪２≫ まずは、「分母ｎにナニかを足す」という場合。 ＝＋∞ 整数ｎのときのsinｎの値の範囲は、±１未満の範囲ということからして、先々の大きいｎにsinｎはあんまり影響を与えない、つまり全体的には調和級数（＋∞）と同類、ということでこれは＋∞が妥当。 ＝「＋∞」 この tan の場合はちょいとややこしい。 tanｎがプラスマイナス０近辺だと調和級数っぽく…

≪１≫ 数列の級数和を求めるのは実に楽しいことで、これのもっともbasicなのは、「自然数の逆数和なら発散するものが、平方数にすると収束する」という事実でした。 ・・・① ＝1.64493 … （OEIS A013 661、超有名定数） これはいろいろな見方ができ、指数のところを「１から２に増やす」つまり分母を大きくしちゃうと発散級数から収束級数へと落ち着くんだ、というのが標準的な見方ですね。 本日は、この見方・いじくり方をいろいろ変えてみて、これの近くに潜んでいる楽しい級数たちを訪れてみよう！との試みとなります。いじくり方というのは幾万とある訳ですが、今回は何となく親和性のありそうな（ ･･…

メルカトル級数（交代調和級数）、ライプニッツ級数は交代和の有名な級数である。今回はこれらを簡潔に証明する。 ・メルカトル級数の証明 メルカトル級数とは次の級数である。 【証明】 級数の部分和を とおくと、求める級数は である。 ステップ① を の形で表す。 ステップ② 誤差項が で に収束することを示す。 ステップ①、②より、 以上で証明が完了した。 ・ライプニッツ級数の証明 ライプニッツ級数とは次の級数である。 【証明】 級数の部分和を とおくと、求める級数は である。 ステップ① を の形で表す。 ステップ② 誤差項が で に収束することを示す。 ステップ①、②より、 以上で証明が完了した…

特殊関数論の始まりは等比級数の和の式です。これが最重要だとする数学者もいるそうな。 こんなわかりきった関数など興味なしとする人々もいるでしょう。 だけどね、こんな反復操作するとどうでしょうか？ つまり、ｑを等比級数の和の式で置き換えるのです。 この級数展開をq＜1でしてみなはれ、と振られたら、数学居士の面々もうなるのではなかろうか？ 自分も音を上げたし、数式処理ソフトも完全なる解をよこさない。 こんな半端な級数展開を返したわけであります。 n=10での説明です。 本来は下記の等比級数を考えている。 このｑを下記にように置き換える。 すると、等比級数の項目が激増してしまう。 級数和の式から変形す…

フーリエ変換② 前回の文章をさらに解説しよう。 「すべての周期音は、 その音の、、、⋯、倍の周期の 純音の和で表すことができる」 これを要約したのがフーリエ級数だ。 級数とは数列の各項を順に加法記号（＋）で結んだもの。 簡単に言えば、数を無限に＋で足し合わせたものだ。 例えば、 なども級数である。 これを上の文章で音響学に適用すると、 すべての周期音は、 のような式で表せるということになる。 そして、純音は三角関数だから、 つまりこのように表記できる。 今回は級数という単語の意味だけ覚えよう。