解析学

最近、東京大学出版会の基礎数学シリーズ第2巻『解析入門Ⅰ』を読み進めている。以前にも読もうとして挫折した経験がある。一度は諦めて売却したけれど、性懲りもなくまた購入して再挑戦することにした。それがもう3年近くも前になる。購入日は2021年11月14日だった。 解析学を理解したい理由として、単純に数学という学問に興味があったから、というのが理由の1つだ。線形代数学、解析学、集合論が現代数学を学ぶ上での基礎だろうか。基礎といえば数学基礎論という分野もあるけれど、数学を構築する論理に関してが主であり数を対象とした分野ではないと理解している。 物理学も好きな分野であり、そこでは線形代数や解析学が使われ…

0. この記事でやること Darboux の定理と言う名前の定理はいくつかあるらしいが、ここでいう Darboux の定理は、解析学における積分の理論で重要になる命題である。最近解析学を学んでいるのだが、Riemann 積分の理論の中では一番技巧的(?)な命題で、ちょっと理解に苦労したので、この命題の証明を自分で再構成してみることにした。以下では、 Darboux の定理と同値な命題を明らかにした上で、それを用いて定理を証明する。本質的な部分は教科書の標準的な証明 *1*2 と変わりはないが、より本質がわかりやすい形になっていると思う。 1. Riemann 積分 $f$ を閉区間 $[a, …

前回の調和級数の回 *1の続きだが、今回は Cauchy の収束判定法を用いて、級数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} $ の収束条件を考えてみよう。 $ \alpha $ が実数のとき、級数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} $ は $ \alpha > 1$ なら収束し、$ \alpha \leqq 1$ なら発散することが知られている。これは前回の調和級数を特別な場合として含む。この証明は、古典的な証明を一般化した Cauchy condensation test *2を用いたり、広義…

数学 #まとめ編 yhayato1320.hatenablog.com Index Index 解析学 微分積分学 積分法 微分方程式 常微分方程式 偏微分方程式 関数解析学 / 位相解析学 フーリエ変換 / Fourier Transform 作用素 Jensen の不等式 参考 書籍 Web サイト 解析学 微分積分学 微分積分学 ja.wikipedia.org 積分法 積分の歴史 ～ルベーグ積分までの道のり～ [2020] wakara.co.jp 微分方程式 常微分方程式 偏微分方程式 関数解析学 / 位相解析学 関数解析学 ja.wikipedia.org フーリエ変換 / Fou…

日記 昨日、台風で部分的に休校になるものだと思いこんでいたので夜遅くまで起きてみたのだが結局台風がすぐに温帯低気圧に変わってしまったせいでそれはただの夜ふかしとなってしまった。つまるところ今日もあまりパフォーマンスが出せなかった気がする。 今日の時間割はアルゴリズム、中国語、現代社会、それと電子回路。 積分 最近全然話題に出さなくなった積分。 今日の昼休みに現代社会の課題を終わらせようと図書館に行った際に「ご冗談でしょう、ファインマンさん」という、課題とは全くの無関係な本を見つけた。 実は前に私が、図書館入ってすぐのところにある本棚に置かれている大学編入用の問題集を解いたときにこの本由来の積分…

Analysis. アナリシス

「Foundations of Modern Analysis」は、フランス数学界の碩学、ジャン・デュドネ(Jean Dieudonne)が1960年代初めに著した一冊にして、そのタイトルが明に示す通り、また序文にも記されているように、現代解析学の基礎・基盤を読者に提示するものである。 タイトルにある"foundations"を「基本」と捉えると、解析学の「入門書」と見做されるかもしれないが、まったくそうではない。 この点を序文から引いてご紹介しておくと、まず、読者としては大学の数学科を終えた大学院生、もしくは例外的に優秀な学部専門課程の学生が想定され、彼らが研究の道へ踏み出す前に習得しておく…