部分積分の学問
*リスト：リスト::数学関連
三角関数の極限 は、三角関数の微分公式の導出にあたって必要となる重要な極限です。 この極限を求めるためには、下記の不等式を得ることがカギになります。 この不等式について、高校の教科書では図形的に説明されることが多いですが、本稿では図形的性質を用いず、あくまで解析的に証明しようと思います。 このことにより、面積や長さの図形的比較に頼らない、より論理的な記述が可能になります。 ステップ① の解析的証明 ステップ② の証明 ステップ③ 三角関数の微分公式 の導出 ステップ① の解析的証明 【方針】 ・ , , を、媒介変数 を用いた式でそれぞれ表す。 ・ 式の大小を評価して、 , をそれぞれ示す。 …
前回は eulerscat.hatenablog.com の記事でマグロウヒル大学演習の一般位相の紹介をしました。 大学1年くらいの時に大学図書館で見つけて読んだ数学本があったのです。 最近その本を見つけたと思って購入していたのですが、なんせ20年くらい前なのであまり記憶がなかったのですが、改めてその本に目を通してみてなんだかやっぱりその本ではない気がしてきていました。 ちょっと自信がなく、その本に目を通しても記憶がやっぱりほとんどないというか、やっぱり違う本だったのかなと今は思い始めています。 という訳で、その本のことを紹介するのはやめて、今回は同じく大学1年の時によんで、解析学の基礎という…
0. この記事でやること Darboux の定理と言う名前の定理はいくつかあるらしいが、ここでいう Darboux の定理は、解析学における積分の理論で重要になる命題である。最近解析学を学んでいるのだが、Riemann 積分の理論の中では一番技巧的(?)な命題で、ちょっと理解に苦労したので、この命題の証明を自分で再構成してみることにした。以下では、 Darboux の定理と同値な命題を明らかにした上で、それを用いて定理を証明する。本質的な部分は教科書の標準的な証明 *1*2 と変わりはないが、より本質がわかりやすい形になっていると思う。 1. Riemann 積分 $f$ を閉区間 $[a, …
前回の調和級数の回 *1の続きだが、今回は Cauchy の収束判定法を用いて、級数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} $ の収束条件を考えてみよう。 $ \alpha $ が実数のとき、級数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}} $ は $ \alpha > 1$ なら収束し、$ \alpha \leqq 1$ なら発散することが知られている。これは前回の調和級数を特別な場合として含む。この証明は、古典的な証明を一般化した Cauchy condensation test *2を用いたり、広義…
数学 #まとめ編 yhayato1320.hatenablog.com Index Index 解析学 微分積分学 積分法 微分方程式 常微分方程式 偏微分方程式 関数解析学 / 位相解析学 フーリエ変換 / Fourier Transform 作用素 Jensen の不等式 参考 書籍 Web サイト 解析学 微分積分学 微分積分学 ja.wikipedia.org 積分法 積分の歴史 ～ルベーグ積分までの道のり～ [2020] wakara.co.jp 微分方程式 常微分方程式 常微分方程式 yhayato1320.hatenablog.com 偏微分方程式 関数解析学 / 位相解析学 関…
こんにちは. ぱいです. 下記 3 点の条件を同時にみたす病的な実関数 を思いついたので, 解説します. 条件 すべての点 において, は連続となる. すべての点 において, は下半連続とならない. すべての点 において, は上半連続となる.
日記 昨日、台風で部分的に休校になるものだと思いこんでいたので夜遅くまで起きてみたのだが結局台風がすぐに温帯低気圧に変わってしまったせいでそれはただの夜ふかしとなってしまった。つまるところ今日もあまりパフォーマンスが出せなかった気がする。 今日の時間割はアルゴリズム、中国語、現代社会、それと電子回路。 積分 最近全然話題に出さなくなった積分。 今日の昼休みに現代社会の課題を終わらせようと図書館に行った際に「ご冗談でしょう、ファインマンさん」という、課題とは全くの無関係な本を見つけた。 実は前に私が、図書館入ってすぐのところにある本棚に置かれている大学編入用の問題集を解いたときにこの本由来の積分…
Analysis. アナリシス
「Foundations of Modern Analysis」は、フランス数学界の碩学、ジャン・デュドネ(Jean Dieudonne)が1960年代初めに著した一冊にして、そのタイトルが明に示す通り、また序文にも記されているように、現代解析学の基礎・基盤を読者に提示するものである。 タイトルにある"foundations"を「基本」と捉えると、解析学の「入門書」と見做されるかもしれないが、まったくそうではない。 この点を序文から引いてご紹介しておくと、まず、読者としては大学の数学科を終えた大学院生、もしくは例外的に優秀な学部専門課程の学生が想定され、彼らが研究の道へ踏み出す前に習得しておく…
解析概論の無理数論を読む（その1）の続きです．the-maya-hiker.hatenablog.com解析概論は用語や記法が独特なので，この記事では一般的（と思われる）用語や記法に書き改めることにします． 切断の定義 まずは切断の定義です．数直線をどこか1点で切断して左（小さい方）と右（大きい方）に分けるイメージですね． 定義1 有理数全部の集合を次の条件1, 2に従って空でない2つの部分集合に分けるとき，そのの対を切断といい，で表す． かつ ．すなわち を全体集合として， であり である． ならば ． また を切断の下組， を上組という． 切断の下組だけで定義する 切断 において と は互…
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