代数学

こんにちは. ぱいです. 今日は, アイゼンシュタインの判定法の判定法について書きます. つまり, 多項式の既約判定がテーマです. (「判定法の判定法」は誤植ではないです.) なお, この記事では, 多項式の係数が整数の場合だけ を扱います. 整数全体の集合を で表し, 整数係数の多項式全体の集合を ] で表します. 多項式 を級数展開表示したときの各 次の係数を で表すことにします. つまり, の級数展開表示を以下のように書きます. \begin{align} f(x) = a(f;n)x^{n} + \cdots + a(f;1)x + a(f;0).\end{align} また, 以下の…

本ブログでは 藤崎源二郎 著 岩波講座基礎数学6 体とGalois理論 (1977) の章末問題の解答例をまとめます。 現在は1, 2章の解答例ができています。 www.dropbox.com また、10問ずつ程度でまとめて個別のページを作るつもりです（未定） 岩波基礎数学選書 体とガロア理論 作者:藤﨑源二郎 岩波書店 Amazon

Euclid域について説明する。 Euclid域の定義 代数系(,+,*,c,e)は整域、かつ関数 v: →が存在して、次の1、2が成立する 1.任意のに対して、v(x,y)>v(x) 2.に対して、が存在して、 ⅰx=y*q+r ⅱ r=c または v(y)>v(r) Euclid域は素元分解整域である。

整域の定義 代数系(H,+,*,c,e)は可換環かつ、任意のに対して、x*y=cならばx=cまたはy=c 別表現 代数系(H,+,*,c,e)は可換環かつ、任意のに対して、x*y=cかつならばy=c 代数系(H,+,*,c,e)は可換環かつ、任意のに対して、ならば 特徴 体は整域である 有限な整域は体である 一般に可換環は整域でない 可換環 Z,Q,R,C 多項式環、p元体環(pは素数)は整域である は整域でない

置き換え（おきかえ）は、ある物事や要素を他の物事や要素で代替することを指します。一つの要素を別の要素で取り替えることによって、元の要素の役割や機能を新しい要素が果たすようになります。 置き換えは、さまざまな文脈で使用されます。例えば、数学や代数学では、方程式や式の中で変数を置き換えることがあります。これによって、より単純な形や解析的な解が得られる場合があります。 また、コンピュータ科学やプログラミングでは、文字列や変数の値を別の文字列や値で置き換えることがあります。これによって、プログラムの処理や表示を変更することができます。 さらに、一般的な意味では、置き換えは何かを他のもので代替する行為を…

こんにちは. ぱいです. 今日は, 群論について下記の問題を解説します. (2023/2/12 追記. 不備があったため, 条件 (4) の表現を差し替えました.) 問題 を群として, 下記の条件 (1) ～ (4) を考えます. (1) は有限群となる. (2) のどんな真部分群も有限群となる. (3) のどんな元の位数も有限となる. (4) の生成元として, 位数が有限な元の組を取ることができる. このとき, 明らかに下記の (ア) ～ (ウ) が成り立ちます. (ア) (1) ⇒ (2) (イ) (2) ⇒ (3) (ウ) (3) ⇒ (4)では, (ア) ～ (ウ) の逆はそれぞれ成り…

次のような問題を考えましょう： 問題：$0 有理数となるような$a,b$を全て求めよ。（こちらで見かけたのがきっかけです： cos(rπ)∈ℚとなるr∈ℚについて | Mathlog） 解法 リンク先では高校数学の範疇で難しい議論をしていますが、この問題は代数学を使えば比較的簡単に示せます：$\alpha=\cos(a\pi/b)$としましょう。ここで$n=b (2\mid a), 2b (2\nmid a)$とすれば$\zeta_n=\exp(a\pi i/b)$は$1$の原始$n$乗根で（$\mathbb{Q}$上の）次数*1は$\varphi(n)$です。よって$2\alpha=\zet…