代数学

こんにちは. ぱいです. 京都大学の入試の過去問でこんな問題があります. 京大の過去問 (2006年後期) は有理数か？ この過去問の解答例はいろんなサイトで解説され尽くしているので割愛します. が有理数かどうかを考えたら, 今度は や についても次のような問題を考えたくなるのが人間のサガだと思います. 問題 や は有理数か？ この問題について, 代数的整数論を使ったスマートな解き方を思いついたので, その解き方を解説します. なお, 代数的整数論を知らない人にも分かるように解説しますので, 知らない人も安心して読んでください♪

こんにちは. ぱいです. 今日は, アイゼンシュタインの判定法の判定法について書きます. つまり, 多項式の既約判定がテーマです. (「判定法の判定法」は誤植ではないです.) なお, この記事では, 多項式の係数が整数の場合だけ を扱います. 整数全体の集合を で表し, 整数係数の多項式全体の集合を ] で表します. 多項式 を級数展開表示したときの各 次の係数を で表すことにします. つまり, の級数展開表示を以下のように書きます. \begin{align} f(x) = a(f;n)x^{n} + \cdots + a(f;1)x + a(f;0).\end{align} また, 以下の…

本ブログでは 藤崎源二郎 著 岩波講座基礎数学6 体とGalois理論 (1977) の章末問題の解答例をまとめます。 現在は1, 2章の解答例ができています。 www.dropbox.com また、10問ずつ程度でまとめて個別のページを作るつもりです（未定） 岩波基礎数学選書 体とガロア理論 作者:藤﨑源二郎 岩波書店 Amazon

Euclid域について説明する。 Euclid域の定義 代数系(,+,*,c,e)は整域、かつ関数 v: →が存在して、次の1、2が成立する 1.任意のに対して、v(x,y)>v(x) 2.に対して、が存在して、 ⅰx=y*q+r ⅱ r=c または v(y)>v(r) Euclid域は素元分解整域である。

こんにちは. ぱいです. このあいだむぐむぐ勉強会で部分環の定義について雑談をして, 楽しかったです. そこで, 今日の記事のテーマは, 部分環の定義です. ※なお, この記事では, 環は必ず単位元を持つものとします. ※可換性は特に気にしません. 早速ですが, 部分環の定義を述べます. 部分環の定義 を環とし, を の部分集合とする. が の 部分環 であるとは, 次の条件 (1), (2) が両方とも成り立つときをいう. (1) は と同じ演算で環となる. (2) の単位元を とおけば, となる. 数学を勉強している人の中には, 「この (2) の条件は一体なんやねん！」とモヤモヤしている…

置き換え（おきかえ）は、ある物事や要素を他の物事や要素で代替することを指します。一つの要素を別の要素で取り替えることによって、元の要素の役割や機能を新しい要素が果たすようになります。 置き換えは、さまざまな文脈で使用されます。例えば、数学や代数学では、方程式や式の中で変数を置き換えることがあります。これによって、より単純な形や解析的な解が得られる場合があります。 また、コンピュータ科学やプログラミングでは、文字列や変数の値を別の文字列や値で置き換えることがあります。これによって、プログラムの処理や表示を変更することができます。 さらに、一般的な意味では、置き換えは何かを他のもので代替する行為を…

こんにちは. ぱいです. 今日は, 群論について下記の問題を解説します. (2023/2/12 追記. 不備があったため, 条件 (4) の表現を差し替えました.) 問題 を群として, 下記の条件 (1) ～ (4) を考えます. (1) は有限群となる. (2) のどんな真部分群も有限群となる. (3) のどんな元の位数も有限となる. (4) の生成元として, 位数が有限な元の組を取ることができる. このとき, 明らかに下記の (ア) ～ (ウ) が成り立ちます. (ア) (1) ⇒ (2) (イ) (2) ⇒ (3) (ウ) (3) ⇒ (4)では, (ア) ～ (ウ) の逆はそれぞれ成り…