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環論
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環論

(サイエンス)
【かんろん】

数学における環（加法と乗法の二項演算を備えた代数系）を研究する学問分野。

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シン・ぱいおつ日記•1年前

アイゼンシュタインの判定法の判定法

こんにちは. ぱいです. 今日は, アイゼンシュタインの判定法の判定法について書きます. つまり, 多項式の既約判定がテーマです. (「判定法の判定法」は誤植ではないです.) なお, この記事では, 多項式の係数が整数の場合だけ を扱います. 整数全体の集合を で表し, 整数係数の多項式全体の集合を ] で表します. 多項式 を級数展開表示したときの各 次の係数を で表すことにします. つまり, の級数展開表示を以下のように書きます. \begin{align} f(x) = a(f;n)x^{n} + \cdots + a(f;1)x + a(f;0).\end{align} また, 以下の…

#整数論#代数学#環論#可換環論#多項式

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study_unnatural’s blog•2年前

【テンソル積】環のテンソル積は圏論的「直和」である。

加群の直和は、有限個の場合直積と一致します。 では、環の場合にも、その環から積を忘れたものの直和ってことで、有限個の直積を直和と思うのは良いのでしょうか。⊕の記号を×の代わりに使うのは筋が悪くないのでしょうか。 今回得た知見は、 「環における圏論的直和はテンソル積である」 ということです。 つまり、環の直積を直和記号⊕で書くのは避けるべきものだということです。 実際、テンソル積と直積は一般には環同型となりません。 より正確には、環はZ代数であり(以下Zは有理整数環)、対象をZ代数、射をZ代数の準同型とした時の直和が(Z上の)テンソル積であるということです。 圏論的な概念はよく知りませんが、だい…

#代数#環論#テンソル積
シン・ぱいおつ日記•2年前

環の単位元と部分環の定義の話

こんにちは. ぱいです. このあいだむぐむぐ勉強会で部分環の定義について雑談をして, 楽しかったです. そこで, 今日の記事のテーマは, 部分環の定義です. ※なお, この記事では, 環は必ず単位元を持つものとします. ※可換性は特に気にしません. 早速ですが, 部分環の定義を述べます. 部分環の定義 を環とし, を の部分集合とする. が の 部分環 であるとは, 次の条件 (1), (2) が両方とも成り立つときをいう. (1) は と同じ演算で環となる. (2) の単位元を とおけば, となる. 数学を勉強している人の中には, 「この (2) の条件は一体なんやねん！」とモヤモヤしている…

#数学#代数学#環論#体論