代数

今回は代数メインで証明の書き方について説明していこうと思います。証明の基本となる「型」を理解して、楽に書けるようになりましょう！幾何はこちらで解説しています。 例えば、 2つの奇数の和が偶数になることを証明せよ。 と書かれていたら、どのように書けばいいのでしょうか。 まず、使う文字を宣言します。例えば、「n,mを整数とする。」のように書きます。そして、問題文に出てくる数を文字で表します。今回の場合だと、「2つの奇数は2n+1,2m+1と表せる。」のように書きます。続いて、問題文の状況を式で表します。「(2n+1)+(2m+1)」のように書き、計算します。そして、「=2(n+m+1)」と書きます…

あらいくまたんです。 《＾=・(⊥)・=＾》 5月に中２ピヨ子の授業参観に行ってきました。 ■こちらの記事のつづきです■ 数学の授業も、英語と同様クラスを半分にわけた少人数で行います。 ちなみに、英語も数学も、この分け方はランダムで、学力でわけているわけではないそうです。 数学の授業参観が演習？ 授業参観の数学だけど、授業が始まって先生の発言。 「じゃあ、この前割りふった問題を、20分あげるから班ごとに解法を書いてチームスにアップして。 そのあと、班ごとに発表してもらいます。 解き方は一つじゃない場合は、それも説明してくれていいよ。」 とだけ告げられると、20分間班に分かれての問題演習の時間に…

加群の直和は、有限個の場合直積と一致します。 では、環の場合にも、その環から積を忘れたものの直和ってことで、有限個の直積を直和と思うのは良いのでしょうか。⊕の記号を×の代わりに使うのは筋が悪くないのでしょうか。 今回得た知見は、 「環における圏論的直和はテンソル積である」 ということです。 つまり、環の直積を直和記号⊕で書くのは避けるべきものだということです。 実際、テンソル積と直積は一般には環同型となりません。 より正確には、環はZ代数であり(以下Zは有理整数環)、対象をZ代数、射をZ代数の準同型とした時の直和が(Z上の)テンソル積であるということです。 圏論的な概念はよく知りませんが、だい…

計算ミス・凡ミスが多い息子は、最近になって再び公文算数を始めました。 小学3年生頃にやっていたのですが1年ほどでやめてしまったので、その時以来の公文です。 やっているといっても教室に通っている訳ではなく、メルカリで使用済みのものを購入して答えの欄に付箋を貼りコピーして使っています（節約のため）。 この冬休みに小学校低学年レベルの簡単な足し算から始めて、今月割り算に入りました。 中学３年生なのでさすがに短時間で終わるのですが、割り算に入ると間違いが少し増え始めました。 間違える箇所は全て引き算でした。 子供が言うには間違いの原因は、"計算する時に○○－○○の答えはたぶん△だろうと思い解答するのだ…

本日、メインの部分を読み終わりました。6章の最後の10ページは飛ばし読みでしたが、なんとか読み終えました。この本の良いところは、書いてあることに根拠が示してあることです。行間が少ないというのではなく、「XXXである」と書いてあるとすると、その直後に（命題6.12(2)）などというふうに、その根拠となる命題などが詳しく示されているのです。これは本当に助かりました。これが数学の書籍の標準となってほしいものです。何かを主張するときには、その根拠を同時に示す（特に初学者が読むような入門的な書籍では）のは当然ではないかと思います。 今回は、自立して読んだというよりは、手を取って、引っ張ってもらったという…

豆腐を切っていてふと思いついた。 で豆腐を切ると個、ずつ足して、で切ると。なので、問：以下の式でとを満たす整数の組を全て求めよ。但し、 とする。 （※なにか不明点などがありましたら、ご指摘ください）

現在第4章の「体の代数拡大」の章に入りました。4.9[例題]に「体Q(\sqrt(2))の自己同型群Aut(Q(\sqrt(2)))を求めよ」という問題が載っています。私にとって代数の本の練習問題で難しいのは、この手の問題です。XXX群を求めよといっても、どうやればよいのか、（たくさんあったときに）どう答えたらよいのか、よくわからなかったのです。この例題の解答には、「最初であるから、自己同型を決定するプロセスを、丁寧に説明してみよう」とあります。これによって、どう考え始めたらよいのか、どう答えたらよいのか、実例を見ることができ、とても助かります。 もうすぐ、メインの部分の半分まで到達します。後…