狭義*1には代数学の理論のひとつ。 フランスの数学者E.Galoisによって見出された。
ガロア拡大*2における中間体とガロア群*3のクルル位相に関する閉部分群が一対一に対応する*4というのがガロア理論の基本定理である。
体の拡大の情報を群が統制するという双対性は代数学の美しさ、強力さを如実に語っている。
cf. 群論 *リスト::数学関連
*1:広義には被覆や微分方程式におけるガロア理論も含む。
*2:正規かつ分離的な代数拡大
*3:ガロア拡大L/Kに対して、L上のK-自己同型全体が成す群
*4:ガロア群の有限部分群は閉というArtinの定理が顕著。
ガロア理論の基礎を大学生向けプレゼンテーション資料として生成させた。 ・体の拡大のタワーという比喩はいいし、最小拡大体の役割も見えてくる。 ・中間体が可解群の系列に移され、その剰余群がアーベル群であることが必要十分条件となる。 ・5次方程式は交代群A5に移され単純群になってしまい、可解群ではない よく知られていないのですが拡大体の塔は冪根を追加したもの。つまり、冪根の組合せでは5次以上の方程式は解けないという主張です。代数的に解けないけれども解析的な関数を持ち込むと解ける（エルミートが5次方程式を解いています！） ウーム、 AI生成のこのビジュアルはもっとも「可解性」が高い可視化だと思いますね…
4-4相愛数❤︎❤︎❤︎と共役複素数という概念はひじょうに深い関係で結ばれているように思われるのです。たとえば、次のような定数項が複素共役となる二つの4次方程式というものを考えてみることにしましょう。
こんにちは！マルチーズ先生です。一緒にガロア理論のストーリーを理解していきましょう！ ランキング参加中数学・科学・工学 ランキング参加中数学
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