ガロア理論

現在第4章の「体の代数拡大」の章に入りました。4.9[例題]に「体Q(\sqrt(2))の自己同型群Aut(Q(\sqrt(2)))を求めよ」という問題が載っています。私にとって代数の本の練習問題で難しいのは、この手の問題です。XXX群を求めよといっても、どうやればよいのか、（たくさんあったときに）どう答えたらよいのか、よくわからなかったのです。この例題の解答には、「最初であるから、自己同型を決定するプロセスを、丁寧に説明してみよう」とあります。これによって、どう考え始めたらよいのか、どう答えたらよいのか、実例を見ることができ、とても助かります。 もうすぐ、メインの部分の半分まで到達します。後…

ガロア理論のよくあるポイントは、以下の通りです。１．「方程式が代数的に解ける」: 係数に対する加減乗除の四則演算と冪根を求める有限回操作で解を持つ つまり、『冪根拡大体の列を持つ』 例えば、方程式X⁵＝５は、冪根で表されるので、代数的に解けます。 ２．「ガロア群が可解群である」： 『ガロア群が正規部分群の列を持ち、全ての剰余群が巡回群である』 例えば、方程式X⁵＝５のガロア群は、素数位数５の巡回群になるので、ガロア群は可解群です。 ３． 『冪根拡大体の列を持つ』 ⇒ 正規拡大体の列にできる ⇒ 『ガロア群が正規部分群の列を持ち、全ての剰余群が巡回群である』 なので、 「方程式が代数的に解ける」…

ガロア理論の要点は、以下の通りです。(方程式の最小分解体) L ⊃ (中間体) M ⊃ (方程式の係数体) Kにおいて、(Lの不変群) Gal(L/L)={e},(Mの不変群) Gal(L/M)=N,(Kの不変群) Gal(L/K)=Gとすると、{e} ⊂ N ⊂ G となります。１．方程式の最小分解体Lは、その中間体Mのガロア拡大になる⇒ 最小分解体Lの中間体Mに、ガロア群N＝Gal(L/M)が定義できる(ガロア対応)２．方程式が代数的に解ける⇒中間体Mが係数体Kの(原始)冪根拡大になる⇒ ガロア群{e}=Gal(L/L) ⊂ N=Gal(L/M) ⊂ G=Gal(L/K)が、正規部分群列 …

※2012年9月26日のYahoo!ブログを再掲。 ↓↓↓ 乱択アルゴリズムに続く、数学ガール第5段。もう5作目かぁ。 本作でのテーマはガロア理論。ガロアって誰？ってことでちょっと調べてみた。ウィキペディアによると、 エヴァリスト・ガロア（1811-1832）は、フランスの数学者および革命家である。 とのこと。 1811年生まれで20歳で亡くなっている。1811年生まれといえば、ナポレオン2世、佐久間象山ってところ。日本は江戸時代で、ガロアの生まれたフランスは、ナポレオン帝政の絶頂期ってところになる。 ガロアの生涯については本書では多く触れていない。むしろ波乱過ぎる生涯にばかり目が行きがちなガ…

現在２０２２年５月１２日２０時０１分。（この投稿は、ほぼ２９７７文字）麻友「数学より、『老い』の方が、まだ、面白いわ」私「母からも、姪と甥のことは書くなと、注意されたが、自分のことは、勝手にしなさいと、言われた。今後、若菜と結弦は、姪と甥と、距離を置くことにするが、自分のことは、書いていく」若菜「『約束だった算数（その４）』で、私、悪者にされてますよね。 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 若菜「正五角形ということは、黄金比のはずですから、 で、お父さんの式にも、 が現れてますから、大丈夫なんじゃないですか？」私「そうなのかなあ？」 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊…

現在２０２２年５月１０日１６時３３分である。（この投稿は、ほぼ３４２３文字）麻友「わーあ、久し振りの算数」私「すっぽかしたりは、しない。ＡＫＢ４８小学算数 (ＡＫＢ４８学習参考書)学研プラスAmazonの、私の４番目の間違い。第４１番だったね」麻友「うんうん。見てみたい」私「恥ずかしいけど、若菜「あちゃー。計算ミス。どうしてこんな」結弦「『次はチーム対抗のリレーよ。まず，トラックの周りの長さを調べなきゃネ。下のトラックの周りは，全長何ｍかしら？』という問題」若菜「手堅く、４０ｍ✕３．１４＝１２５．６ １２５．６＋１６０＝２８５．６ で、 答え ２８５．６ｍ は、合っているようですけど」麻友「間…

「1/2+1/3」という分数の足し算、勿論、殆どの日本人は通分して答は出せると思うのですが、「何故通分して分母を合わせるのか？」という事を納得している人間は、如何やらそんなに多くはないみたいなのです。 さて、お得意の自分語りですが、俺は小学生の頃、これを習った時に、確か家で「2等分されたピザを3等分して、また3等分されたピザを2等分してみたいな絵を描いたりして、自分で納得する」という作業をしました。教師に言われた事を自分で納得せずに猿真似する事が、兎に角嫌だったので。代わりに宿題の算数ドリルは一切しなかったので、勿論、テストの点数は(公立小学校で！)ずっと下の方でした。一方で100点とか取る連…

本日2022/4/17は2022年アドベントカレンダーの-228日目になります（2022/11/30を-1日目とする）。4/20からにするとちょうど225=25*9なのでアドカレ9回分とキリがいいのですが、そうやって延期すると一生やらないことを私はよく知ってるので、正直眠たいですが思い立った今からやります。 5章はガロア理論です。数年前に数学科出身の人に「数学をやるならガロアが（楽しいから）おすすめだよ」的なことを言われたので気にはなってたんですよね…気合と根性がなくて先延ばしにしていました。 とりあえず序文を眺めていますが、「体Fを特定の体Kの拡大として考える」「代数拡大・超越拡大があって、…

2021年度が終わり、2022年度が始まった。今日はオフなので、YouTubeで数学の講義を見まくった。ぼく、数学にこんなに癒されるとは、思ってなかったけど、抽象的な世界や形などをイメージするのが、脳に心地いいらしく、数学のレクチャーを聞いた後だと、空気が美味しく感じるし、ピアノを弾く感覚も変わる。今だけかもしれないけど、とにかく楽しいのだ。楽しくて、講義ノートを取って、複数の講義を梯子し、気がつくと何時間も経っている。数学→音楽→畑仕事→四股→数学→音楽→畑仕事→数学、、、、というような一日。 すっかりやる気になったのと、30年ぶりなのに、意外に次々思い出して、学生時代の頃の数学力（学部3回…

こちらの文献を調べる。 細かい所を抑えつつ、全体的な構造を、自分なりに考えたい。 大事なこと 定型表現をしる 物事の意味を考える時、他の意味を考える。 状況や気持ちを考える 始めましょうか こちら。 論は対象と性質の関係の類似性を見つけるのに使える 異なる数学的分野でも同じ見方に 詳細に踏み込まず、簡単に思考出来ることがある εδ論法と組み合わせ ガロア理論を圏論で説明する ガロア理論は、体論と群論の架け橋 関手がその橋渡しの役目 関手は異なる数学分野を片方から他方へ構造を保って行く道 圏論の復習 圏は、対象と射と、以下のものから構成される 各射はdomain, codomainをもつ 圏の射…

こんにちは。昆布です。 私は普段、キャンパスでいちゃついているカップルを横目に 「大学は学問をする場所だぞけしからん！！」 と心の中で呟きつつ、図書館の地下にこもって数学を勉強しています。 専門課程に進む前ですので完全に独学でやっているわけです。 思えば独学を始めたのがちょうど入試の直後でしたので、もう一年経ちます。私の勉強スタイルは基本的に独学で、大学入試の時もそうでした。ですから、お恥ずかしながら自分のことを独学のセミプロと思ってしまっているのです。 そんな私が、この一念で独学したことをこの場で発表したいと思います。私の回顧録として、あるいは同じく数学を志される方の一つの目安として、何らか…

ここではイデアルの和と積の定義についてまとめたいと思います. 基本的なことではあるのですが, わりと最初は定義を勘違いしやすいと思うので読んでみてください. まずはイデアルの定義を確認しましょう. なおここでは環といったら可換環のことを意味することにします. 定義 1.(イデアル) を環, が次を満たすとき, のイデアルという： の加法部分群である. ならば . イデアルは整数の「 の倍数全体の集合」の一般化にあたる概念です. 実際, はイデアルになります. なぜなら の倍数どうしの和や差はまた の倍数になる 整数と の倍数をかけると の倍数になる からです. あとの具体例で使うので, 環 の…

「零の発見」吉田洋一 (1939) 右綴じの岩波新書。80年近く前に出版されている。手元にあるのは中古だが108刷目だ。 古本屋でパラパラ捲って「これは勉強の合間に読む軽い歴史書としてちょうどいいかな」と思い購入したのだが、予想とは裏腹に実際に頁を捲っていると、現代ではなかなかお目にかからないような日本語の言い回しのオンパレードでやや苦戦した。 ただ話の内容自体はアマチュア向けで、数式も最低限に留まり、多少は著者の憶測も含んでいるが、概ね史実をベースとして書かれている。 これを書いた吉田洋一氏はWikipediaによれば北大理学部数学科の創設に携わった数学者だったらしい。 第一部は表題の「零の…

前回に引き続いて、雪江代数に載っている定理の別証明を自分なりに考えたので、書いてまとめておく。 用語の定義と定理 $ n $ 次交代群とは、$ n $ 次対称群 $S_n$ の偶置換全体の集合のことで、$S_n$の正規部分群である。 定義1. $ sgn \colon S_n \to \{1, -1\} $ を符号とする。この時、$sgn$ は全射準同型となる。$A_n = Ker(sgn)$ を $ n $ 次交替群という。 群 $G$ の自明な正規部分群とは、$G$ それ自身と、$\{1_G\}$ のことである。 定義2. 群 $G$ が非可換群で、自明でない正規部分群を持たないとき、$G…

こんにちは。きなこです。今年は諸般の事情により寒中見舞いとさせていただきます。ちなみに記事中で引用する名言に関しては自己啓発屋の捏造や意味の曲解の可能性がありますのできちんと裏とりをしてください。 昨年度の目標の反省 昔を振り返るのはここでやめにしよう。大切なのは明日何が起きるかだ。 ースティーブ・ジョブズー という言葉がございますので今年からは僕も過去を振り返るのはやめ目標の反省などということもいたしません。 今年の目標 とはいえこんな言葉もあります。 愚者は経験に学び、賢者は歴史に学ぶ ービスマルクー というわけで僕も過去に無茶な目標を建てて無茶な戦争をして滅んだ数多の国や無茶な売上目標を…

今回は準同型定理の話でした。 今回でラストです😆 【大学数学】群論入門⑨(準同型定理)【代数学】 - YouTube 《ノート》 《感想》 最後の、準同型定理の使い道 別物に見える群同士が同型であることを示したい ↓ 同型写像になる写像の構成手順を教えてくれる というのが頭に残りました😀。 同型写像の証明方法 準同型写像であることを示す ↓ 全射であることを示す ↓ 単射であることを示す という流れは押さえておきたいところですね😀。 最後の例は中々分かりやすかったですね。 剰余というのが単なる「割り算」という意味にとどまらず、「制限を入れる」という風に拡張しているように感じました。 AIなどで…