多項式

こんにちは. ぱいです. 最近, むぐむぐ勉強会でゼミを立ち上げて, 5次方程式の解析的解法について皆で学んでいます. そのゼミのテキストで面白い公式が出てきて, 面白かったので紹介します. （後述の定理 2 です.） ザックリ言うと, 行列式の余因子展開の「微分バージョン」みたいな公式です.

ABC159F O(NS)は間に合うので，次の二つが考えられる． 今見ている index を \(i \in N\)，部分和をとる区間を \([l,r)\) とする． (i): \(i \in N,\ s \in S\) を全探索， (ii): \(r \in N,\ s \in S\) を全探索， (iii): 多項式を使った数え上げ． 解法(i)まず，簡単のために通常の部分和問題を考えると， 今調べている \(i \in N\) に対して，使うか使わないかの2択を全探索． ここで，今までの和だけ決まっていれば，今までの選び方は区別する必要がなかったので， 状態をまとめることで高速化していた…

■ ■ 前回こんな問題を題材に 【問題】 （x-1)(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)(x+6)(x-7)(x+8)(x-9)(x+10)を展開した時、x^9、x^8、x^7の係数をそれぞれ求めよ。 もう少し簡単にしたこの式の展開から各係数の計算の仕方について書いてみました。 （x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=x^4+2x^3-13x^2-14x+24 x^4,x^3,x^2の係数の出し方で計算問題と場合の数のつながりを感じてもらえたかと思います。 今回は残るxの係数の出し方です。 xの係数はというと 4つの項(-1,2,-3,4)のうち1つはxを選んで残り3つは定数項を選ぶとい…

■ 多項式と場合の数のつながり ■ 算数、数学は四谷大塚の週テストのように習った単元ごとの確認テストであれば、何を考えれば（使えば）いいのかが明確なので点数は取れるけど、総まとめテストや入試問題となるとどれを使えばいいのかとたんにわからなくなって点が取れないということはよくあります。 それは単元ごとの理解はできていても、単元毎のつながりを意識して理解していないからです。このつながりを意識できるようになったら理解度は全然違ってくるはずです。 私の教え方のベースは各単元の理解をした上で、単元毎のつながりを意識するということです。 では今回はこの問題を題材にします。 【問題】 （x-1)(x+2)(…

以前に「多項式の一致の定理」というテーマの中で 点を通る 次関数(のグラフ)が存在するならば一意であることを示しました。 math-topology.hatenablog.com 今回は、そもそも「任意の 点に対し、それらの点を通る 次関数は存在するのか」 という疑問を解決しようと思います。 (上記の記事の内容を一部含みますので、合わせて読んでいただければ幸いです。) 【予備知識】 高校数学(数学Ⅱくらい)の知識があれば大丈夫です。 ラグランジュ補間 n=2のとき 次数の問題 n+1点でn次関数が決定される条件 さいごに ラグランジュ補間 今回利用するのは次の「ラグランジュ補間」と呼ばれるもの…

今回はシリーズ物から離れまして、〇次関数と書かれるものについて考えます。 高校数学で初めて学ぶ関数といえば2次関数です。 2次関数を学ぶ上で練習問題として出てくるのが「3点が与えられ、その3点を通る放物線の式を答える問題」です。 2次関数の話から 一般化と証明 部分分数分解への応用 さいごに 2次関数の話から （例) 2次関数 のグラフが3点 を通るとき、 の値を求めよ。 この問題の答えは , つまり となり、当然ながら答えはただ一つに定まります。 もちろん2点だけなら、 なども通りますから、不十分です。 これは必然なのでしょうか？ つまり3点を通る2次関数はただ一つなのでしょうか？ そして …

剰余の問題でよくある重解を持つ条件に関する問題ですが、余りをこのように置くことで簡単に解くことができます. またこのように置くことで微分するということがある種自明の操作のように思えると思います. (一般的に余りをax+bのように置くよりも遥かに良いということです) 久しぶりに使ったので記事を書く体力もモチベーションもないですが 今後は多項式の合同なども扱っていきたいと思います

幾何学と代数学の双方向性をAIで解析するアプローチは、数学の深い概念を解き明かし、新たな知見を得るための有力な方法です。この解析には、代数的構造（例：環、群、ベクトル空間）と幾何学的構造（例：空間、曲線、面）の相互関係を深く掘り下げることが含まれます。 以下に具体的な解析の進め方を説明します。 1. 幾何学と代数学の双方向性の定義 幾何学と代数学の双方向性は、以下のように特徴づけられます： 代数幾何: 多項式方程式で定義される幾何的対象（例：曲線や曲面）を代数的に解析。 幾何代数: 幾何学的対象の性質や操作を代数的な構造として表現。 相互変換: 幾何学的構造を代数的に翻訳し、逆に代数的結果を幾…

理想のサプライチェーンの評価尺度 サプライチェーンは、製品の生産から顧客への配送までの一連のプロセスです。サプライチェーンの効率化は、企業の収益性に大きな影響を与えます。サプライチェーンの効率化のためには、まずサプライチェーンを評価し、問題点を特定する必要があります。 サプライチェーンの評価尺度 (Metrics) には、以下のようなものがあります。 大規模インスタンスでの求解可能性 (size) 計算速度 (speed) 解の誤差 (error) ロバスト性 (robustness) 拡張可能性 (extendability) 適応範囲 (range) 導入速度 / 費用 (implemen…

時間の加速度を考えていたらふと、t軸に直交するuv平面のイメージが湧いてしまった。 湧いてしまったんだからしょうがない。んで、GPTと駄弁ったのだった。 Prompt: 時間軸 tt と直行する uvuv 平面という捉え方で時間平面を考察し、"(t.u.v) time dimension" をユークリッド的に3軸で扱えば、時間と重力の相似性をもう少し具体的に説明しやすくなるのではないか。 Response: 面白い提案ですね。「時間軸 tt」と直交する uvuv 平面を導入し、それを含めて (t,u,v)(t, u, v) の三次元で「時間次元」をユークリッド的に扱う考え方は、時間の多次元的な…

【2025年最新版】先進テクノロジのトレンドと今後の展望を一覧で解説 | ガートナージャパン（Gartner） 要約 以下トレンドごとに詳細化 カテゴリ1：AIの最重要課題とリスク / トレンド1 エージェント型AI：主体性を持って行動する次世代の人工知能 概要 特徴 分類 メリット デメリット 既存のAIとの比較 導入ポイント 注意点 今後 カテゴリ1：AIの最重要課題とリスク / トレンド2 AIガバナンス・プラットフォーム：信頼できるAI活用に向けた基盤 概要 特徴 分類 メリット デメリット 既存との比較 導入ポイント 注意点 今後 カテゴリ1：AIの最重要課題とリスク / トレンド3…

About arXivに掲載されたcs.AIの論文を検索し、一部をリスト化したものです。 AIによってAbstractを日本語に翻訳しており、内容に誤りがある可能性があります。 リスト件数: 34件 HALLUCINOGEN: A Benchmark for Evaluating Object Hallucination in Large Visual-Language Models http://arxiv.org/abs/2412.20622v1 Ashish Seth, Dinesh Manocha, Chirag Agarwal University of Maryland, Coll…

「ラムダ計算と無限ラムダ多項式(13) - エレファント・ビジュアライザー調査記録」、「関数プログラミングのクロージャー(1) - エレファント・ビジュアライザー調査記録」でも調べていましたが、クロージャーの代数的構造を定義して、変数が変更可能の場合と変更可能ではない場合の関係を調べるということが一つの目標です。定義の一般的な形がよくわからないときに質問の形で書くと書きやすいので、また ChatGPT で調べてみました。 入力 1: プログラミング言語 Haskell の無名関数の動作を、代数的構造を使って説明してください 結果: Haskell の無名関数（匿名関数、ラムダ式）を代数的構造を…

データサイエンス数学ストラテジスト資格の概要と魅力を深掘り なぜ数学スキルが重要なのか？ 資格の概要 資格取得のメリット この資格の特長 モデルカリキュラムとの対応 4つの学習分野 資格到達目標 領域1 データ集計・分析 領域2 数学基礎 領域3 機械学習基礎 領域4 深層学習基礎 領域5 アルゴリズム・プログラミング的思考 領域6 数学的課題解決 領域7 コンサルティング 試験概要・出題内容 学習サポート まとめ データサイエンス数学ストラテジスト | 公益財団法人 日本数学検定協会 データサイエンス数学ストラテジスト資格の概要と魅力を深掘り なぜ数学スキルが重要なのか？ データサイエンスは…

P=NP問題の証明 ****P=NP問題の証明**** 「神託により解が与えられる」を命題ｐとする。 「多項式時間で解ける」を命題ｑとする。 ￢ｐ∧ｑ⇒P → ￢P⇒￢（￢ｐ∧ｑ） ① ｐ∧ｑ⇒NP → ￢NP⇒￢（ｐ∧ｑ） ② 背理法を用いる。P＝NPと仮定する。 ￢P＝￢NP ③ ①、②、③から ￢（￢ｐ∧ｑ）＝￢（ｐ∧ｑ） ￢ｐ∧ｑ＝ｐ∧ｑ ￢ｐ＝ｐ となり、矛盾する。 従って、仮定P＝NPは誤りである。 よって、P≠NP となる。 （証明終わり） ランキング参加中数学・科学・工学

yukicoder で出そうかと思いましたが Python を通すのが難しいうえに大したことないのでここで放流します。 問題 以下の問題を考えます。 問題 多項式 $\displaystyle f(x) = \sum _ {i = 0} ^ {n-1} f_i x ^ i$ と整数 $m, c, d$ が与えられる。各 $k=0,1,\ldots,m - 1$ に対して $f(c + kd) \bmod 998244353$ を求めよ。 本記事では $m \geq n$ の場合を考えます。また、$d \not\equiv 0 \pmod{998244353}$ を仮定します。 多点評価で $\…

CRC（Cyclic Redundancy Check）は、データの誤り検出に用いられるアルゴリズムです。主に通信やストレージデータの整合性を確認する目的で広く使用されています。CRCは、送信データに対して計算される固定長の符号（CRCコード）を用いて、受信側でデータの破損を検出します。 CRCの基本的な仕組み CRCは次のステップで動作します： 多項式の定義CRCでは、特定の生成多項式（generator polynomial）が使用されます。例えば、CRC-8では多項式 x8+x2+x+1x^8 + x^2 + x + 1x8+x2+x+1 がよく使われます。 データをビット列として扱う入…

これは自力で解けても良かったな…。 https://yukicoder.me/problems/no/2994