多項式

こんにちは. ぱいです. 最近, むぐむぐ勉強会でゼミを立ち上げて, 5次方程式の解析的解法について皆で学んでいます. そのゼミのテキストで面白い公式が出てきて, 面白かったので紹介します. （後述の定理 2 です.） ザックリ言うと, 行列式の余因子展開の「微分バージョン」みたいな公式です.

ABC159F O(NS)は間に合うので，次の二つが考えられる． 今見ている index を \(i \in N\)，部分和をとる区間を \([l,r)\) とする． (i): \(i \in N,\ s \in S\) を全探索， (ii): \(r \in N,\ s \in S\) を全探索， (iii): 多項式を使った数え上げ． 解法(i)まず，簡単のために通常の部分和問題を考えると， 今調べている \(i \in N\) に対して，使うか使わないかの2択を全探索． ここで，今までの和だけ決まっていれば，今までの選び方は区別する必要がなかったので， 状態をまとめることで高速化していた…

■ ■ 前回こんな問題を題材に 【問題】 （x-1)(x+2)(x-3)(x+4)(x-5)(x+6)(x-7)(x+8)(x-9)(x+10)を展開した時、x^9、x^8、x^7の係数をそれぞれ求めよ。 もう少し簡単にしたこの式の展開から各係数の計算の仕方について書いてみました。 （x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=x^4+2x^3-13x^2-14x+24 x^4,x^3,x^2の係数の出し方で計算問題と場合の数のつながりを感じてもらえたかと思います。 今回は残るxの係数の出し方です。 xの係数はというと 4つの項(-1,2,-3,4)のうち1つはxを選んで残り3つは定数項を選ぶとい…

■ 多項式と場合の数のつながり ■ 算数、数学は四谷大塚の週テストのように習った単元ごとの確認テストであれば、何を考えれば（使えば）いいのかが明確なので点数は取れるけど、総まとめテストや入試問題となるとどれを使えばいいのかとたんにわからなくなって点が取れないということはよくあります。 それは単元ごとの理解はできていても、単元毎のつながりを意識して理解していないからです。このつながりを意識できるようになったら理解度は全然違ってくるはずです。 私の教え方のベースは各単元の理解をした上で、単元毎のつながりを意識するということです。 では今回はこの問題を題材にします。 【問題】 （x-1)(x+2)(…

以前に「多項式の一致の定理」というテーマの中で 点を通る 次関数(のグラフ)が存在するならば一意であることを示しました。 math-topology.hatenablog.com 今回は、そもそも「任意の 点に対し、それらの点を通る 次関数は存在するのか」 という疑問を解決しようと思います。 (上記の記事の内容を一部含みますので、合わせて読んでいただければ幸いです。) 【予備知識】 高校数学(数学Ⅱくらい)の知識があれば大丈夫です。 ラグランジュ補間 n=2のとき 次数の問題 n+1点でn次関数が決定される条件 さいごに ラグランジュ補間 今回利用するのは次の「ラグランジュ補間」と呼ばれるもの…

今回はシリーズ物から離れまして、〇次関数と書かれるものについて考えます。 高校数学で初めて学ぶ関数といえば2次関数です。 2次関数を学ぶ上で練習問題として出てくるのが「3点が与えられ、その3点を通る放物線の式を答える問題」です。 2次関数の話から 一般化と証明 部分分数分解への応用 さいごに 2次関数の話から （例) 2次関数 のグラフが3点 を通るとき、 の値を求めよ。 この問題の答えは , つまり となり、当然ながら答えはただ一つに定まります。 もちろん2点だけなら、 なども通りますから、不十分です。 これは必然なのでしょうか？ つまり3点を通る2次関数はただ一つなのでしょうか？ そして …