代数的構造

代数的構造

(サイエンス)

【だいすうてきこうぞう】

集合に演算や作用をいれることによって決まる構造のこと

例

など

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フラクタル代数言語 Fractal (1)

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中間報告(2)

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群論の計算(29)

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せきゅーん

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符号付き整数の代数的構造

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中間報告(1)

現在の状況は… 無限の時間にわたって動作するプログラムを半環の極限として表すことができるのではないかということで、それに似た代数的構造を探そうとしています。それを探す手段として、圏論の計算を数式の変形で行おうと考えていますがまだそこまでたどり着いていません。

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天城高原

圏論：ストリング・ダイアグラム　ー　関手

１．５関手関手は、未知の圏を既知の圏から観察できるようにしてくれる、圏論の中でも重要な概念の一つである。二つの圏が与えられたとき、これらを関手でつなぐことによって、一方の圏が持つ代数的構造を、他方の圏に持ち込むことが可能になり、他方を観察できるようにしてくれる。関手に要求されているのはとても単純で、射の合成を保存することである。関手は、射の対応づけの違いによって２種類ある。その一つは共変関手(covariant functor)と呼ばれ、射の向きが変わることはない。他の一つは反変関手(contravariant functor)と呼ばれ、射の向きが逆になる。共変関手は次のように定義される。…

bitterharvest’s diary

天城高原

圏論：ストリング・ダイアグラム　ー　合成・結合律・単位律

１．３合成射の合成は、圏を構成するための重要な道具の一つである。圏\(\mathcal{C}\)において、射\(f:A \rightarrow B, g:B \rightarrow C\)が存在したとき、\(f\)を計算し、その結果に対して\(g\)を計算することを、射の合成と言い、これを\( g \circ f\)と書く。いつも\( \circ \)を書くのは煩わしいので、今後はこれを省いて\( g f\)とする。これを\(h:A \rightarrow C\)を用いて、\( h=gf\)としたのが、図15である。図１５：射の合成それではストリング・ダイアグラムで表すことを考えよう。例に…

bitterharvest’s diary

代数的構造を乗せるデータ構造の設計について

概要 SegmentTree などのように、代数的構造 (特にモノイド) を乗せるデータ構造は多い。この部分の設計は様々だが、「静的メンバを実装した型を受け取る」設計を他の設計と比較する。設計のバリエーション A: std::function で関数オブジェクトを持つ template <class T> class segment_tree { std::function<T(T, T)> op; T id; }; B: 関数オブジェクトをそのまま持つ template <class T, class F> class segment_tree { F op; T id; }; C: 演…

noshi91のメモ

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[HoTT]HoTTをこっそり学ぶその6 いろいろぐぐっているうちに次のAwodey氏のレビューペーパーを見つけた。Steve Awodey "TYPE THEORY AND HOMOTOPY" 2010これもarXiv.orgで無料で手に入る。こんないいのがあるなら早く教えてよって感じである。全部20ページほどである。今回は一章をさくっと私訳してみよう。文献表は原文を見てほしい。 "TYPE THEORY AND HOMOTOPY"Steve Awodey 1.INTRODUCTION このインフォーマルなサーベイ論文の目的は、幾何学、代数学、そして論理学の間の新しい驚くべき結びつきを紹介…

Finite Groups Fun 有限群あるいはちょこっと計算ファンの日記

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【代数学】群がどうしても分からない君へ(群論超入門)【特別講義】

【代数学】群がどうしても分からない君へ(群論超入門)【特別講義】https://www.youtube.com/watch?v=eKg--UMWFZc&t=2s ⚫定義集合Ｇ上に２項演算子‘’‘０’が定義され、次のページ４つの条件を満たすならば、集合Ｇは演算‘’０‘’に関して群あるという。一般の演算子は可換でない! （０）閉じている（１）結合律を満たす（２）単位元が存在する（３）逆元が存在する群の例単位元は一意に定まる。逆元も、一意に定まる。群の代数的構造は「骨」群論を学ぶことで他の分野の理解も深まる。

masato19641105’s blog

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ゼミの内容

私のゼミでは位相幾何学という分野を勉強してます。具体的には位相という「近さ」の概念を一般化した「位相」を用いて、様々な多様体の性質を調べています。多様体というのは立体を一般化したようなものです。なぜこのような「一般化」が大切なのかというと、条件の少ない数理体系で考えると分かることが沢山あるからです。例えば世の中には様々な立体があります。私の大好きなタピオカのような球の表面やドーナツのようなトーラス、そして、よく言われますがコーヒーカップなども立体に入ります。これらの形を全てを分類しようと思うとなかなか難しいです。しかし、位相幾何学を用いると、閉曲面の分類定理から「オイラー標数」という穴の数のよ…

俺の数学ブログ

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斜めの線を使わない圏論(2)

まだ圏論の詳しい説明に入っていませんがしばらくこのまま続けます。自由群の説明ができるぐらいまでなんとか数式で説明していきたいのですが、どこまでできるか調べているところです。直積と直和(圏論の用語では積と余積)で作られた以下の集合を考えます。これにとの積をとする演算を定義するとで生成された自由モノイドになります。次にHaskellなどの代数的データ型について考えます。たとえばリストは以下のような定義になります。 data List a = Nil | Cons a (List a) 直積と直和を使って再帰的に書くとと書くことができて構築子で自由生成されたものと考えることができます。非…

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斜めの線を使わない圏論(1)

先日圏論の説明をしようとしましたが、ここでは可換図式の斜めの線が書けないらしいので可換図式を書くのがけっこう難しいです。そこで図を使わずに数式の変形だけで説明できないのか考えていきたいと思います。圏の定義から(Wikipediaに従って)説明していきたいと思うのですが、しかしながら圏の定義とかを数式の変形で説明するのは難しいので、とりあえず自由群の説明あたりまでは普通に説明していきたいと思います。その説明に到達するまでけっこうあります。群よりモノイドの方が簡単なのでまずは自由モノイドについて説明します。自由モノイド集合の生成する自由モノイドは、の要素の有限個の列を元とし、列の連結を演算…

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