代数的構造

こんにちは. ぱいです. BUMP OF CHICKEN の最新曲「クロノスタシス」, いい曲ですよね. 最近, 仕事中も数学をしている時もずっとこの曲ばかり聴いて過ごしています. www.youtube.com 何度も聴いているうちに, じつはこの曲は, 有限体上の多項式環 が有理整数環 へ寄せる想いを歌っているんじゃないかと気が付きました. 今日はこの発見を解説します. （注 : この記事は, 数学的な主張以外はすべて冗談です.）

マリー=ソフィ・ジェルマン ナイチンゲール エミー・ネーター フィボナッチの兎: 偉大な発見でたどる数学の歴史 (創元ビジュアル科学シリーズ3) 作者:アダム・ハート=デイヴィス 創元社 Amazon マリー=ソフィ・ジェルマン これまでに行われた実験の中で、 もっとも美しいもののひとつは、ドイツの物理学者エルンスト・クラドニが行った振動板上の実験だ。クラドニは金属板の上に砂を散らし、バイオリンの弓ではじいた。すぐに砂が跳ね、 クラドニ図形と呼ばれる素晴らしい模様が浮かび上がる。ほとんど魔法のようだ。 ナポレオンもまさに魔法だと思った。1808年、クラドニが彼の目の前で金属板をかき鳴らしたとき…

敬遠されがちみたいな印象がある[要出典]*1ので、書いてみます。 問題 観察 1 欲しい性質まとめ 観察 2 本題 成り立ってほしい性質 その他 参考文献 おわりねこ 問題 以下のような問題設定を考えます。 集合 \(S\), \(T\) と、それに関する演算 \(\circ: S\times S\to S\), \(\star: S\times T\to S\) があります。 変数 \(a_1, a_2\in S\) があり、初期値が与えられます。 あなたは、変数 \(a'_1, a'_2, a' \in S\) と \(x' \in T\) のみ読み書きできます。 以下のクエリを処理してく…

今夜はシャンパンを飲んでいる。DRAPPIERというやつで、そんなに高価ではないが、なかなか美味しい。いい具合に酔っ払っている。 今回は、数学における「完全系列」のことを書いてみたいと思う。 完全系列というのは、というふうに、集合が準同型写像(,,,)で繋がれているもので下で述べる条件を満たすものを言う。ここで「準同型」とは、代数的構造が保存される写像のことである。例えば、が群なら、積が保存される写像(すなわち、)で、が環なら、和と差と積が保存されるような写像のことだ。これらの準同型が、すべて、「(の像)＝(の0の逆像)」を満たすものが「完全系列」なのである。正式に書くと例えば、などとなる。 …

第５講の振り返り） ホモトピーとホモトピー同値の導入を行った。わざわざ見なくても今回の講座は十分に理解できると思われるが、一応リンクを載せておく。： いきなり一般の場合を考えるのはとっつきにくいということで、今回はホモトープの特別な場合である「道についてのホモトープ」というものを考えていき、そこから基本群と呼ばれる群構造を導入する。 【目次】 ホモトープの定義（再掲） 道についてのホモトープの定義 基本群の導入 step①：集合の用意 step②：演算を入れる step③：群であることの証明 ホモトープの定義（再掲） 今回扱う道についてのホモトープがホモトープの概念の特殊なケースになっているこ…

第４講の振り返り） 前回は弧状連結性について解説した。今回の内容と直接の関係はないので、見ていなくてもまったく問題ない。一応リンクを貼っておく。： 今回はホモトピーを定義して、その後ホモトピー同値を定義する。その過程で直積位相という直積空間に入る位相の定義をする。最後にそれらの概念を考える意義を言って終わる。次回以降の講座ではひとまずホモトピーの詳細に立ち入るのは避けて、その一番簡単な例である基本群について見ていくことにする。 【目次】 ホモトピーとホモトープの定義 ホモトピー同値の定義 ホモトピー同値の性質とそれを考える意義 ホモトピーとホモトープの定義 Def 5.1:ホモトピーとホモトー…

※以下の文章は厳密ではないが、肝心な点は外してないと思う。以下の文章はただ私の頭の中を整理しているだけである。憤りを感じる部分も絶対あるだろうが、目を瞑ってほしい。それぞれの学問に対する私の認識が大いに間違っている可能性がある（絶対ある）。話の風呂敷を広げ過ぎているが、大事なのは一つだけである。それが語りたいことである。それでも平気だという方はご覧ください。あまり真に受けないでください。また心理的に傷ついても責任は負いかねます。 結論から述べると、近代と現代は前提とする世界観が異なる。（気持ちの違い） 近代は仮に現実世界があるとして学問でその世界を写実に描画してきた。（写実的な構造） 一方、現…

はじめての構造主義 (講談社現代新書)作者:橋爪 大三郎講談社Amazon どんな本？ 構造主義って何？祖であるレヴィ=ストロースの紹介を通じてざっくり解説。 感想 構造とは、変換によって失われない性質。例えば、四角形を射影変換したとき、正方形だろうがそうでなかろうが、4つの線分に囲まれているという性質は変わらない。 自分の仕事での思考方法が「構造主義的だなぁ」となんとなく感じることがあったんだけど、その感覚は概ねズレてないと思えて良かった。 (…でなく)こういう構造(制度や仕組み)のもとでこういう重力が働いてこうなっている、という話をよくするから。 もちろん会社組織は特定の人間主体の思考で作…

実は以下の投稿で引用した岩明均「ヒストリエ(2003年~)」の名場面、そこだけ抜き出すと本来なら「文明の出発点だった家母長制をギリシャの家父長制が塗り潰した」「人類は家母長制の復活によってのみ救済される」と主張するバーバラ・ウォーカー流ウルトラ・フェミニストが快哉を上げる様なシーンだったりします。 バーバラ・ウォーカーの「神話・伝承事典(大修館)」はじつに興味深い書物だが、たわごとも多い。そのたわごとの検証。

こちらのレポートをざっとまとめる（まとめたい）。 始めましょうか。 Introduction Virasoro algebra 無限次元リー代数 物理 共形的対称性 時空が1、2次元で、空間が周期的な場合 円 紐理論 2次元とか、円筒とか Virasoro代数の応用 Witt代数の拡張 中心拡大？後述 The Virasoro algebra as a central extension 中心拡大としてのVirasoro代数 Virasoro代数は、群のリー代数のunique central extension ここでの群は、円の微分同相写像からなる 微分同相写像とは、2つの多様体がある時、片…

抽象数学の手ざわり: ピタゴラスの定理から圏論まで (岩波科学ライブラリー 305) 作者:斎藤 毅 岩波書店 Amazon エウクレイデス(英語読みがユークリッド)の原論→ユークリッド原論 ブルバキの数学原論数学の対象は構造を持っている。 圏論ブルバキの数学原論の限界を超えるもの数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論集合はものの集まりだが、圏は矢印の集まり。圏から圏への射は関手https://qiita.com/snuffkin/items/ecda1af8dca679f1c8ac ホモロジー例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きホモロジーを群とし…