剰余が同じになること。 通常は「≡」という関係演算子を用い、 a ≡ b (mod p) という形で表現する。
上記の式は「『a = p * n + b』なる整数nが存在する」という意味である。
前回｢その1｣では､ガウスが24歳の時に公刊した｢アリトメチカ研究｣を中心に纏めましたが､その中核をなすのが平方剰余の相互法則の発見でした。ガウス自身は｢基本定理｣と呼んだんですが､これこそがガウスの数論の始まりとも言えます。
今回は、素数に対してのフェルマーの最終定理 のファーストケースの証明を扱う。（ソフィー・ジェルマン）はフランスの女性数学者で、フェルマーの最終定理についてのそれまでの研究を大きく進展させた人物である。 が 年に証明したのが、次の定理である。 を 以上の素数とするとき、 を満たす互いに素な整数の組 は存在しない。 ※素数とは、 と がともに素数となるような素数 のことで、彼女の名前にちなんでつけられた。 この定理の証明次の流れで行う。 補題 ，補題 → ※以下、断りがなければ は 以上の素数とする。 ※一般に つの整数が「互いに素」であるとは、「 つすべての最大公約数が 」という意味である。しか…
有名な事実ではあるが、次のような定理が成り立つ。 の整除性 を素数としたとき、はを満たせばの倍数である のとき、と展開できる。分子はの倍数である。ここで分母に着目する。これはであることからの倍数ではない。よって分子のはキャンセルされずに残るので、はの倍数 この定理によって次のような合同式が成り立つことが分かる。 一年生の夢 を素数とする。このとき、 二項定理より、 この定理の系として、次の有用な定理が得られる。 フェルマーの小定理 を素数とすると、 題意は数学的帰納法によって示される。のとき、自明に正しい。で正しいとしての時を示す。先ほど示した定理によって、 が成り立つことが分かる。ここで、帰…
ランキング参加中【公式】2025年開設ブログ 今週のお題「これで冬を乗り越えました」あったかいカイロとお茶は全てを解決する！ 今日はまた筑駒の整数。高校数学の問題だったら基礎問ぐらいの感じのいい問題。 pdfは以下からダウンロードしてお使いください。 drive.google.com 解説↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ランキング参加中数学 ランキング参加中数学・科学・工学
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高校では整数の章で不定方程式ax+by=1を習います。 ただし、文字はすべて整数で、aとbは「互いに素」です。 例えば の解は です。 ただし、この他にも(x,y)=(7,-12)、(11, -19)など、無数に解があり、その一般形は となります。ただし、tは整数です。 この解一般を表したものを「一般解」、そのうちのひとつ（どれでも良い）を「特殊解」といいます。 高校では特殊解から一般解を出すところは説明されているのですが、特殊解の求め方については十分な説明がありません。 また、ネットにおける情報も十分ではないように思います。 そこで、今回は「特殊解の求め方」について書いてみたいと思います。 …
２０２０年度一橋大学の入試問題です。かなり手強かった。ネタバレ？見ても理解するのに時間が掛かりました。解法は人によって様々なようですが、自分なりに理解した方法をなるべく分かり易く記述しました。少しでも参考になれば幸いです。 自分は数式だけだと頭に入って来ないので図？を書いたりしながら、頭の中を整理してます。 この問題の時間配分どうなっているのだろう？時間内に解ける気がしない… （１）は確実に取れるようにしましょう。（２）は思考過程が重視されるのではないかと思います。（希望） 相当訓練しないと時間内に解くの難しそう。不確定要素が多いので試行錯誤しながら条件を絞っていくしかないのですが、計算手順を…
スミマセン、タイトル盛りました。 でも、嘘ではないです。釣り要素は入ってます。 ？？？ これで理解出来た人はすごく頭の良い人だと思うので回れ右して下さい。 まず、合同式が余りについて扱う等式のようなものだと言うのは誰でも想像が付きます。でも、‘＝’とは似て非なるもの。そこで混乱してしまいがちです。 ｍｏｄはプログラムや表計算でもお馴染みの記号で、“余りの数そのもの”を返すようなイメージがあります。 例えば、８÷７の計算において、mod（８，７）＝１みたいなイメージ。（書式はプログラミング言語により違います） でも、上の合同式は別物です。では何を返すのか？ ここで、幼稚園児たちに登場してもらいま…
ご訪問ありがとうございます！ 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今週は共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編です。 今回は整数の性質です。 今回の問題の原文 をを満たす自然数とする。このとき、次の問いに答えよ。 (1)のうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ。 (2)のうち少なくとも1つは5の倍数であることを示せ。 (3)(1)と(2)を用いてを満たすの組を2つ挙げよ。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 ピタゴラス数に関する問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopp…
問題.自然数 に対し, を で表す. たとえば, である. (1) を 0 以上の整数とする. は で割り切れるが, では割り切れないことを示せ. (2) が 27 で割り切れることが, が 27 で割り切れるための必要十分条件であることを示せ. 方針.(1) について は 1 が 個並んだ数で, は 1 が 個並んだ数なので, が 3 個並んだ数とみなすこともできます. このことに気がつけば, についての帰納法で証明できそうであると分かります. (2) についてこちらは (1) と比べて難しいですが, まず最初に が 9 で割り切れることが, が 9 で割り切れるための必要十分条件であること…
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