剰余が同じになること。 通常は「≡」という関係演算子を用い、 a ≡ b (mod p) という形で表現する。
上記の式は「『a = p * n + b』なる整数nが存在する」という意味である。
ランキング参加中【公式】2025年開設ブログ 今週のお題「これで冬を乗り越えました」あったかいカイロとお茶は全てを解決する！ 今日はまた筑駒の整数。高校数学の問題だったら基礎問ぐらいの感じのいい問題。 pdfは以下からダウンロードしてお使いください。 drive.google.com 解説↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ランキング参加中数学 ランキング参加中数学・科学・工学
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高校では整数の章で不定方程式ax+by=1を習います。 ただし、文字はすべて整数で、aとbは「互いに素」です。 例えば の解は です。 ただし、この他にも(x,y)=(7,-12)、(11, -19)など、無数に解があり、その一般形は となります。ただし、tは整数です。 この解一般を表したものを「一般解」、そのうちのひとつ（どれでも良い）を「特殊解」といいます。 高校では特殊解から一般解を出すところは説明されているのですが、特殊解の求め方については十分な説明がありません。 また、ネットにおける情報も十分ではないように思います。 そこで、今回は「特殊解の求め方」について書いてみたいと思います。 …
２０２０年度一橋大学の入試問題です。かなり手強かった。ネタバレ？見ても理解するのに時間が掛かりました。解法は人によって様々なようですが、自分なりに理解した方法をなるべく分かり易く記述しました。少しでも参考になれば幸いです。 自分は数式だけだと頭に入って来ないので図？を書いたりしながら、頭の中を整理してます。 この問題の時間配分どうなっているのだろう？時間内に解ける気がしない… （１）は確実に取れるようにしましょう。（２）は思考過程が重視されるのではないかと思います。（希望） 相当訓練しないと時間内に解くの難しそう。不確定要素が多いので試行錯誤しながら条件を絞っていくしかないのですが、計算手順を…
スミマセン、タイトル盛りました。 でも、嘘ではないです。釣り要素は入ってます。 ？？？ これで理解出来た人はすごく頭の良い人だと思うので回れ右して下さい。 まず、合同式が余りについて扱う等式のようなものだと言うのは誰でも想像が付きます。でも、‘＝’とは似て非なるもの。そこで混乱してしまいがちです。 ｍｏｄはプログラムや表計算でもお馴染みの記号で、“余りの数そのもの”を返すようなイメージがあります。 例えば、８÷７の計算において、mod（８，７）＝１みたいなイメージ。（書式はプログラミング言語により違います） でも、上の合同式は別物です。では何を返すのか？ ここで、幼稚園児たちに登場してもらいま…
ご訪問ありがとうございます！ 解いた数学の問題をマーク方式にして公表するブログです！管理人のRedchopperです！よろしくお願いします！ 今週は共通テスト前の確認数学Ⅰ＋A編です。 今回は整数の性質です。 今回の問題の原文 をを満たす自然数とする。このとき、次の問いに答えよ。 (1)のうち少なくとも1つは3の倍数であることを示せ。 (2)のうち少なくとも1つは5の倍数であることを示せ。 (3)(1)と(2)を用いてを満たすの組を2つ挙げよ。 今回の問題について 難易度は☆☆☆です。 ピタゴラス数に関する問題です。 難易度表記については以下の記事をご参照ください。 red-red-chopp…
問題.自然数 に対し, を で表す. たとえば, である. (1) を 0 以上の整数とする. は で割り切れるが, では割り切れないことを示せ. (2) が 27 で割り切れることが, が 27 で割り切れるための必要十分条件であることを示せ. 方針.(1) について は 1 が 個並んだ数で, は 1 が 個並んだ数なので, が 3 個並んだ数とみなすこともできます. このことに気がつけば, についての帰納法で証明できそうであると分かります. (2) についてこちらは (1) と比べて難しいですが, まず最初に が 9 で割り切れることが, が 9 で割り切れるための必要十分条件であること…
オイラーの定理(Euler's theorem)自然数 に対して, と が互いに素であるとき, 次の式が成り立つ.但し, はオイラーの関数.オイラーの名前を冠した定理は沢山ありますが, これもそのうちの一つです. オイラーのφ関数オイラーのφ関数 は, 以下の自然数で と互いに素であるものの個数を表します. 例として, (1, 3, 7, 9が10と互いに素) (1, 5, 7, 11が12と互いに素)特に, 素数 に対しては, より小さい自然数はすべて と互いに素なので,となります.上で紹介しているオイラーの定理の として素数 を与えると, フェルマーの小定理となることが分かります. 証明こ…
ウィルソンの定理定理: 2以上の正整数 が素数であることと, 次の合同式が成り立つことは同値です.\begin{align*} (p-1)!\equiv-1 \pmod{p}\tag{1} \end{align*}合同式が関係する有名な定理の一つです. (合同式についてはこちら. ) 証明 が素数なら式(1)が成り立つことの証明は1通り, 逆の証明は2通り紹介します. 前半の証明は分かりにくいかもしれませんが, 対偶を示しています. 逆の証明は, フェルマーの小定理と合同式における剰余の定理を用いる方法. ～ を積の剰余が1になる組に分けられることを示す方法. です.対偶をとって, が素数でな…
合同式における剰余の定理 の整数係数多項式 が\begin{align*} f(a)\equiv 0 \pmod{m} \end{align*}を満たす ( は整数) 任意の に対して\begin{align*} f(x)\equiv (x-a)Q(x) \pmod{m} \end{align*}となる整数係数多項式 が存在する. の次数は よりもひとつ下がっている.等式の剰余の定理は高校でも学習する範囲に入っていますが, 合同式でも同様の定理がなあり立ちます. この定理はウィルソンの定理の証明などで使います.合同式についてはこちら. 証明 を前提する.\begin{align*} f(x) …
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