ガロア拡大

この記事は仲間内で実施している数学会の発表ノートです. 本ブログのスタンス, 読むときの注意等は以下の本ブログaboutページをご覧ください. smbttimemo.hatenablog.com テーマとステータス 前記事の復習 本記事のサマリ 10.2 べき根拡大 のべき根と巡回拡大 のべき根とアーベル拡大 次記事の予告 さいごに 参考文献 テーマとステータス 私エイヒレは現在, 代数方程式の可解性に関する研究として有名なガロア理論の解説を行なっています. 教科書として, 津山高専の松田修先生による「ガロア理論を理解しよう」を使わせていただいています (良記事の無料公開ありがとうございます)…

1. はじめに メモ26に書いたように、楕円曲線の等分点の作る体や虚数乗法について学ぶためSilverman・Tateの”Rational Points on Elliptic Curves”(以下[Sil]とする）の第6章を読み始め、ざっと読んだ。でもどうもすっきり頭に入ってこない。そこで章末の問題をやってみて理解（したとの誤解?）の定着を図ることを試みた。 その中の問題の一つ（問題Aとする）が3日かかっても解決の道筋がまったく見えない。ペンディングにして別の問題（問題Bとする)を行うと、問題Bの解答と問題Aの主張が両立しないことが分かった。そこでネット検索をすると、[Sil] の正誤表を見…

宇宙際タイヒミューラー理論の準備論文の内容に入門する必要があるということでしたが、それは、遠アーベル幾何学に入門する必要があるということです。そのテーマのひとつに、 与えられた数体の絶対ガロア群から数体を復元する というものがあるらしいです。数体というのは有理数体の有限次拡大のことでした。数体の絶対ガロア群（＝対称性の情報）がもともとの数体の情報を十分に持っていれば、もともとの数体がなんであったのかを、ガロア群を設計図として復元できるのではないかということですね。星裕一郎先生の講演内容を纏めた資料「絶対ガロア群による数体の復元」を見ていくのが良さそうと思ったので、これの解読からチャレンジしまし…

ガロア拡大(Galois extension)の中心は決して定まらない。擦れることが本質なのである。決して平行な線を引くことはできない。摩擦とは反発力なのであってその山を乗り越えるのである。他者によってその3点に4面体を加えることは可能だ。許すか許されるかは(彼)(彼女)が決定することなのである。はじめに力学ありきというのはまさにこのことなのである。どうすれ違えるか。すれ違うことができないのか。彼の力学は彼なのである。「」をどうするか。誰を許す。どの形ならば置いておける？その人によって様々な幾何を。我々は目の当たりにすることはできない。平行にすれ違うことはできないのだ。人間は「人」の「間」であ…

の自己同型群を求めよう。 (1) より、 はの根を添加する拡大だから、正規拡大。よってガロア拡大。 また、 だから拡大次数は2. より、 は の根を添加する拡大だから、正規拡大。よってガロア拡大。 また、 だから拡大次数は3. 以上より はガロア拡大で、拡大次数は6. (2) の自己同型写像は、の元を動かさないことより の元も動かさないから、 の自己同型写像でもある。 一方、の自己同型はの行き先で決まるから簡単に求められ、上のの最小多項式がだから、と(ただしで定まる自己同型写像) の2つである。 全く同様に、の自己同型写像は、 の自己同型写像でもあり、それは(ただしはで定まる)。 以上より は…