結構有名? な話で、(必ずしも可換でない)単位的環では和の可換性の公理が外せるというものがあります。正確に述べると、通常$(R,+,\times,0_R,1_R)$が(単位的)環であるとは $(R,+,0_R)$が加法群 $(R,\times,1_R)$がモノイド $+$と$\times$が(左右)分配法則を満たす で定義されますが、この公理の「加法群」を「群」に変えても十分ということです。これは $x+x+y+y=(1_R+1_R)(x+y)=x+y+x+y$ の両端から$-x$, $-y$を加えれば分かります。 ここまでは結構いろんなサイトで出てきます。効いているのは単位元の存在と性質です…