準同型写像

理論物理学のための幾何学とトポロジーI [原著第2版]作者:中原 幹夫日本評論社Amazon理論物理学のための幾何学とトポロジーI [原著第2版] [ 中原幹夫 ]価格: 4950 円楽天で詳細を見る2つのベクトル空間が与えられ、に対して、がを満たすとき、を線形写像という。線形写像は、ベクトルの和とスカラー倍を保つ準同型写像の例である。線形写像の像とは、、の核とはのことであり、それぞれと書く。なので、は空集合にはなり得ない。線形写像においてが体そのもののとき、を線形関数という。が同型写像であるとき、はに同型であるといいと書く。このとき当然である。任意の次元ベクトル空間はに同型なので、それらすべ…

前期フル単やったぜ！空気になりたい凡人です。 ちょっと心配だった講義も単位が取れていたので、後期は研究に時間が割ける。やったぁ。まさか大学院でも、通常講義に出席しないといけないとは。でも、新しいことも学べたから文句言いつつもためにはなった。いつか独学して、そっちの学術記事も書きたいな。 そろそろいらないノートの山を処理したいな。なんかいい使い方ないかな。今の記事の下書きとかにつかおうかな。 現場からは以上です。 今日のやつ h-divisible module torsion-freeかつdivisibleな加群の加群準同型写像の像集合となる加群のことをh-divisibleと呼ぶ。正則元によ…

でも雨戸閉めると全然気にならない。空気になりたい凡人です。 台風が近づいてきて、どこも強風だ大雨だとなっていますが私は元気です。でも気温湿度は相変わらず高いので息苦しいのは変わりない。風が吹いても熱風なんだからたまらん。ただ、あんまり頭が痛くない。いつも天気が崩れると腹痛頭痛で動けなくなるんだが。結局気象病や気圧症とかはある程度内面が影響するのだろうか。 今日のやつ divisible moduleの続き 以前やった、正則元倍の自己加群準同型写像が全射になる加群。和や剰余加群なども性質を保ち、加群を環にまで制限すると正則元に色々条件が付く。特に、「rは正則元⇔(/r)(x)=rxは単射」が成り…

ガロア理論の頂を踏む を読む。 最大公約数、ユークリッドの互除法 一次不定方程式で、整数解求める。 このときに、最大公約数が、整数解の存在にとって決定的。 余りの計算、剰余類 余りによって分けたクラスを、剰余類という 正六角形を回転させよう、巡回群 群、二項演算で閉じる、結合法則、単位元の存在、逆元の存在。 すべての元が一つの元で表せる群が、巡回群 位数は、群の元の数 有限群か無限群。 群が同じということ、群の同型 Z/6Zは6の剰余群、足し算に関して群 群の同型写像、全単射で、演算の構造保存してるもの。 全単射の性質は、集合の要素数等しく、逆写像あること 全射は全ての行き先に、行く出発点があ…

モナドに関して： モナドの単位自然変換は、成分ごとにモノ射だろう。 とか予想しがちですが、これは違います。よく見かけるモノドの単位がモノ射成分なだけです。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\twoto}{\Rightarrow } `$内容： 有向グラフから完全グラフを作るモナド 非空集合を一点に潰すモナド 有向グラフから完全グラフを作るモナド有向グラフは、次のような4つ組 $`(V, E, s, t)`$ です…

いよいよこのシリーズも核心に入っていきます。今回は平方剰余の定義を与え、平方剰余記号を定義します。また平方剰余の基本的な性質を示した後、平方剰余の相互法則と関連する補充則などを紹介し、簡単なものには証明をつけます。最後に平方剰余の相互法則をより対称な形で表した命題を提示し、それが成り立つことをMaximaで再確認してみます。 定義 \(p\)を奇素数として\(a\)を\(p\)と互いに素な整数とします。\(a\)がある整数\(n\)の平方と法\(p\)で合同である時、\(a\)を\(p\)の平方剰余であるといいます。式で書けば、方程式\(X^2\equiv a\,(mod\,p)\)が解を持つ…

記号の乱用〈記法の{乱用 | 濫用} | abuse of notation〉は、ものごとを分かりにくくして誤解と混乱のもとになります。しかし、非常に広く使われていて、使わないで済ますことが困難です。人間にとってだけではなく、プログラミング言語や証明支援系などのソフトウェアが記号の乱用を解釈・処理するのも難しい課題となっています。$`\newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1} } \newcommand{\In}{\text{ in } } `$内容： 記号の乱用の例と型クラス 付点半群の例 相対指標と相対モデル 相対モデル・データベースと検索 記号の乱用の例と型クラス記…

ラムダ計算の意味論においては、カリー同型が中心的な概念です。となると、依存ラムダ計算の意味論には依存カリー同型が必要になります。とりあえずは一番具体的なデカルト閉圏である集合圏において依存カリー同型を考えてみます。$`\newcommand{\id}{\mathrm{id} } \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\hyp}{\text{-}} \newcommand{\In}{\text{ in }} \newcommand{\T}[1]{\mathscr{#…

「カリー／ハワード／ランベック対応の辞書： 推論規則再論」で次のように書いています。 $`A, B, X, Y`$ などは圏 $`\mathcal{C}`$ の対象を表します。$`I, J`$ なども $`\mathcal{C}`$ の対象ですが、これらを“集合とみなす方法”〈dereification〉があるとします*1。[脚注 *1] この仮定は、パワーリング／テンソリングを使って取り除くことができるかも知れません。現状、よくわからない。 「よくわからない」のは、圏の外部にあるモノを圏の内部に入れ込む方法／あるいは逆に圏の内部にある対象を圏の外部に引っ張り出す方法です。わからない部分は保留…

成田正雄『復刊 イデアル論入門』共立出版，2009年 ここではふつうの数学をやってみたいです． p.18 定理1.8 すなわちは左-加群で，環準同型 環準同型写像 ☆ 集合は，環準同型で，左-加群だが，このような環準同型が全単射のとき，は環を成す． とする．このとき前提として ① ∪ ∪ 但し，とは-部分加群 ② ∪ ∪ 但し，とは-部分加群 であり は環同型写像で 環同型 である． (証明) 反射律より成立する．▢ 注意 核は順像がないと存在しない． 「～が成立する」とは複数の証明がある． 別証の準備 単射は自明 ☆ 標準的全射(自然な全射)と全射が一致している 数学はサッチザットだ (証明…

ちょっと前から自分の勉強法が変わって、昔の(学部時代の)自分への後悔をすることがたびたびある。今回のタイトルがそれ。昔の自分は数学について「知らなきゃならない」ことに責め立てられて、焦燥感の海で溺死した。もしも「知りたい」という欲求の中で勉強していたら、少しはマシな学生時代になったのではないか、そう今は思う。 忘れもしない学部4年の夏休み。所属ゼミの先生に「大学院を受験するなら、その準備の勉強計画について報告しなさい」と呼び出された。学部での2年間、ほとんど何も勉強していないぼくには「知らなきゃならない」ことがてんこ盛りだったため、正直に課題を網羅して報告した。「まず、『解析概論』の多変数の微…