関手

レンズを説明するための事例として、僕はしばしば“Webのサーバーサイド処理”を挙げます。レンズはHTTPプロトコルの変換プロセッサに相当し、レンズの結合（直列結合）はパイプライン構成に相当します。プロ関手は、集合の族に圏が両側から作用している代数構造とみなせます。プロ関手の別名として双加群〈bimodule〉がありますが、集合論的双加群〈両側加群〉は集合にモノイドが作用している代数構造です*1。プロ関手と同義の双加群は、集合論的双加群の台集合を台集合族に、モノイドを圏に一般化した構造です。圏による両側作用を持つ集合族としてのプロ関手は、レンズと同様に、“Webのサーバーサイド処理”を事例として…

「圏論のエンドとコエンドは双対なんだよ」で述べたように、エンドとコエンドは完全に双対なのですが、この双対性、なかなかに分かりにくいようです。エンドの作り方は「連立方程式系の解空間を求める」行為になっています。コエンドを作ることはその行為の双対です。つまり、コエンドの作り方は「余連立余方程式系の余解空間を求める」ことです。そういうわけで、この記事では、連立方程式系と余連立余方程式系について述べます。$` \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} } \newcommand{\mrm}[1]{ \m…

（抽象的・公理的に定義された）ベクトル空間を知る。 ベクトル空間の基底を知る。 基底とは、線{形 | 型}独立〈一次独立〉な生成系。 要素に順番が付いていても付いてなくても「基底」と呼ぶことが多いが、“狭義の基底”と“フレーム”の違いには注意したほうがよい → ベクトル空間の基底とフレームは違う ユークリッドベクトル空間 $`\mathbf{R}^n`$ には、標準フレーム〈canonical frame〉があることに注意。 線形写像は、域〈ドメイン〉空間の基底の値達だけで決定されてしまうことを理解。$`V, W`$ をベクトル空間として、$`A`$ は $`V`$ の基底だとして：$`\ma…

「論理や型理論の圏論的意味論」より： 今年いっぱいくらい、まとまった時間が取りにくい状況があるので、長いブログエントリーは書けそうにない。短いエントリーをチョコチョコと書くことにします。短くて完結した書き物は難しいので、続き物になる可能性が高いです。 と書きましたが、その後まーまーの長さの記事を書いてます。今回もまーまーの長さの記事ですが、備忘と予定のメモです。いずれ説明するつもりの話題に関するメモです。$` \newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{ \mathbf{#1} } \newcommand{\mrm}[1]…

エンドとコエンドは、その名前から双対なんだろうとは誰でも思うでしょう。しかし、定義の仕方によっては双対性が見えにくいこともあります。この記事では、エンドとコエンドの双対性が出来るだけ見えやすくなるような定義と記法を提示します。$`\newcommand{\END}{ \overline{\prod} } \newcommand{\COEND}{ \underline{\sum} } \newcommand{\LEFT}{ \overline{L} } \newcommand{\RIGHT}{ \overline{R} } \newcommand{\COLEFT}{ \underline{L} …

複圏〈オペラッド〉はその下部構造に複グラフを持ちます。導出システム〈演繹系〉は、概念的には複グラフそのものです。複グラフを依存型理論で利用したいとき、複グラフにも依存性を導入する必要があります。この記事で、依存性を持つ複グラフを導入します。$` \newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } %\newcommand{\cat}[1]{ \mathcal{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} %\newcommand{\msf}[1]{\mathsf{#1}} %\newcommand{\mbb}[1]{\mathbb{#1}}…

「論理や型理論の圏論的意味論 // 導出システムの圏と圏の圏」において、導出システム達を対象とする圏に触れました。しかし、導出システムのあいだの準同型射（それが圏の射となる）を素朴に考えていては、どうもうまくないようです。導出システムは、複圏〈オペラッド〉と密接に関係があります。導出システムの代わりに、複圏が対象であるような圏をまずは考えてみます。複圏のあいだの射は、通常の準同型射ではなくて、もっとゆるい概念であるプレ準同型射とします。複圏〈オペラッド〉を対象として、複圏のあいだのプレ準同型射を射とする圏が、導出システムの記述と分析にふさわしい気がします。$` \newcommand{\mrm…

今年いっぱいくらい、まとまった時間が取りにくい状況があるので、長いブログエントリーは書けそうにない。短いエントリーをチョコチョコと書くことにします。短くて完結した書き物は難しいので、続き物になる可能性が高いです。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\cat}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\hyp}{\text{－} } %\newcommand{\id}{ \mathrm{id} } \newcommand{\In}{ \text{ …

ひとつ前の記事「球体集合と組み合わせ幾何」で、球体集合の圏についておおよそは説明しました。この記事では、次元が低い球体集合達の圏について述べます。球体集合の絵図表示であるペースティング図とテキスト表示である指標についても補足します。低次元の球体集合を見ることにより、球体集合の圏が、集合圏 $`\mathbf{Set}`$ や有向グラフの圏 $`\mathbf{Graph}`$ の自然な拡張であることが分かるでしょう。$`\newcommand{\mrm}[1]{ \mathrm{#1} } \newcommand{\mbf}[1]{\mathbf{#1}} \newcommand{\mfk}[…

最近の2回、バタニン・ツリーの記事を書きました。 バタニン・ツリー 再論 バタニン・ツリーの参考資料／参考文献 これは、今年の5月頃の話題の蒸し返しです。 指標の組織化と表現方法と呼び名は色々だ 指標の話： ペースティング図とバタニン・ツリー 球体集合達の圏の構文表示 1/2 球体集合達の圏の構文表示 2/2 バタニン・ツリーに関連してよく出てくるキーワードを幾つか選んでみます。 球体集合 ペースティング図 ペースティングスキーム 高次圏／無限圏 指標 コンピュータッド この記事では、これらのキーワードのなかで特に球体集合についてザッと紹介します。$`\newcommand{\mrm}[1]{…

アロー図 vs. ストリング図 ポアンカレ双対 図の向き、池袋駅問題 反対圏、反変関手 モノイド圏／モノイダル圏、モノイド積／モノイダル積 一般に形容詞問題 ： globe category, globular category, globular set, globular object. homotopy category, homotopical category ヴォエヴォドスキーのその後 普遍性の難しさ！ 別な話題： モナド 高次圏 (N, n, m)-圏 球体集合／階付き集合 絵図主義と組み合わせ幾何 複圏、多圏 さらに別な話題 「モノイダル」か「モノイド」か category o…

関連する過去記事。 層化ストリング図 // 裏返し反変関手 rev記法 反対圏／反変関手と、2-圏のストリング図 プラスマイナス記法 反対圏と反変関手はややこしい op(...) 記法、上矢印記法はオーバーライン記法に置き換える。 状態遷移系としての前層・余前層・プロ関手 オーバーライン記法