大同生命の試験問題

大問５問　90分間



問題１
A=\(\array{a & b \\ c & d}\)に対し、数列\( \array{x_n \\ y_n}\)は、
\( \array{x_{n+1} \\ y_{n+1}}\)=A\( \array{x_n \\ y_n}\)
a+c=b+d=1
x_1+y_1=1
の条件を満たしている
このとき

(1)x_n+y_n=1であることを示せ。
(2)x_nをa,b,x_1を用いて表せ。
(3)\lim_{n \to \infty} x_nを求めよ。



問題２
同じ形状の10個の球のうち、赤球が３つ含まれている。ここから任意に２つ取り出すとき、赤球の個数の期待値、分散、標準偏差を求めよ。



問題３
３行３列の行列A(成分は忘れた、固有値は３の重解と１)について
(1)固有値を求めよ。
(2)Aのジョルダン標準形を求めよ。
(3)A^n(nは自然数)を求めよ。



問題４
(1)\int_n^{n+1} \frac{dx}{x^s}を求めよ。ただし、s>1とする。
(2)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}は収束することを示せ。ただし、s>1とする。
ただし、上に有界で単調増加する数列は収束するという事実は用いて良い。
(3)実数上で定義された、連続な可積分関数f(x) \geq 0について、\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx=0であれば、f(x)=0であることを示せ。



問題５
次の(1)〜(4)から、１問を選択して解答せよ。重複して解答した場合は、無効となる。
(1)a,b,zは複素数であり、|a|^2-|b|^2=1、f(z)=\frac{(a\overline{z}+b)}{(\overline{b} \overline{z}+\overline{a})}、D=\{z||z|<1\}を満たすとき、次の問に答えよ*1
　(i)f(0) \subseteq Dを示せ
　(ii)f(\partial D) \subseteq \partial Dを示せ、ただし\partial DはDの境界部分である
　(iii)f(D) \subseteq Dを 示せ、ただし(i)、(ii)が解けていない場合でも、その結果を用いてよい

((2)〜(4)は、選択していないので憶えてないです…)
(2)代数学、イデアルとか
(3)幾何学っぽい問題
(4)生保数理

*1:actuary_mathさんからのご指摘により、「f(z)=\frac{(a\overline{z}+b)}{(b\overline{z}+\overline{a})}」をf(z)=\frac{(a\overline{z}+b)}{(\overline{b} \overline{z}+\overline{a})}に修正しました。2010年2月4日