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natural number

{0,1,2,...}といった無限に続く数のこと。順序を表す数。有限の大きさを測る量。0を含めない流儀もある。

自然数全体からなる集合は可算無限集合である。

定義を明確に示すために非負整数、正の整数などと呼び分ける場合もある。

自然数は一階述語論理の公理系として次のように形式化される。項は2変数関数記号 $+,￥times$ 、1変数関数記号 $s$ 、定数記号 $0$ からなり、述語記号は等式のみを持つ。例えば大小関係は $m￥leq n￥Leftrightarrow ￥exists r(m+r=n)$ と定義できる。公理は次の8種類からなる。数学的帰納法の公理図式(8)が無限個の公理を代表していることに注意して欲しい。

等式の公理
$￥forall n￥neg(sn=0).$
$￥forall m￥forall n(sm=sn￥Rightarrow m=n).$
$￥forall n(n+0=n).$
$￥forall m￥forall n(m+sn=s(m+n)).$
$￥forall m(m￥times 0=0).$
$￥forall m￥forall n(m￥times sn=(m￥times n)+m).$
$P(0)￥wedge￥forall n(P(n)￥Rightarrow P(sn))￥Rightarrow ￥forall nP(n).$

この体系はペアノ算術とよばれる。ペアノ算術より少し弱い公理系としてロビンソン算術がある。

集合論における自然数の構成

集合論では自然数を集合として構成する。具体的には $0:=￥emptyset$ 、 $s(n)=n￥cup ￥{n￥}$ のように帰納的に構成される。加算や乗算はペアノ算術の公理に倣って原始帰納により定義される：

$m+n=￥begin{cases} &m& &￥text{if $n=0$}& ￥￥ &m+r& &￥text{if $n=s(r)$}& ￥end{cases}$
$m￥times n=￥begin{cases} &0& &￥text{if $n=0$}& ￥￥ &(m￥times r)+m& &￥text{if $n=s(r)$}& ￥end{cases}$

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