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幾何学

数学の分野の一つ。

幾何学の様々な成り立ちを考えられるが、一つの源流は頭に思い浮かべた像の背後にある本質の探求にある。夜空を見上げると、星座は刻々と位置と形を変化させるが、私たちは多少の違いがあっても、同じ星座だと認識をする。山やピラミッド、あるいは大きな建物にしても、見る位置やグラスを通すなどをして見方を変えれば、いくらでも歪んだ像を目に出来るが、相変わらず同じ物であると認める。このような体験から、天の運動や、自らの徒歩、あるいは形の良いグラスを通すなどして、滑らかに変化していく像には、往々にして同一物を結びつける。ここにおいて、数学では、可逆でありなんらかの意味で滑らかな変化によってえられた画像の全てに共通な性質を取り出しそれらを写し出す物の本質を見い出す、または個々の像から大本の本質的な性質を探る方法の開発などを目的とする学問を創造し、それは常に数学の王道であり続けている。

一般的に、幾何学的と言った場合は、対称性を持った図形を指す場合が多く、その場合にはなんらかの可逆な作用で写りあう図の幾つかが並んで写し出されている。

中学以上で扱う三角形や円を定規やコンパスを使って描き図形の角度や辺の長さの比を求める学問は、平面上の三角形図の集合に対して回転と拡大と平行移動という可逆で滑らかな写像をあてはめて、三角形の合同定理などのように、どのような三角形達が本質的に同じかを学ぶ幾何学と見做せる。

数学の言葉を使うと、トポロジーの定義された空間の部分集合族を、なんらかの同相写像でクラス分けし、一つ一つの類の普遍な性質や異なる類をより簡便に区別するための良い指標の開発等の研究をする学問。微分幾何であれば微分可能写像、位相幾何であれば連続写像代数幾何であれば正則/有理写像、等の特殊な場合がそれぞれの分野で代表的な同相写像を与える。もちろん、極小曲面?の研究などにも見られるように、個々の部分集合に固有な性質の研究も盛ん。

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