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小人さんの妄想 このページをアンテナに追加 RSSフィード Twitter

2012-08-29

シュレーディンガー方程式を行列風に描く

シュレーディンガー方程式とは、量子力学の基礎となる方程式、つまりあらゆる物質の振る舞いを記述する方程式です。

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このシュレーディンガー方程式、確かに難解な代物には違いないのですが、

それでも幾つかのコツを掴みさえすれば、かなり身近に引き寄せることが可能です。

以下に書くのは、そうしたコツの中の1つ、「線形性」という性質についてです。


シュレーディンガー方程式には、線形性、固有値、固有関数といった、行列(線形代数)に関わるキーワードが付いて回ります。

それでは一体、この方程式のどこがどう行列になっているのでしょうか?

一見すると、シュレーディンガー方程式は単なる一行の数式であって、

数字記号を縦横に並べた行列とは何の関係も無いように思えるのですが・・・

しかし、たとえ縦横に並べて書いてなくても、この方程式は実質的に行列の計算と同じことを行っているのです。

【1】.波動関数とは、ベクトルの次元を無限に細かく刻んだ極限の姿である.

【2】.演算子とは、行列を無限に細かく刻んだ極限の姿である.

【3】.シュレーディンガー方程式とは、行列xベクトルを無限に細かく刻んだ極限の姿である.


【1】.シュレーディンガー方程式の正体を探るため、まず波動関数を状態ベクトルに戻して」みましょう。

量子力学では、あらゆる粒子(電子とか、光子とかいったもの)は波動関数で表されます。

ここで詳しい解釈は行いませんが、とにかく物体の存在は「点」ではなくて、

関数で表されるような「広がりを持ったもの」であるとしましょう。

関数というものは一般には連続的に、滑らかに変化するものなのですが、

ここでは一旦、波動関数をデジタル化して、細かい階段の集まりだと見なします。

一昔前の画素の荒いパソコンに入れて、カクカクにしたのだと思ってください。

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このカクカクした関数の階段の高さを、先頭から順番に記録します。

記録した数字を一列に並べたものが「状態ベクトル」です。

つまり、関数というものは、デジタル化すれば一列の数字の並びに置き換えられるのです。

量子力学の場合、この数字は複素数の並びとなります。

階段をうんと細かくすれば、数字の並びは無限に長くなるでしょう。

それをカッコよく言えば「複素無限次元状態ベクトル」てなことになるわけです。


【2】.シュレーディンガー方程式に登場する主だたる記号は「演算子」です。

演算子とは、関数に作用して、新たな別の関数を作り出すモノのことです。

量子力学では、波動関数に作用して、位置や運動量といった物理量を作り出すモノとして用いられています。

ここで、波動関数を状態ベクトル=数字の列に戻したことをイメージしてみてください。

すると、演算子というものは、数字の列(ベクトル)に作用して、別の数字の列を作り出すもの・・・

つまり演算子とはベクトルを変換する行列であることに気付くでしょう。


具体的に、粒子の位置を表す、位置演算子の行列を考えてみましょう。

量子力学では、波動関数に位置の演算子xを掛けたものが、粒子の位置(の期待値)を表すのだとされています。

このことを行列っぽく書くと、どうなるか。

まず波動関数を、上の「状態ベクトル」の考え方に従って、数字の並びにします。

この数字の並びに「xを掛ける」とは、

 ・距離0の位置にある数字には0を掛ける.

 ・距離1の位置にある数字には1を掛ける.

 ・距離2の位置にある数字には2を掛ける.

    ・・・

つまり位置の演算子を行列にすると

f:id:rikunora:20120830010546p:image

こんな感じになるわけです。

# ここでおやっ?!と感じるのは、波動関数=位置ではない、ということでしょうか。

# 粒子の位置は、波動関数に上記のような操作を施して初めて出てくるものなのです。

# それでは、波動関数っていったい何?と聞かれると、

# 位置や運動量の元になる情報を含んだモヤモヤした何か、としか言いようがありません。。。


次に、運動量の演算子を行列っぽく書いてみましょう。

運動量の演算子とは、-ih~(∂/∂x) 、つまり波動関数微分虚数iと定数(プランク定数/2π)を掛けたものです。

とりあえず定数部分は後回しにして、微分のところを行列にすることを考えます。

そもそも微分とは何だったかと言えば、「すぐ隣との差分」を表すものでした。

「すぐ隣との差分」を状態ベクトルの数字の並びにあてはめれば、

 ・1番目=すぐ隣の2番目から1番目自身の値を引く.

 ・2番目=すぐ隣の3番目から2番目自身の値を引く.

 ・3番目=すぐ隣の4番目から3番目自身の値を引く.

    ・・・

ということになります。

これを行列にすると、こんな感じです。

f:id:rikunora:20120830010604p:image

# 運動とは、隣と差のある部分に、高いところから低いところに流れるようにして生じる。

# そのように私は理解しています。


さらに、エネルギー演算子ハミルトニアン)を行列っぽくすると、どうなるか。

ポテンシャル=0の)エネルギー演算子は、-(ih~ ^2 / 2m)(∂^2/∂x^2)、

定数の部分を省けば、要は波動関数の2階微分ということです。

2階微分とは、微分微分、つまり「前後に渡る変化」を表したものです。

「前後に渡る変化」を状態ベクトルの数字の並びにあてはめれば、

 ・2番目=右隣の3番目+左隣の1番目から2番目自身の値x2を引く.

 ・3番目=右隣の4番目+左隣の2番目から2番目自身の値x2を引く.

 ・4番目=右隣の5番目+左隣の3番目から2番目自身の値x2を引く.

    ・・・

行列にすると、こんな感じ。

f:id:rikunora:20120830010633p:image

ここでちょっと、後回しにしていたプランク定数h と、虚数i の意味を考えてみましょう。

まずはプランク定数について。

上では何も考えず、行列の幅(1区画)を適当に1,2,3・・・と数えていました。

運動量の行列を例にとると、上のように、全ての非ゼロの要素を「1」だとするのが最も自然ですが、

別にこれが「2」であっても、「0.35」であっても、働きとしては同じでしょう。

では、この行列要素の数字は幾つにするのが妥当なのか。

その答は、この行列を極限まで細かくしていったとき、値がどこに収束するかによって決まるはずです。

そこで、行列の極限をとった値と、実際の物理的な観測結果を比較して、出てきた値がプランク定数だったのです。

つまりプランク定数とは、行列を極限まで細かくしていったときの収束先なのです。


次に、虚数i の意味についてですが・・・ぶっちゃけて言えば、

「位置と運動量という2つの値を同時に保持できるのが複素数であった」のだと、私は思っています。

物体の運動は、本質的に位置と運動量という、2つの値で記述することができます。

この2つの値は「運動量を微分すると位置になる」という関係で結ばれています。

古典力学の場合には、位置も運動量もそれぞれただ1つの数字で表すことができたので、

素直に2つの実数を用意すれば事足りていました。

ところが量子力学では、位置も運動量も「広がりを持って」おり、ただ1つの数字で表すことができません。

望まれるのは「2つの値を併せ持つ、広がりを持った関数」です。

そんな容れ物を数学の中から探してみたところ、「複素数関数」がちょうどぴったりあてはまった、というわけです。

複素数は、実数と虚数、2つの値を保持しています。

そこで、一方の実数を位置に、もう一方の虚数を運動量にあてはめたところ、何とも上手い具合に納まった。

それが波動関数の正体であり、運動量に虚数i を掛ける理由です。


【3】.波動関数 -> 状態ベクトルと、演算子 -> 行列の意味がわかれば、

シュレーディンガー方程式全体の意味が見えてきます。

まず、波動関数が定常的で動かない場合、時間に依存しないシュレーディンガー方程式を取り上げます。

f:id:rikunora:20120830010708p:image

この時間に依存しない方程式は「固有方程式」の一種であり、式に登場するエネルギーEは「固有値」に対応付けられる。

・・・そのように、多くの教科書に書かれているのですが、この「固有方程式」とは一体何なのか。

その意味は、行列っぽく書いてみるとはっきりします。

f:id:rikunora:20120830010734p:image

行列によって変換したベクトルが、もとのベクトルに重なるとき、そのベクトルのことを「固有ベクトル」と呼んでいます。

変換の前後で、固有ベクトルの大きさが何倍に拡大(縮小)したのか、その値のことを「固有値」と言います。

変換行列が与えられたとき、その行列に対する「固有ベクトル」と「固有値」を求める方程式が「固有方程式」です。

* 固有ベクトル直交するのは >> id:rikunora:20090307、その2 >> id:rikunora:20110203

以上は線形代数の予備知識。

で、時間に依存しないシュレーディンガー方程式は、その固有方程式と全く同じ構造を持っているのです。

ベクトルに相当するものは、波動関数=状態ベクトル複素数を一列に並べたもの。

変換行列に相当するものは、エネルギー演算子、つまり「ベクトルを2階微分せよ」という変換。

固有値に相当するのがエネルギー、つまりベクトルの定数倍。

以上をあてはめると、時間に依存しないシュレーディンガー方程式とは、

要するに「2階微分しても形が変わらないものを探せ」と言っているわけです。


「2階微分しても形が変わらないもの」とは、具体的にどんな形をしているのでしょうか。

まず、指数関数が答の候補に挙がります。

指数関数は、何回微分しても形が変わりません。

なので「2階微分しても形が変わらないもの」になっています。

しかし、指数関数は遠くにいくほど無限に大きくなります。

無限に大きくなるものが、物理的に1個の電子や光子のような粒子であるとは考えにくい。

なので、残念ながら指数関数は物理的な答には成り得ません。

それでは、指数関数複素数にしたら、どうでしょうか。

実は、この複素数の指数関数、Exp(ix) といった形の関数が、基本かつ重要な答の1つなのです。

全く制限の無い、自由な空間に置かれた粒子の運動は、複素数の指数関数といった形であると考えられます。

* 複素数の指数関数 >> id:rikunora:20090607

* 電子のカタチ >> id:rikunora:20101226

複素数の指数関数の実数部分は、三角関数となっています。

(あるいは複素数の指数関数を組み合わせることで、三角関数を作ることができます)

ということは、Sin とか Cos といった三角関数も、答になっているのではないか。

実際、Sin を2階微分すると、(符号は反対になるけれど)また Sin に戻ってくるので、

三角関数もまた方程式の解と成り得ることがわかります。

つまりこれが「波動」の言われだったのですね。


時間に依存しないシュレーディンガー方程式の仕組みが分かれば、

より一般的な、時間変化のあるシュレーディンガー方程式についても想像が及ぶでしょう。

時間変化のあるシュレーディンガー方程式とは、時間に依存しない場合の固有値E(エネルギー)を、

ih~(∂/∂t) に置き換えたものです。

この ih~(∂/∂t) の部分は、先に挙げた運動量の演算子 -ih~(∂/∂x) にそっくりです。

ただ、時間tと位置xが異なっているだけ。

波動関数が「動いている」場合、空間xに対する運動と似たようなものを、時間tについて行えば良い。

つまり、波動関数は「時間方向に動いている」のだと解釈できるでしょう。

・・・これが私流の時間変化の覚え方です。


以上、シュレーディンガー方程式を理解するコツをまとめると、

【1】.波動関数を、数字の並び=状態ベクトルと見なす.

【2】.演算子を、ベクトルを変換するもの=行列と見なす.

【3】.定常的なシュレーディンガー方程式を、固有方程式と見なす.

という3点になります。


# そんなの常識なのかな?!

# すごくセンスのある人なら「線形性」というキーワードを聞いただけで、

# 行列メカニズムが一気に理解できるのかもしれません。

# しかし、私自身はそうではなくて、

# 「シュレーディンガー方程式の、どこをどういじれば行列になるのだろう?」

# という疑問をずっと抱いていました。

# なお、ここに書いた「行列っぽいもの」は、「ハイゼンベルグの行列力学」とは別ものなので、混同しないように。

funayama-akirafunayama-akira 2012/09/19 23:33 山形の船山 昭と申します、初めて貴ブログにメールします。
私は58才でパソコン関係の仕事をしています。
最近は寝室にPCを持ち込んで、「知の探求」に いそしんでいます。
妻は逆を向いて、韓流ドラマに 励んでいます。
たまに、メガネをかけたまま いびきを掻いてテレビを観ているので、
そーっとメガネを外してやると「せっかくいい気持ちで寝ていたのに・・・」
と言って テレビを消します。(最近はタイマーオフして 寝ながらテレビを
見ているそうです、すごい芸でしょ)

さて お便りしたのは、虚数と永久機関に関してです。
私は 今 電磁気力を利用して、量子力学では完結しないであろう 
マクスウェルの悪魔を 出現・体現しようと かねがね考えています。

それは、車のスパークプラグのような、起電流(電圧だけ高くて、電流・いわゆる
電子の動きが薄い電気、瞬発力だけの「蚤・ノミ」電気、(カメレオンの舌)(北半球から南半球に移動する幻の蝶の反物質的な)(マグロ(赤身)とヒラメ(白身)のような違い)(持久力のなさを揶揄している)、私に言わせれば、カミナリも電気でしょ)
を利用して コイルと磁石に送れば、それはりっぱな クーロン力、
電磁誘導を車輪で繰り返せば これは 永久運動するモーターになる、という
寸法です。 私は 今 その逆行する クーロン力を引き出す コイルの形状を
思案していて、貴ブログに たどり着いたというわけなのです。
(ヒントは振り子時計にあるかもしれない、トミーおもちゃの「陽だまり君」あたり
(http://www.takaratomy-arts.co.jp/specials/nohohon/))
もし興味をおもちでしたら 次回解説するとして、

今回は 虚数のことです。

数学も量子力学(物理)も 自然科学と申します、
昨晩あたり NHK-BSでポアンカレ・リーマン予想をやっていました。
「円周率に隠された神からのメッセージ」
第一関門:分数 第二関門:虚数 第三関門:数体

私に高校生の息子がいまして彼と虚数について話しました。
虚数も元々は中世のゲームから発展したといいます。
ギリシャ時代のアキレスと亀のように 欧米人は数学ごっこが
好きなんでしょうね。

私は三角関数が苦手でした、いきなり三角だけが出てきたからです。
大人になってNHK教育でsain cosの高校講座を見ていたら、
円周を書いた中に三角を配置して 半径を回していました。
私は すべて了解したのです、なぜ文科系にいってしまったかも・・・。
このブログでは虚数は純粋数学で、現実社会にはなく、むしろ
近代科学のさまざまな分野で(便利だから、美しいから)その「概念」を
利用しているのだ、とおっしゃっているように感じました。

もし現実(奥行きのある立体)を二次元で表記するからこそ、苦し紛れに
虚数を持ってくると 解釈すればどうでしょうか?

虚数をy軸方向にとって説明しているブログがありますが、
円球の奥行きで説明してほしいのです。

アリとノミが居て、ノミがジャンプしたら 2次元のアリさんには
いきなり消えたことになる、と説明しているような、アホらしさです。

私は暗黒物質(実は暗黒エネルギーも同じものなのかもしれない)という「エーテル」や
アインシュタインの「神はサイコロを振らない」派です。

2重スリットにしろ、EPRパラドクスにしろ 半死半生の猫にしろ エンタグルにしろ
「科学」的には何一つ証明されていません。

(2重スリット実験は「衝撃波であいた穴を粒子、点とかんちがいしているだけ、
例えば赤外線センサーも観測者から波を出しているので量子の世界では波を乱しているのでしょう、潜水艦のパッシブ・ソナーや人の目や耳でいわゆる 試料(素粒子)に触れないで「観測する」方法があればねぇ、また また どちらのスリットを通ったか検知するとか、観測するというのは、たとえば びよーーんとぐん伸びた蚊取り線香の先端、中心部か 全体の場としての電磁の蚊取り線香しか 人は、機器は「観測」できないわけで
光子や他の粒子一個ごとに そのスリット間の中心から外れるわけだから縞模様になるわけだし(回折)」そもそも一つの粒子と言っているわけだから 右の観測機器では粒子の60%左は40%の粒子、もしくは粒子片(エネルギー)が通過したなどとアナログ解析はできないわけで
おそらく粒子一個のエネルギーの半分以上計測した側を「ただいまは こちら側通過です」と言うのだと思う、つまりスリットが電子一個ほどの隙間で粒子一個の直径まで観測できる機器があったとしても2重という「距離」を持った以上、左右50%50%の観測はできない、だからそもそもこの実験は両方カウントすることはないし、かならず片方しかカウントしない)

(円形加速器 検出に ついても 言える 

第一 中性子は加速できない、電荷をもった粒子のみ、また 一つぶ加速できない
よく銀河系の星ほどの数と表現される、なぜあんなに電気を使うのだろう、
加速するったって 後ろから押してやるわけではない、リニアモーターのように
電磁石で引っ張るだけだ、より光のスピードにするだけ、一兆電子ボルトのパワー
などと 言っても 宇宙から降り注ぐ無料の宇宙線以上にはならない。

なぜ 電線の電気を使えないのだろう、1.5Vの乾電池で瞬時に時速30万キロの速さで
電流は流れる、まず 電荷のある素粒子をなるべく少なく取り出す、(ボース=アインシュタイン凝縮?)
いま 炭素原子フラーレンC60に水素原子一個を浮かせた状態で閉じ込めることができる、「"もの"の不思議を探る」/澤博(物質構造科学研究所教授)http://legacy.kek.jp/ja/video/index.html

カーボンナノチューブを1000本位束ねてニクロム線でコイルを作り中心部に通す
それに磁性体の原子や電荷のある素粒子を一個づつ入れて飛ばす、
電子一個引っ張るクーロン力などそんなに電気使わず時速30万キロになる
ただし コイルの中心で磁極が逆転するから 衝突地点はコイル長の中心となる?
「光子一個」などとよく言えるもんだ
アインシュタインの見た光量子とは 単なる目に見える電磁場の塊の衝突を勘違いしていると思う、なぜなら電子や素粒子は一個二個と数える品物じゃない、観測するから
一個二個としか捕らえられない、例えば「君の幸せ度を測ってやる」と言って昨日や将来の幸せの話を聞き、傾向を関数で、心理描写をベクトルで点数を付けているような感じです)

フーリエ級数(理論)が なくても自然は オーディオ機器はフーリエ変換しています。おそらく秋の鈴虫の声(音)を 右脳で聞いて心地よい、雑音ではないと
感じる日本人は複音をフーリエ変換しているのかもしれません。

数学や虚数、量子論は自然(地球や宇宙も含む)の美しさを 数式で解説しているだけなわけで、まず 自然現象が先にあります。

虚数や不確定原理は 自然界の(奥行きのある立体的な3次元空間をむりやり
紙面に落としているような もどかしさを感じます。

ひも理論や多次元解釈、多次元宇宙など もってのほかで
虚数が 虚域のマイナス側に入っただけで 彼らはもう多次元です。

水分子を振動させて摩擦熱で暖めるという電子レンジに縁取りメッキのカップを
入れて回すと花火のようにパチパチします、2重スリット実験だったら
感光板かアルミ箔にきれいに、しましまの穴をあけるでしょう(回折して)

私は光子も含めた素粒子は、アルキメデスの水汲みポンプのような形をした、
エネルギーの塊が らせん状に回転しながら 電磁波を撒き散らせながら
(風のよう)映画千と千尋の白龍のように宇宙を飛んでいるイメージです。

おっぽと頭が観測場から見て向こう側に振れていたら、胴体部といっしょに
記述できないので、その部分のエネルギーは虚数と表示せざるを得ないのでは
などと考えています。

いま スピンに凝っています、上向き下向きとイメージしてはいけないとか
光速を超えてしまうとか、そもそも粒子に半径はないとか言いつつ、磁気モーメントも非常に謎めいていると言いつつ角運動量の計算式などを書いています、

これなどは 物理学者も何も見ていないということです、理論が先走るのは
学問の常なのでしょうが、最近、物理学者のはしゃぎぶりを見ていると
本末転倒しているような気がします、
もし スピンについてご見解がおありでしたら ぜひ ブログを書いてください。

rikunorarikunora 2012/09/21 11:29 船山さま
こんにちは、rikunoraです。
コメントがたくさんありすぎて、どこからどうお応えしようかと迷っているところです。
実験よりも理論が先に行くのは、仕方の無いことだと思います。
頭で想像するのは、実際にやってみるよりも簡単だからです。
過去にあった理論の中には、事実に合わず、消えていったものもたくさんあります。
そうした長い間、実験事実からの厳しい検証に耐えて生き残っているのが、今日私たちが信じている理論です。
なので、よほどのことが無い限り、現行の理論が根底からひっくり返ることは無いと思っています。

理論は常に、次の2つの可能性を内包しています。
1.まだ事実の検証が完全に終わっていない、未完成の状態。
2.まだ人類が体験したこともないような新事実。
この2つのどちらかに触れたとき、理論は生まれ変わります。
もし、新理論なるものがあったとしたら、それは上の1.2.いずれが引き金になったのか、考えてみると良いかと思います。

あと、私宛てのメールは以下から送ることができます。
http://brownian.motion.ne.jp/mail/hmx.cgi
よろしければどうぞ。

Funayama AkiraFunayama Akira 2012/09/23 03:46 nikunora様へ  船山です
勝手に「訳」して ニックさん とお呼びすることを おゆるしください。
ニックさんへ

たいへん 「的」(まと)を得た ご指摘 ありがとうございます、
実は 私も 貴殿(貴女)と じつは 同じ 疑問に 苦悩しておりました。
(おおけさかも・・・)

昨今の東電、東大学者(いわゆる最高学府)の 科学的ではない 態度
私に言わせれば、女は 明日の生活のための「金」、男は「正義」の博打に
使う金の、「人生観・金 感」の違いのような気がしています。

現代物理学においてホーキング博士が70年代、マクロ宇宙とミクロ量子論の結合を成し遂げた、と言われています。それは 観測されたと言う、ブラックホールにおける いわゆる どこから真空の「宇宙」で、どこからがブラック(光の・重力の)なのか?(重力の「境界線」)を 「確定」せざるを得なかったのです。

ボブとメアリー?が 境界線で ひきちぎられて(「愛」が 永久の別れになる
という あの 反粒子はブラックホールに引き寄せられ、(ブラックホール自体は質量量を失い、おのずと ちじこまる) 今 我々が手にしている正粒子?が そのために わずかながら「現世」の宇宙に「放出される」(なんとか・益川理論の不対立の証明)(つまりちょっとの不均衡が この宇宙を作った、
と されています。

理論物理(学者)と実験物理では、もちろん 理論物理が 「うえ」に来ます。
だから ホーキングは ノーベル賞ではないのです。

科学の発展とは、この世?の「真理」(自分といふ、ヒトも含めた)を探究するためにあります。

仮説が「実証」されなれれば、貴殿のおっしゃる(苦悩・生きるとはなにか、宇宙とは、自然とは??・・・)宇宙観・人生観に「決着」がつかないと思います。

もちろん私も「同感」です、(自分で言っている)

だったら 大衆の(いきなり通信簿3のBクラス)納得イク 理論でなければな0ないというのが、山形米沢・上杉藩馬回り役 車夫・馬丁の矜持となるので、

つまり 科学とは かけ離れてしまうのです、どうしましょう、アインシュタインは ユダヤ人なのです、科学と関係ないですよね、彼の一般相対性理論(重力と時空・(重力波)は 理論が先にあって みんな 一生懸命 その「理論
を証明したのでしようけど 私に言わせれば、まず 現象、確かな「確実」
が 先にあり 
よってたかって、都合の良い「理論」を「構築」して(古典数学には「誤謬」がない) 37億年まえ ビックバンが あったんだ!!、130年前 こうゆう江戸時代があったんだ!!と いわれても どうして ノーベル賞へ????、実証されて
初めて 理論の正当性が認められるのなら、おれたち 一般ピープルは
何を「顕彰」すれば、「信」じればいいのでしょうか、私はやはり学者の「たわごと」を鵜呑みにだけはしたくない。

のです。 ニックさん 私も「公開」の「場」は必要なく、
ここに記述したら消されるのかもしれませんが、
メールいただければ 本音(真の科学)をもっと お話できるのですが、このブログの製作者におまかせします。

GanesaGanesa 2012/12/16 21:05 こんにちわ、本日(12/16)の物理学講座はお疲れ様でした。
しかし、rikunoraさんには、今日の話は俺の様な素人向けの話だったので、初歩過ぎたのでは?(笑)
恐らく次回の講座の予習になりそうなので、頑張ってこの記事を理解したいと思います。

rikunorarikunora 2012/12/17 15:24 こんにちは。講座という場で案外大事なのは雑談めいたお話で、
本には載っていないけれど「ああ、そうだったのか」といったヒントが得られることが多いです。次回もよろしくお願いします。

シュビビンガーシュビビンガー 2017/11/28 00:48 良記事!シュレディン式は多才!
複素数で色々解析できちゃうから、これでも同じなんですね~

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