矯めつ眇めつからトモグラム(断層図)へ

• 昨日、n次元空間にオブジェクトがあって、その表面はn-1次元の閉じた多様体であるときに、それをn-1次元像として周囲から観察する話を書いた
• 今日は、n-1次元観察として、トモグラム(断層図)としての観察に話をつなげることにする
• 昨日の、周囲から観察する、という作業を、もう少し丁寧に書こう
• n次元オブジェクトをn次元空間の座標の中心に置き、その周囲に十分に大きなn次元球を取る
• このn次元球面上の点においてn次元オブジェクトを観察するとは、その点におけるn次元球の超接平面への写像ということ
• 観察はn次元球面上の点の数だけある
• ではn次元空間におけるn-1次元断層図とは何かというと、上記のようにしてn次元球を作りその表面上の点を定め、その超接平面をとり、その超接平面を平行移動しながら、その超接平面上の点の集まりのうちで、オブジェクトに含まれる点の集合を像としたもののことである
• 断層図の方が像の数が多くな(りう)る

0次元視覚による断層図

• 1次元空間に1次元オブジェクトがある
• 0次元視覚でこれを観察する
• 1次元球は線分であって、1次元球の表面は1次元空間における2点である
• 視点はこの2点ですべてである
• この2つ(しかない)の視点からこのオブジェクトを矯めつ眇めつ観察すると、その結果は、「ある」「ない」の２値で返ってくる
• この2つの視点において、超接平面(ただの点だが)をとり、それを並行移動しながら、その超接平面(ただの点)のうち、オブジェクトの点である部分を取り出すのが断層図だから、これをすることにする
• 具体的には1次元空間(線)上を動いて行って、その動点がオブジェクトである線分に含まれるときの像は「ある」、含まれないときは「ない」という評価値である
• これが1次元オブジェクトの表面観察と断層観察
• ちなみに表面観察は断層観察をOR演算したものになっている