構成：わたしのための幾何学

• ひとしきり、考えてみた
  • 何を書くか
  • どういう順番で書くか
• 結構、堂々巡り
  • 代数幾何っぽくし過ぎたくない
  • 一般化して話したい
  • トポロジーも話したい
  • 計量と接続も話したい
  • グラフ理論にもつなぎたい
  • 非ユークリッド幾何も当然のように登場させたい
• うまくいかないので、成書の構成を確認する

幾何学入門〈上〉 (ちくま学芸文庫)

1部(三角形 正多角形 ユークリッド平面の等長変換 ほか)
2部(座標 複素数 5つの正多面体 ほか)
3部(順序の幾何学 アフィン幾何学 射影幾何学 絶対幾何学 双曲的幾何学)
4部(曲線の微分幾何学 テンソル記法 曲面の微分幾何学 測地線 曲面のトポロジー 4次元の幾何学)

• うーーん
  • 三角形→正単体は基本か…
  • 座標も出てくる。でもこの座標は順序を決めるだけであって定量性はなくてもよい？
  • 曲がりの程度を問題にするのは、「測る」→曲線・曲面と計量と微分
  • 次元一般化はコクセターでもやってない？？
• アルファ版

わたしのための幾何学

• 『わたしのための代数学って何？(こちら)』の次は、『わたしのための幾何学って何？』
• わたしのための幾何学、とすると、統計学との関係が特に気になるけれど、ここでは、もう少し広く、「わたしのまわりにいる比較的多くの人」のための幾何学として考えよう
• ただし、「わたし」のための幾何学として、統計学との関係については、忘れないように、以下のようにメモしておく
• 幾何学は統計学にかなり近い。次のようなことに興味があるから
  • 捉える対象としての「空間」とは何か
  • 「測る」か「測らない」か
  • 「関係」って何か
• 大きな違いは次のような感じ？
  • 幾何学では、空間に「形があって、中身の詰まった、もしくは、中空で殻だけのフィギュア」を問題にしたがるのに対して
  • 統計学では、空間に「濃淡のある分布」を置きたがる
• さて。『わたしのまわりにいる比較的多くのの人のための幾何学』について、どうかいつまむかを考える。

要素：わたしのための幾何学

• 幾何学の構成要素
  • 空間
    • 連続空間・離散空間
    • 次元
    • フィギュアという亜空間・多様体
      • 形
        • 測ることを要する形
        • 測ることを要しない形
          • トポロジー
          • すべてが対称性で語れる⇔すべてに対称性はない(それは同じこと)
  • 測る・測らない
    • 測らなくても扱えるもの・こと
      • 正多面体：正単体の組み合わせ→グラフ・組み合わせ論・集合
        • 無限に正単体を組み合わせたもの：円・球
      • まっすぐだ・つながっている・ねじれている・よじれている・結ばれている・絡んでいる
    • 測るから扱えるもの・こと
      • 長さ・広さ・大きさ
      • 曲がりの強さ・曲がり方の組み合わせ：曲線(とその特殊型としての直線)、曲面

展開：わたしのための幾何学

• 単一のフィギュア：あるということ
• 複数のフィギュアとペアワイズの線：正単体とべき集合
• 正単体を描けないこと：次元の発見
• 球
• 中と外
• 対称と非対称
• 三角分割というメッシュ化
• メッシュ化と順序
• 空間を分ける：
• きれいに半分に分ける：直交
• 直交象限系から直交座標系
• 測る
• 距離を入れると「同じ」ものが違ってふるまう(ユークリッド幾何・球面幾何・双曲幾何)
• 道筋・道のり、距離