2013-12-08

フーリエ変換とポントリャーギン双対

フーリエ変換ポントリャーギン双対双対性

ここしばらく、フーリエ変換、スペクトル分解、情報縮約などをやっている
群でのフーリエ変換など、フーリエ変換の概念の一般化がどうしても関連してくる
ポントリャーギン双対というのに行き着いた
Wiki(こちら)によれば
- 実数直線上の素性の良い複素数値周期函数はフーリエ級数展開を持ち、そのような函数はそのフーリエ展開から復元することができる。
- 実数直線上の素性の良い複素数値函数は、おなじく数直線上で定義される函数としてのフーリエ変換を持ち、周期函数におけると同様に、そのような函数はそのフーリエ変換から復元することができる。
- 有限アーベル群上の複素数値函数はその（もとの群と自然同型ではないが同型な）双対群上の函数としての離散フーリエ変換を持ち、有限群上の任意の函数がその離散フーリエ変換から復元することができる。
というようなことを説明するのに使える(使われる)概念らしい
わかりたい…
ハール測度
- フーリエ変換は複素数〜三角関数で関数を小分けにするという「普通の意味」がある
- それを一般化するために、ハール測度というのが持ち出される(それはハール測度とみなせる何かが「普通の意味」でのフーリエ変換で使われるから。それは何？)
- また、ハール測度の記述には、(位相)群が登場する(それは「普通の意味」でのフーリエ変換で「数」として扱っているものを、代数〜群、的に拡張しようとしているから)。また、ポントリャーギン双対によってフーリエ変換の一般的な説明にそぐうのは「位相群のうち局所コンパクト群となるもの」であることもわかる。その理由が、ハール測度を定義できるから、ということも読み取れる
- この２点の一般化により「ハール測度によって群上で定義される（複素数値）ボレル函数」というものが「普通の意味」でのフーリエ変換にあてはめやすくなるようだ
双対
- 局所コンパクト可換群Gの双対を考える
- 局所コンパクト可換群Gに「指標」というのを定める。それは、円周群に値をもつもので、G上の連続群準同型のこと。Gの指標全体は、やっぱり局所コンパクト可換群
- これによって、任意のGが同じ群「円周群」の上の値の集合として共通して扱えるようになる。この「円周群」上の値の集合がなす群を双対群と呼ぶ
- この双対群の成分は、上記で与えられたが、この双対群に積と逆元がないといけないが、それはある。位相もある
- さらに、群 G が可分な局所コンパクト可換群であるならば、双対群は距離化可能
- ちなみに円周群は絶対値１の複素数に乗法を入れた群
- 例
  - 実数直線Rがあって、そこに加法を考えているとする。これを双対群である、円周に対応付けると、実数直線の「近場」に関しては、直線上の加法と円周上の加法に対応関係がとれる、ということ(？）。実数直線上で「遠」すぎると、円周上で「ぐるりと回って元に戻る」ので、こまるけれど、「局所」だけを考えればね、ということだろう
  - それって、実数 $r$ を $e^{i \theta r}$ に対応付けるっていうこと
さて、フーリエ変換
- ここでいきなり次の式が出る
- $\hat{f}(\chi)=\int_G f(x)\bar{\chi(x)} d \mu(x)$
- これをいわゆるフーリエ変換の式と比べてみる
- $\hat{f}(\chi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \chi} dx$
- 対応を確認しよう
  - $G \leftrightarrow \{-\infty \le x \le \infty\}$
  - $\bar{\chi(x)} \leftrightarrow e^{-2\pi i x \chi}$
  - $d \mu(x) \leftrightarrow dx$
- - これは、いいだろう。実数関数を考えるときに、実数全体について考慮する、ということと、群Gを考えるときにGの全体を考慮する、ということとが対応づいている
- - これは、実数関数をフーリエ変換するときに、 $e^{-2\pi i x \chi}$ によって、円周群の要素に対応付けているとみなせば、群Gの要素を何かしらの仕方で円周群の要素に対応付ける関数が必要となるわけだが、その関数を $\chi(x)$ と書くことにした、ということ
- - 実数全体について積分するときのルールは、実数xの微小変化について積分するのだが、群Gの場合には、そのような「大きさ」がないので、ちゃんとした大きさがあってしかも微小の取扱い・積分の取扱いができるものが必要になるが、それは可算加法的測度であるハール測度にするよ、という意味
分かったような気がする。あとは、これが「素敵な役に立つ実例」があれば完璧
フーリエ変換って、結局：
- 円周に張り付けることで、元の要素の空間にある値の様子を周期でとりまとめなおす仕組み
フーリエ・ポントリャーギン双対性を含めた双対の考え方に関するかいつまんだ記事はこちら
『周期関数の Fourier 級数展開も表現論なんですね！』という章のある本の部分PDFはこちら

群の表現論序説

作者: 高瀬幸一
出版社/メーカー: 岩波書店
発売日: 2013/05/31
メディア: 単行本
この商品を含むブログを見る

この本らしい…