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フーリエ変換

サイエンス

フーリエ変換

ふーりえへんかん

無限次元関数ベクトル空間に於ける直行基底変換の一つ。

直交基底として、複素指数関数を用いるが、これが三角関数の一次結合で表されるため、時刻を独立変数とする関数(時系列データ)に適用すると、周波数領域への変換となる。

(参考:同様の変換にラプラス変換がある。ラプラス変換数学的にはヘビサイド演算子に意味を持たせる役割があり、物理学的には伝達関数を導く役目を担う。目的の伝達関数を持つ関数を決定するためにフーリエ変換は欠かすことのできない道具となる。)

時系列関数を周波数域関数に変換すること

なぜだかtが消えて周期関数に変わってしまう。便利。

もっと一般的には複雑な形のグラフを様々な波長の正弦波に分解する変換。波の方程式や熱伝導方程式などは初期条件を正弦波の形にすると簡単に解ける。初期条件が複雑な形でもこれを正弦波に分解してそれぞれ発展させ、あとでそれらを再び合成すれば線形な方程式では正しい解が得られる。

また音声データなどを変換すると、どの高さの音がどの程度含まれているかが分かり、楽譜に直したりするのに使われる。

(参考:フーリエ変換では、時間領域が−∞〜+∞の範囲にある事(事実上の定常状態)が前提であるため、時刻に伴う周波数成分の変化を正しく識別する事はできない。近年発展してきたウェーブレット変換を用いると、この問題をユニークな方法で解決できる。)

実際にコンピュータで計算する場合はバタフライ演算というアルゴリズムを使った高速フーリエ変換(FFT)が使われる。

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