落体の運動 その3

前回に続き，今回は空気抵抗（drag）を考慮した落体の運動を考えます
ここで空気抵抗は速度依存型とし，抵抗の大きさを示す定数を a とします
falling body3.wxm

x, v : 位置ベクトルと速度ベクトル
g, m, a : 重力加速度，物体の質量および抵抗係数
%o3で，x と v が時間 t に依存することを宣言します（画面出力は省略）
%o4で，a と b（後述します） が正値であることを宣言します（画面出力は省略）
運動エネルギーT，エネルギー散逸率D（単位はJ/s），ポテンシャルエネルギーUをそれぞれ%o5〜7式に示します
ラグランジアンLを%o8式に示します

抵抗による散逸の項を含んだオイラー・ラグランジュ方程式を%o9式に示します（ = 0(零ベクトル)は省略）
上式にLを代入した結果を%o10式に示します
vをdx/dtで書き直したものを%o11式に示します
ということで，空気抵抗を考慮した落体の運動方程式が得られます

運動方程式は2階の常微分方程式（ordinary differential equation）になっています
ode2関数を使って%o11式の成分1をx1について解いた結果を%o12式に示します
上式は2つの積分定数％k1, %k2を含んでいます
ここで b = a/m として抵抗係数を書き換え，初期条件を与えて解き直した結果を%o13式に示します
同様に，%o11式の成分2をx2について解きます（%o14, %o15）

g = 9.8[m/s2], v0 = 40[m/s], b = 0.1[1/s]を代入します（%i16〜%i18）
投射角をπ/5, π/4, π/3[rad]としたときの軌道をそれぞれ青線，赤線，紫線として%t21にプロットします（t = 0〜7[s]）

見た目解り辛いんですが，青線（π/5[rad]）が若干飛距離が長いです

追記
その1と同様に，物体が着地した時の飛距離を最大とする条件を考えてみます
falling body3a.wxm

位置ベクトルxを%o1式に示します
tについてテイラー展開した結果をxとします(%o2)
x2 = 0 の方程式を t について解いた結果を%o3式に示します
これをx1に代入して求めた飛距離は%o4式となります
空気抵抗が重力加速度より十分小さい仮定よりbの2次の項を消します(%o5)
飛距離の停留条件をrについて解いた結果を%o6式に示します
この方程式のbを0とすると空気抵抗のない落体の運動 その1の停留条件に一致します(%o7)

%o6式より，飛距離最大とするためには π/4[rad]（45度）より若干低い角度（v0およびbに依存）で投げることとなります
これは野球の遠投やゴルフ等で経験的に言われますねヽ( ´ー`)ノ