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ある力が保存力である条件は，力のベクトル場の回転がゼロであること。
2重積分 XY平面上の有界な領域Dで定義されている２変数関数z=f(x,y)について、 Dをおおう格子の矩形小領域の面積 をとした時、 とするとを０に近づけ、Vとvの極限が一致すれば、 を関数f(x,y)の２重積分といい、dS = dxdyを面積要素という。 計算する際は、まず1つの積分変数についての積分を行って、さらにもう1つの積分変数についての積分を行う(累次積分) { } なお、積分の順序を変更しても結果は変わらない。 を3重積分といい、dV=dxdydzを体積要素という。 これらの積分をまとめて多重積分という。 積分の変数変換 極座標における２重積分はと書けるが、面積要素はであるから、…
さて、また地道な足場を固める作業に戻るとして。 境界というのは、実はイメージがおぼろげである。 たとえば、球の表面は境界なのか？ これは境界ではなく、球は境界を持たないようである。 一方、球を真っ二つにすると、その切り口（の縁）は境界になるんだね。。 境界とは二次元のループなのか？ いや、ループは一点に収縮が可能であり、トポロジー的には次元の固定化はもはや本質的ではない。 そこに、トポロジーは数学なのか？という疑念と、これこそ数学であるという相反する思惑が同居する。 そこで、（ホモロジー）代数と結びつけることによって、そこらへんは不毛な議論となったのだろう。 多様体を三角形（n 単体）の集合と…
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー ある群の部分群がさらなる部分群の有限列からなるものを組成列といい $G=G_n \supsetneq \cdots \supsetneq G_0=1$ とか $\{1\}=G_0 \vartriangleleft G_1 \vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_k=G$ などと表現するようで。 う～ん。 いかにもな記号で知らんとビビってしまいそうだが、わかれば単純である。 要は群のオニオン構造ナンですな。(ง・ิω・ิ)ง てか、これがデンジャラスKであった！( …
社会人学生1年目が終了 正確には1月から期末試験期間に入るので学期自体はまだ終わっていないのだが、一通りの授業は受け終えたのでこのタイミングで振り返りをしておこうと思う。この1年で学んだことを羅列してみた。 物理（前期） 入門力学（落下運動、変数分離、減衰振動） 入門電磁気学（クーロンの法則、ガウスの法則） 入門相対論（ローレンツ変換、コンプトン散乱、ローレンツ変換） 基礎物理学実験 振動・波動学（減衰・強制振動、二重・多重振り子） 数学（前期） 数学序論（複素数、極限、微分、部分積分、置換積分） 微分積分学（極限、テイラー展開、広義積分、逆三角関数、双曲線関数） 物理数学（変数分離形、同次系…
一般相対性理論とは、重力の仕組みは実は質量のある物質の存在が時空間を歪めることにより物体に力が働いているようにみえる、という革新的で美しい微分幾何学的なアインシュタインが作った理論です。今回はその基礎方程式であるアインシュタイン方程式を変分原理から導きます。 ニュートン重力とのアナロジー アインシュタイン重力の類推 変分の計算の方針 重力場の変分の計算 物質場の変分の計算 アインシュタイン方程式 ニュートン重力とのアナロジー アインシュタインによる重力の見方以前の、重力理論をニュートン重力といい、一般相対論による重力をアインシュタイン重力といいます。ニュートン重力のラグランジアン密度はで作用は…
一般相対論で、アインシュタイン-ヒルベルト作用をで物質場とともに変分をとる*1とより、積分範囲が全時空あるいは積分領域の境界で十分に時空の歪みが減衰して平坦なときはアインシュタイン方程式が得られます。しかし、有限の時空の領域で変分をとると条件だけでは消えない上の積分の境界項が出てきます。この項を今まで見ていなかった物理法則の現れとみるのではなく、この項を打ち消すような項を作用に加えて修正します。つまりアインシュタイン方程式自体は変わりません。その打ち消すための項がギボンズ-ホーキング境界項です。 この記事での記号 超曲面上での単位法線ベクトルと射影テンソル, 誘導計量*4 超曲面上でのストーク…
レンジでゆたぽん × 3個セット メディア: ヘルスケア&ケア用品 芝浦9回目。 IND先生とゆたぽんの話。便利だから早速買おう。 基礎電磁気学はアンペールの法則とストークスの定理。感じだけ。 昼は生協でローストビーフ丼。 基礎力学はトルクのところ。学生サポート室には3人聞きに来る。 また30冊くらい廃棄された本をサルベージする。同じく本を漁っていたIND先生とレイの話や予知夢の話など。 夜はビリヤニカレー。イコライザー1を見る。SETNさんはまたU2を見にさいたまスーパーアリーナ行ってると。。
LeapMind の高橋雅裕です。 この記事は、LeapMind Advent Calendar 2019 の 2 日目の記事です。 クリスマスですからね、カップルで楽しめる楽しめない、楽しいクイズと解説をお届けします。 果たして、2 人で愛の大きさは測れるのか? 世の中には Heart Curve と呼ばれる素敵な方程式 が存在します。私がネット上で見つけた、式が簡単で、かつ美しい Heart Curve は次の式で与えられます。 \begin{gather} \vec{r} (t) = (16 \sin^3 t, 13 \cos t - 5 \cos 2 t - 2 \cos 3 t - …
