ブラック・ショールズ方程式

(サイエンス)

【ぶらっくしょーるずほうていしき】

オプションの理論価格を決定する確率偏微分方程式（その解は熱伝導方程式の解として既知）．
デリバティブの理論で用いられる．

前提

株価のリターンの対数を取ったものは正規分布

その解

$f_{call}=SN(d_1)-Xe^{-r(T-t)}N(d_2)$
$f_{put}=-SN(-d_1)+Xe^{-r(T-t)}N(-d_2)$
$d_1=\frac{ln(S/X)+(r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$
$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}$

$f_{call}$ :ヨーロピアン・コールオプションのプレミアム
$f_{put}$ :ヨーロピアン・プットオプションのプレミアム

S:原資産の現在価格
X:権利行使価格
r:リスクフリーレート，非危険利子率
T-t:満期までの期間
σ:原資産のボラティリティ
N(d):標準正規分布の累積密度関数．

References：

Black, F. and M. Scholes (1973), "The Pricing of Options and Corporate Liabilities," Journal of Political Economy, Vol. 81, pp. 637-654.
Merton. R. C. (1973), "Theory of Rational Option Pricing," Bell Journal of Economics and Management Science, Vol. 4, pp. 141-183.

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