偏微分方程式

2019/1/29 内容を全面的に書き直しました。 ５．要素剛性マトリクス 片持ち梁の例 微分方程式による解法 積分(仕事とエネルギー)を用いた解法 外力を受ける物体の力の釣り合いを弱形式で表現する 強形式を導出する 仮想仕事の原理を用いて弱形式を導出する 要素剛性マトリクス ５．要素剛性マトリクス さて、いよいよ各節点における変位を求めます。 変位を求めるにはどのように考えたらよいでしょうか。まず、変位を求める方法の考え方について少し整理してみます。 片持ち梁の例 構造力学において変位というと、例えば、先端に集中荷重を受ける片持ち梁の撓み量が挙げられます。 理工系の学校に行かれた方であれば、…

１階の偏微分方程式を常微分方程式の問題に置き換えて解く、というアイデアはオイラーによるものだそうです。ダランベールはオイラーのアイデアに沿って、問題を完全微分方程式とリレーションとに分解しました： \begin{eqnarray}dz-pdx-qdy&=&0\\F(x,y,z,p,q)&=&0\end{eqnarray} ここでは独立変数ではの上の関数です。今や主役は完全微分方程式に置き換わり、Fはただの条件式に過ぎなくなった。自分自身が偏微分方程式論に疎いせいもあるかもしれませんが、ダランベールのこの方針は、かなり踏み込んだもののように感じます。 さて、問題の偏微分方程式は、特性方程式とよば…

お疲れ様です。kawakoです。 東大航空の院試を経て、それに向けて行なった勉強対策(数学)について紹介します。ネット上の、対策を十分にされてきた先輩方のブログの方が参考になると思いますので、この記事は参考程度にしてください。 勉強対策の概要で触れた数学についての詳細について書きます。数学はいくつかの分野を授業で履修したこともありましたが、基本Youtubeやマセマで対策しました。同じ学科の後輩がどのような授業を履修すれば有利かというところを簡単に書いておこうと思います。あくまで参考程度に。 nasakawako.hatenablog.com ＜院試の科目と自大の授業科目との対応＞ ＜院試の科…

「Bing Image Creatorによって作成」 はじめに 命題の主張 ナビエストークス方程式 制限された条件下での命題の証明 線分演算的関数を用いた命題の証明 はじめに ナビエストークス方程式は、流躯力学において流躯の運動を記述する偏微分方程式である。この方程式は、流躯の密度、圧力、速度、ねん性などを考慮している。この方程式は非常に複雑であり、一般的な解法は存在しない。そのため、数値的に近似的な解を求めることが多く行われている。 しかし、ナビエストークス方程式の解が常に存在するかどうか、また存在する場合には滑らかであるかどうかという問題は未解決である。この問題は、2000年にクレイ数学研…

お疲れ様です。kawakoです。 東大航空の院試を経て、それに向けて行なった勉強対策についての概要(詳しいものはまた別の記事で書く予定)をまずは紹介します。 ＜東大航空院試に際し参考にしたブログ＞ メインで参考にしたのは、メカズシブログでした。数学や専門で必要な教科書だとか参考書は大方この方のブログから知りました。本当にお世話になりました。他にもMarinさんやデイビットさん、cassiniさん？なども参考にしました。ネットで調べたらたくさん出てくるのでぜひご覧ください。外部の方は特に、僕よりもしっかり準備されて受験されていた方々なので、それ読んで合格率上げてください。 ＜募集要項・試験方式＞…

Bing Image Creatorによって作成 はじめに フーリエ級数 フーリエ変換 離散フーリエ変換 Z変換 サンプリングと量子化 積分回路 デジタルフィルタ まとめ 参考記事： はじめに フーリエ解析とは、周期的な波形や音声などの信号を、基礎波と呼ばれる正弦波や余弦波の和で表現することで、その信号の周波数成分や特徴を明らかにする方法である。フーリエ解析には、主に二つの種類がある。一つは、連続的な周期信号を扱うフーリエ級数展開である。もう一つは、非周期的な信号や離散的な信号を扱うフーリエ変換である。 フーリエ解析は、工学や物理学などの様々な分野で応用されている。例えば、音声認識や画像処理、…

金融工学といっても、とてもじゃないが「科学」と呼べる域には達しておらず、その胡散臭さは身内からも指摘されて久しい。数学や物理学の研究者からすれば、「似非科学ではないか」との疑念を抱かれるだろうと想像される。確率論をその定量的側面だけではなく定性的な側面まで含めて学べば学ぶほど、そういう疑念が増してくるのも無理はない。 とはいえ、ある程度役には立つのも確か。例えば、ヨーロピアン・コールオプションやプットオプションの拡張に当初から数値解析手法が用いられてきたわけだが、これらが更に応用され、オプション評価の簡易化や複製ポートフォリオの構築に必要な数値計算が可能になった。この点で、ブラック、ショールズ…

MATLABで学ぶ 物理現象の数値シミュレーション 「MATLABで学ぶ 物理現象の数値シミュレーション」内容紹介 「MATLABで学ぶ 物理現象の数値シミュレーション」目次 「MATLABで学ぶ 物理現象の数値シミュレーション」Amazonでの購入はこちら 「MATLABで学ぶ 物理現象の数値シミュレーション」楽天市場での購入はこちら※電子書籍版です MATLABで学ぶ 物理現象の数値シミュレーション インプレスグループで理工学分野の専門書出版事業を手掛ける近代科学社は、2023年8月11日に、近代科学社が著者とプロジェクト方式で協業するデジタルを駆使したオンデマンド型の出版レーベルである近…

就職後に読んだ良さげな理工書を紹介します。赤字はおススメのやつね。 youtu.be ＜統計学、データ分析、CAE、プログラミング＞ ●19.10.09『有限要素法はじめの一歩』栗崎彰 シミュレーションや数値計算はやっぱり基礎が大事、ということで材料力学の初歩を確認。有限要素法は、対象物を接点とバネのかたまりでモデル化したもので、「解析で得られたミーゼス応力と材料の降伏応力を比較する」のが基本的な考え方。 解析を行う領域を限定する、アタリを取るなどのエンジ的Tipsも教えてくれる。「見た感じメッシュがキレイで要素のサイズが適切な有限要素モデルは精度がよい」らしい。 ●22.06.01『Pyth…

デジタルミュージックとデジタルイラストの最低最悪な点は「Non-Linearity(の欠如)」だといってもいい。おれはそう思っている。 それを補完するのが音楽だとMixing、イラストだとLighting(Shading)と称される工程であって、それは間違いなくPCができてから凄まじい進化を遂げた芸術だ。 デジタルアートが上手いやつらはみんな、非線形性によるIntegrationを本能的に行ってる。 1cm×1cm×1cmの立方体に裏から光を当てる。立方体の正面はどうなる？ ちょっと考えればわかる。ふちが丸い四角形の影ができる。 じゃあ1m×1m×1mなら。答えは同じか？ まあ同じだ。 なら、…

お久しぶりですせかPです． 今回は春学期の振り返りをしていきたいと思います． 研究室のセミナー 授業期間に毎週1時間発表をします．内容は 「1週間で勉強したこと」．読む本も自由で，測度論，関数解析，フーリエ解析などの好きなテーマを勉強できます． 私が勉強したのは以下の内容です． ▶第1週～第5週 テキスト：宮寺功『関数解析』 第6章の Bochner 積分を勉強しました．簡単に言うと，Banach 空間に値を取る関数の積分です．偏微分方程式を扱う時には自然に表れるので重要らしいです．ほとんど Lebesgue積分に帰着させて議論できるので，Lebesgue 積分の基本を復習するのにちょうど良か…

個人的な勉強会で作った資料です。 詳しい方から見たらふざけるな的な内容ですが10分解説なので許して下さい。 本記事はGitHub、nbviewer、Colab、Marp（スライド形式）でも公開しています。 ※Colabの解説記事はこちら ※Marpの解説記事はこちら 数値解析のアプローチ 離散化について -差分法を例に- 計算例1：放射性物質の崩壊 現象 数学モデル（微分方程式） 数値モデル（代数方程式） 厳密解 計算結果 の計算結果 の計算結果 の計算結果 の計算結果 他の差分法 の計算結果 計算例2：移流方程式 現象 数学モデル（微分方程式） 数値モデル（代数方程式） 前進差分 後退差分 …