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熱伝導方程式
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熱伝導方程式

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しょうちゃんのつれづれ日記•4年前

偏微分方程式の初歩

12月中旬に急遽対面からオンラインに切り替わった後期授業ですが、オンデマンド講義動画の撮影が明日で終了予定ですので、ようやくメドが付きました。その中で最後まで残ったのが「応用数学」というラプラス変換、フーリエ級数、偏微分方程式の初歩を扱う学部2年次の選択科目です。 1月3コマ分の偏微分方程式入門をどのような内容にするか非常に悩みましたが「1次元波動方程式」「1次元熱伝導（拡散）方程式」「2次元ラプラス方程式」の混合問題（初期条件+境界条件）をそれぞれ1コマずつとし、変数分離の条件下で常微分方程式の解の重ね合わせの公式を適用し、フーリエ正弦級数に持ち込んで解く方法にしました。もっとも、波動方程式…

#波動方程式#ラプラス方程式#熱伝導方程式#フーリエ正弦級数#ダランベールの解#偏微分方程式入門

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ちょぴん先生の数学部屋•1ヶ月前

連立1次方程式の数値解析　～ガウスの消去法、ヤコビ法、ガウス・ザイデル法～

皆さん、こんにちは。 前回までで「有限要素法の概要」まで、数値解析について説明してきました。 ただ、改めてまとめてみると、「これに触れとかないとまずいな・・・」と感じる部分がかなり多くあることに気が付きました。 そこで、今回から「数値解析」シリーズの増刊号を上げていこうと思います。主に次の3つのジャンルについて紹介していきます。 1. 連立1次方程式の数値解析 →ガウスの消去法、ヤコビ法、ガウス・ザイデル法 2. 固有値問題の数値解析 →べき乗法、ヤコビ（の対角化）法、QR法 ※QR法の前段階：ランチョス法、ハウスホルダー変換 3. フーリエ変換の数値解析 →離散フーリエ変換 初回の今回は、連…

チベスナダイアリー•2ヶ月前

KEKサマーチャレンジ2024の感想〜3日目

朝 昨日と同じでコー↑ヒー↓を飲みながら感想文を仕上げていきました。飲み物が全体的に高騰気味なのが辛いところ。朝ご飯用のお弁当は量が多い&食べると眠くなるので部屋に持って帰り、部屋をキンキンに冷やした状態で保管しました。さすがに腐らないよね？お昼に食べようと思ったのです。 講義 放射線についての広範な知識と誤差解析についてのお話でした。放射線の方は物理以外のアプローチが面白かったです。人間は科学で解決していても割り切れないものがある。分野を跨いでやる領域にもちょっと興味が出てきたかもです。理科教育とか広報系。 誤差解析は1年前数理統計学でやったなあとか思いながら聞いていました。誤差バーつきの最…

ちょぴん先生の数学部屋•2ヶ月前

CAEの数学　有限要素法　～その1 (構造解析)～

皆さん、こんにちは。 今回からいよいよ「数値解析」シリーズの最終目標、「有限要素法」について紹介していきます。 大きく次の3回に分けてupする予定ですが、 ・構造解析 ・周波数応答解析 ・ガウス・ルジャンドルの積分公式 今回は一番最初のベースになる「構造解析」の概要をお話ししたいと思います。

ちょぴん先生の数学部屋•2ヶ月前

偏微分方程式の数値解析＆陽解法と陰解法の比較　～熱伝導方程式を題材に～

皆さん、こんにちは。 今回は「数値解析」の第4弾、偏微分方程式の数値解法について紹介し、前回簡単に触れた「陽解法」と「陰解法」の違い、それぞれのメリット・デメリットについても紹介していきます。

吾未知足 唯修身爾•3ヶ月前

Black-Sholesの微分方程式の導出とその解析解

前に拡散方程式（熱伝導方程式）を扱ったが、この方程式（正確に言えば放物型の偏微分方程式）はファイナンス数学でも登場し、よく知られた方程式としてBlack-Sholesの微分方程式がある。そのため、今回はそれを見てみようと思う。

犬飼たつきちの数理ライフ•3ヶ月前

振動とは

私 振動について詳しく教えて AI 振動とは？ 振動とは、ある位置を中心に、時間とともに周期的に大きさが変化する現象です。具体的には、以下のようなものを指します。 振り子の揺れ ばねの伸縮 音波 地震 電磁波 振動は、私たちの身の回りで様々な形で存在しており、物理学においても重要な概念の一つです。 振動の種類 振動は、いくつかの種類に分類することができます。 周期振動と不規則振動: 周期振動は、一定の時間間隔で同じ動きを繰り返す振動です。一方、不規則振動は、時間間隔や振幅がランダムに変化する振動です。 減衰振動と非減衰振動: 減衰振動は、振動のエネルギーが徐々に失われていく振動です。一方、非減…

理系ツールのクールな使いこなし•4ヶ月前

偏微分方程式にトライ（ラプラス方程式2D）

C2 ラプラス方程式 （二次元） 楕円型の方程式で有名なのがラプラス方程式（またはポアッソン方程式）だ。時間依存項がないので、定常状態に落ち着いた現象の解析に多用される。技術的な現場では、時間依存を無視出来る場合など、結構応用範囲は広い。流体問題では非粘性（完全流体）の渦なし流れ、弾性問題では完全弾性体の二次元応力問題（平面応力、平面ひずみ）などがある。電磁界分野もあるようだが門外漢なので、ここまで。 楕円型PDEは双曲型や放物型に比べ古くから数学的に解析が進んでいる。ラプラス方程式はポテンシャル論と関係が深く、二次元の場合は複素関数論とも密接な関係がある。楕円型PDEに関する理工学的なポイン…

理系ツールのクールな使いこなし•5ヶ月前

偏微分方程式にトライ（熱伝導方程式1D）

B1 熱伝導方程式（一次元） 長い金属棒（針金）を伝わる熱伝導を考える（拡散現象も同じ系統である）。長さについては、無限長や半無限長は工学的に重要では無い（数学的にはフーリエ変換を用いるので興味がないわけではない）ので除外し、物理的に長さを指定して考えていく。解plotをみると、初期条件として与えた温度分布が物体内に拡散されて次第になだらかになっていく様子が判るはずだ。 解析的には波動方程式と同様に「フーリエの方法」（変数分離、境界条件の元でODEを解く、解の重ね合わせ、初期条件を連動させて解く、フーリエ級数の利用）が利用される。ほとんどの国産のテキストではこの「フーリエの方法」が解説されてい…

【10分で勉強】スタディモンスター学習塾イマジン•6ヶ月前

【中3 数学 1-3】 展開 【展開の公式１】 テスト対策 受験対策

youtu.be ランキング参加中高校受験 #数学 #中3 #展開 #受験対策#学校 #中学生 #オンライン塾 #個別指導 #テスト対策 【1時間500円の学習塾イマジン】中3数学の展開についての解説動画の3つ目です。 🟥展開の公式１🟥などについて解説しています。 ーーーーーー【展開と天気予報のお話】ーーーーーーーー 天気予報は、大気の状態を数式で表し、コンピュータでシミュレーションを行うことで行われます。このシミュレーションには、様々な数学の展開が利用されています。 ①大気の状態を数式で表す 大気は、様々な物理法則に従って運動しています。これらの物理法則を数式で表すことで、大気の状態をシミュ…

理系ツールのクールな使いこなし•6ヶ月前

偏微分方程式にトライ（波動方程式1D）

偏微分方程式（以下PDE） 独立変数が複数になるので、ODEに比べ複雑さは桁違いだ。それでも適用アプリケーションが存在するので、できるだけ紹介していきたい。 方程式には1階、2階という階数があるが、自然界の法則を表現するPDEには2階が非常に多い。何故多いのかは上手く説明できないが、私的には2次関数の考え方をアナロジー的に利用しているからと思っている。これまで3次関数の延長線での応用など聞いた事が無いし、線形代数の公式も3次になると途端に面倒になるし、2から3へのステップアップは「数学の専門分野」の話になるのかもしれない。まずは整理されている2階線形からスタート。 2階線形PDEの分類 現在、…

吾未知足 唯修身爾•8ヶ月前

Burgers方程式のRによる計算

前回はKdV方程式をRで計算したので、今回はBurgers方程式をRで計算し、KdV方程式とはまた違った解の挙動となることを視覚的に確認しようと思う。なお、バーガースはオランダの物理学者(1895－1981)。

ややプログラム紀行•9ヶ月前

log-Sobolev不等式

去年最後に投稿した記事でPoincaré不等式について書いたので、その続きで今回はlog-Sobolev不等式について軽く&フォーマルに書こうと思うMarkov過程が均衡状態に収束していく様子はある意味で熱伝導方程式のように捉えることもできて、その様子を分散の指数関数的収束で特徴づけるのがPoincaré不等式だと言える 一方、(自分的には)熱の伝導といえば熱力学第二法則、すなわちエントロピーの増大を思い出すが、Markov過程の均衡への収束をエントロピーの観点から特徴づけるのがlog-Sobolev不等式であるここではエントロピーを以下のように定義する: 測度と関数に対して は正規化項のよう…