ラプラス方程式

A2 波動方程式（二次元） A1では一次元の例として弦の振動を扱ったが、今回は二次元ではあるが、極座標を用いて、円形膜の振動（太鼓）を考える。 デカルト座標（直交座標の事）では式（1）で表される。 円形膜の振舞を考えるので、これを極座標に修正する。その際にx=rcos(θ)とy＝rsin(θ)を用いる。 ここでrは原点からの距離、θはx軸と動径のなす角度。 この式（2）が構成式になる。 式の座標変換（直交座標->極座標）については、馬場氏のテキストが解りやすい。また解説で出てくるベッセル関数やベッセルの微分方程式についても、馬場氏テキストが入門と言える。 アプリケーションによってはこの面倒な座…

C2 ラプラス方程式 （二次元） 楕円型の方程式で有名なのがラプラス方程式（またはポアッソン方程式）だ。時間依存項がないので、定常状態に落ち着いた現象の解析に多用される。技術的な現場では、時間依存を無視出来る場合など、結構応用範囲は広い。流体問題では非粘性（完全流体）の渦なし流れ、弾性問題では完全弾性体の二次元応力問題（平面応力、平面ひずみ）などがある。電磁界分野もあるようだが門外漢なので、ここまで。 楕円型PDEは双曲型や放物型に比べ古くから数学的に解析が進んでいる。ラプラス方程式はポテンシャル論と関係が深く、二次元の場合は複素関数論とも密接な関係がある。楕円型PDEに関する理工学的なポイン…

偏微分方程式（以下PDE） 独立変数が複数になるので、ODEに比べ複雑さは桁違いだ。それでも適用アプリケーションが存在するので、できるだけ紹介していきたい。 方程式には1階、2階という階数があるが、自然界の法則を表現するPDEには2階が非常に多い。何故多いのかは上手く説明できないが、私的には2次関数の考え方をアナロジー的に利用しているからと思っている。これまで3次関数の延長線での応用など聞いた事が無いし、線形代数の公式も3次になると途端に面倒になるし、2から3へのステップアップは「数学の専門分野」の話になるのかもしれない。まずは整理されている2階線形からスタート。 2階線形PDEの分類 現在、…

自分が勉強した本まとめ 数学科の学生だった私が、IT 業界に就職して機械学習エンジニアになった中で思い入れのある本や面白かった本などの紹介を書いていきます。 ジャンルとしては数学・統計・機械学習あたりをメインに、一部は物理やエンジニアやクラウド関連の書籍も紹介できればと思います。 学生時代の本（主に数学科の基礎的な本） 微分積分学（数学シリーズ） 難波誠 裳華房 微分積分学 (数学シリーズ) (数学シリ-ズ) 作者:難波 誠 裳華房 Amazon 最初に紹介する本は、難波誠先生の微分積分学。 大学の指定教科書だった。当時は、ε-δ に初めて出会い（最初は ε-N からだが）、その厳密さに大変感…

エンコーダー編 概要 ニューラルネットワークの入力データをエンコーダーに通し，ベクトルの次元を上げることでネットワークの学習効率，精度を向上させることが出来る場合があります．本記事ではInstant NeRFにおいて使用されている2種類のエンコーダーをそれぞれ説明した後に私の実装を説明し，その効果を確認します． エンコーダー編 はじめに ニューラルネットワークはある入力のデータ（ベクトル）を元にして様々な計算処理を施し，最終的に目的のデータ（ベクトル）を回帰推定する手法です．ここで，入力層の次元が低い場合は，その結果を正確に推定することが難しくなります [Gehring et al. 2017…

数学の具体的な計算にPythonを使って、数学もPythonも同時に学んでしまいましょう。今回はPythonを使って、ベクトル場を描写したいと思います。ベクトル場を分析するにあたり、いわゆるベクトル解析の知識を少し使います。Pythonでのベクトル解析については以下の記事で扱っています：pianofisica.hatenablog.com pianofisica.hatenablog.comあわせて読んでみてください。 ベクトル場の描画 具体例１（一様なベクトル場） 具体例２（２次元流体力学の複素ポテンシャル） タネ明かし (adsbygoogle = window.adsbygoogle |…