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正則関数について
今現在大学の授業でやっている複素関数についてまとめる。学期途中から始めたブログなので、初めから勉強する人には中途半端な記事であるが悪しからず。これからも似た形で様々な分野のものを書く予定。 正則関数 ・関数が近傍で微分可能な時、で正則であると言う。 ・正則関数：定義域全体で正則な関数。 ・整関数：複素平面全体で微分可能な関数。 ・ある点で正則では無く、のどんなに小さい近傍を取ってもその中 の少なくとも一点では正則であるときはf(z)の特異点であるという。 [例] ・で微分できないための領域で正則な関数。 ・ ・で微分可能であるがその点を含む僅かでも小さい領域でもを除いて微分可能ではない。これは…
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球を過ぎる流れ
POINT 定常な一様流の中に球を固定したときの流れと圧力を求める（但し，非圧縮流体でReynolds数が小さい場合）． 得られた結果から，球に働く力を求めることができる． 有名な問題ですが，文献によって導出方法が異なります．Lamb（文献[1]）は，調べたのもの中では，最も機械的な計算で導出が可能です．他の問題にも応用が効くという点から，個人的にはこの方法が好みです．Landau（文献[2]）は物理的な考察でバッサリ計算を省いています（ロジックが追えていません．．．）．納得がいく説明ができるようになれば，追記するかもしれません．文献[3]では，解の形を仮定して導いています．特に解説は不要かと…
ラプラス方程式
POINT Laplace方程式$\Delta\varphi(\boldsymbol{r}) =0$の変数分離解． 【関連記事】 [A]シュレーディンガー方程式（中心力場） - Notes_JP [B]ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP [C]体球調和関数と球面調和関数 - Notes_JP 変数分離 解 角度方程式 動径方程式 参考文献 変数分離関連記事[A]で\begin{aligned} [\Delta + f(r)] \varphi(\boldsymbol{r}) =0 \end{aligned}の形の微分方程式の変数分離手順を解説しています．$f(r)$としてよく現れるものには…
体球調和関数と球面調和関数
POINT 体球調和関数と球面調和関数について． 【関連記事】 ヘルムホルツ方程式 - Notes_JP シュレーディンガー方程式（中心力場） - Notes_JP ラプラス方程式 - Notes_JP 極座標のラプラシアン 体球調和関数と球面調和関数 3次元の場合 参考文献 極座標のラプラシアン$n$次元の極座標で表したラプラシアンは\begin{aligned} \Delta u &=\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} +\frac{n-1}{r}\frac{\partial u}{\partial r} +\frac{1}{r^2} \Delta_{S} …
はち
着る服が困る季節になりました。そしてわりと定期的にくる「俺の本当にやりたいことってなんなんだぁ」って悩むやつをやってます。そんなこんなで色々やることを取っ替え引っ替えしてる感じです。と言うわけで今週の進捗は・PDEの復習・A∞代数の定義・管状近傍・Thom類とPoincaré dualの関係・複素構造PDEは、準線型の1階とラプラス方程式と空間1次元の場合の熱方程式と波動方程式の復習です。復習といっても初学に近いのですけれども。フーリエ級数展開って便利ですねって感じでした。ひとまず微分方程式の復習は満足したのでこれで一旦おしまいです。A∞代数については添字がすげぇって感じですね。(まぁ曲面論だ…
Texによる数式表現33～ルジャンドル多項式
1. ルジャンドル多項式の定義 2. ルジャンドル多項式の生成公式 3. 具体的なルジャンドル多項式の例 4. ルジャンドル多項式の応用 今回は物理学などで使われるルジャンドル多項式のTeXによる数式表現について紹介する。 1. ルジャンドル多項式の定義 ルジャンドルの微分方程式は [tex:\displaystyle \frac{d}{dx} \left\\[ (1-x^{2} ) \frac{d}{dx} f(x) \right\\] +\lambda (\lambda+1)f(x)=0 ] ルジャンドルの微分方程式を冪級数法で得られた解をルジャンドル関数と呼ぶ。 2. ルジャンドル多項式…
直交する曲線と正則関数（等角写像）
直交曲線族の話を久々に見かけた。こういうの↓↓ １つ１つの楕円は、全ての紫の放物線と直交する、逆も然り。実際にはパラメーターを動かして無限個の曲線を考える。式でいうと、放物線y=ax^2と楕円(x^2)/2+y^2=bのペア。 これ、複素解析の、正則関数の等角写像の図にそっくり。 wikipediaの等角写像へのリンク↓↓ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F#:~:text=%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F%EF%BC%88%E3%81%A8%E3%81%8…
waxing and wanding(味噌カツ)，harmonic
もうすぐ今年も半分終わってしまうのですね．しんみり気分の漂識です．しょんぼりっく(´・ω・`)．皆さんはこの半年を有意義に過ごせましたか？僕は，ぼちぼちといったところです．前置きはこれくらいにして，今日はwaxing and wandingのお話をするぞ～！みそかつ♪みそかつ♪ …………就活…？ｶﾞｸｶﾞｸ((( ;ﾟДﾟ)))ﾌﾞﾙﾌﾞﾙ もくじ waxing and wandingとは？ DPにおけるwaxing and wandingの立ち位置 waxing and wandingに関するプレイ状況 waxing and wandingに関する小ネタ 味噌カツの声ネタ waxing an…
コンピュータ以前の数値計算(2)20世紀初頭の計算需要
コンピュータ以前の数値計算(1) 三角関数表小史 - の続き。18世紀や19世紀のヨーロッパでは、三角関数表のように、事前に数表を作っておいて、必要なら補間して参照するとかいうのが数値計算の典型的な運用だったようである。1938年になっても、アメリカでは、(雇用創出の一環として)Mathematical Tables Projectという大規模な数表作成プロジェクトがあったらしい。計算尺みたいな計算補助用のアナログツールも、表という形ではないけど、事前に行った特殊関数の計算に帰着させるという点では、同種の方法と言える一方で、大規模な連立一次方程式を解くとか、微分方程式の解法なんかは、一般には、…
ラプラス方程式の強最大値原理
Evans PDE 2.2 THEOREM 4 強最大値原理の証明を詳しく見ていきます. 強最大値原理 : 有界開集合, とする. このとき をみたすとするとき, 以下が成立する. (i) . (ii) が連結で, 内で が最大値をとるとすると、すなわち が成り立つとすると、 は 上で定数. 証明は (ii) から示すのですが, という集合が, で開集合かつ閉集合であることを示せば が連結であることから であることが成り立ちます. 位相空間 が連結であるとは, [X] の部分集合で, 開集合でありかつ閉集合であるものが しか存在しないということなので, この定理の証明は連結の定義の復習になりま…
電磁気学17 1/rのラプラシアン
さて、ラプラス方程式は という形の方程式だった。はスカラー場なので、遍くラプラシアンが0になるようなスカラー場を求める方程式である。いかにラプラシアンといえども所詮は2階微分、高校の増減表でやったように下に凸なら正になって、上に凸なら負になる雰囲気のやつだ。だから、ラプラシアンが0になるのは、一次関数（山なら平面的な斜面とか）や、変曲点や、あっち方向には下に凸だがこっち方向には同じだけ上に凸（即ち鞍点）、みたいな所だろう。 風の噂によれば、 みたいな雰囲気のやつがこの方程式（といっても原点を除くので遍ねいてはないが）を満たすらしい。まあ一次元から調べてみよう。 一次元の場 (x>0)で、一次元…
うさぎ模試 解析2 マーク編（定期試験・編入学・院試・数検対策）
こんにちは、ももやまです。 今回は「うさぎでもわかる解析」の総復習として、マーク式で解析学の問題・解答・解説を作成しました。 （レベルは基本〜若干応用です。） 解析系の試験の前に是非チャレンジしてみてください！ 問題のPDFはこちらからダウンロードできます！ 第１問．小問集合 (1) 2変数関数の定義域・値域 (2) 2変数関数の概形 (3) 2変数関数の極限・連続性 (4) 2変数関数の極限・連続性 (5) 2変数関数の極限・連続性 (6) 2変数関数の極限・連続性 (7) 変数変換（ヤコビアン） 第２問．偏微分 第３問．2変数マクローリン展開・接平面 (1) 2変数マクローリン展開 (2)…
流体シミュレーション研究ログ No.2
はじめに 今回の記事では障害物があった場合でのポテンシャル線がどのように表示されるかを検証したことについてまとめる． 結果はこんな感じ↓(紫：速度) output01 場の初期化 検証するフィールドの広さや、障害物の大きさを決定する． また今回のプログラムではresは離散化した際のブロック数に当たる．（なので格子点の数は+1になるので注意） obs.size = ofVec2f(150.0, 300.0); obs.mid = ofVec2f(300.0, 0.0); obs.left = obs.mid - ofVec2f(obs.size.x/2.0, 0.0); float eps = …
ルジャンドルとベッセル
// ０．概要 １．プロローグ）物理と数学と私 ２．物理数学は2階線形偏微分方程式だけしか出てこない！ ３．2階線形偏微分方程式の解き方 ４．どんな時にルジャンドルで、どんな時にベッセル？ ４－１．直交座標のラプラス方程式 ４ー２．球座標のラプラス方程式 ４－３．円筒座標のラプラス方程式 ０．概要 図書館でルジャンドル関数などについての本 演習形式で学ぶ特殊関数・積分変換入門 を借りました。この本を明日返すつもりなので、いつでも思い出せるように書き残しておきます。 この記事で微分方程式の解き方を学び、次の記事で水素原子のシュレリンガー方程式を解きます。（追記：気が向いたらにします。） 演習形式…
