大学物理

カルノーサイクルを例に考えた熱機関で得られた式からエントロピー を定義した。今回は、エントロピーについてもう少し詳しくみていきたい。まず、系全体のエントロピー というのは、系を 個の区間に区切ってその 番目の位置のエントロピーを とおけばとして表すことができる。つまり、系全体のエントロピーは、系を構成するひとつひとつの場所のエントロピーの和で与えられる。極端なことを言えば、 は宇宙全体で定義するべきだろう。エントロピーが増大するだとか可逆変化では一定だとかというのは宇宙全体で考えたときの の話で、ひとつひとつの部分についての話ではない。ある部分のみを見たらエントロピーが減少するような変化でも、…

熱機関と熱力学の発展は切っても切り離せない関係にあるので、カルノーサイクルというものについてここで扱っておきたい。カルノーサイクルというのは、下の図のように断熱変化と等温変化の繰り返しによってピストンを動かす熱機関である。サイクルの向きはA→B→C→D→A→... とし、図に示したように過程A→BとC→Dは等温変化、B→CとD→Aは断熱変化で、閉じ込められた気体の体積と圧力を変化させる。また、ふたつの等温変化の過程では外部と熱のやり通りをすることとし、A→Bでは の熱量が供給され、C→Dでは の熱量が排出されるようにする。以上の条件で、カルノーサイクルの熱効率（受け取ったエネルギーに対してどれ…

気体が受け取る熱量は、閉じ込められた気体の体積が一定となる場合は気体の内部エネルギーの変化と等しくなるし、圧力が一定となる場合はエンタルピーの変化と等しくなる。では、受け取る熱量を 0 にしてしまった場合には気体はどう変化するのだろうか。この変化は外部との熱のやりとりを断つ変化ということで断熱変化と呼ばれるが、この場合の熱力学第一法則は となるのだからと書くことができる。気体の定積モル熱容量 はと書かれるのだから、 である。また、仕事 が であることから、気体の状態方程式を用いれば微小仕事はとなる。以上のことを熱力学第一法則に適用してみると、微小な変化についてと書けるようになる。これを変数分離…

熱力学第一法則から、熱容量について考えてみる。熱容量 というのは、ある熱量を受け取ったときに温度がどの程度変化するかというのを表す比例係数で、その定義はとなる。ここで、 は受け取った熱量、 は温度を表す。つまり、 の微分の形で表せばと表され、両辺を積分すればである。 は物質の構造によって異なる値を持つが、それだけでなく、温度によっても変化する。そのため、一般には積分の外に出すことはできない。今回は、いくつかの条件下での熱容量がどのように表されるかというのを考えてみたい。 熱力学第一法則は、気体が受け取る熱量を 、外に対してする仕事を 、気体の内部エネルギーの変化を とおけばと書けるのだった。ま…

下の図に示すような二重振り子の運動について考えたい。この運動を加速度と働く力からそれぞれに考えようとすると、現象が複雑すぎてとてもではないが運動方程式にたどり着けない。このとき、オイラー・ラグランジュ方程式が高い効果を発揮する。 まずはラグランジアンを考えてみよう。といっても最初から極座標で考えようとしてもうまくいかないので、デカルト座標で考えてみることにする。図のように質点1と質点2を考え、それぞれの座標を とすると、この系のラグランジアンはと書ける。これを と を使って表してみよう。各変数は、 と でと表されるから、それぞれの時間微分はというふうに表される。これをラグランジアンに代入すれば…

正準変換により、座標を取り替えて運動を議論することができるようになる。今回はこの操作を用いて、物体とともに移動する座標系を考えてみたい。新しい座標系でのハミルトニアン は、座標変換前のハミルトニアン と母関数 を用いてと表せる。これによって とすることができたら、正準方程式はとなるのだから、 と というふたつの定数で と で再度表してやれば、運動が記述できることになるのである。つまり、物体の動きそのものではなく、それに合わせた座標の動きを式的に表すことで、間接的に物体の動きを調べることができるようになる。この考え方をハミルトン-ヤコビの理論と呼ぶ。 新しいハミルトニアンが 0 になるように母関…

作用 は、ラグランジアン を用いてと表される。実は、この変分 が 0 になるようなラグランジアンにはある程度の任意性がある。これまでによく考えてきたような運動エネルギーとポテンシャルの差で表されるラグランジアンを として、というのを考えてみよう。 というのは、座標と時間を変数に持つ任意の関数である。こうすると、作用の変分はとなり、第一項は当然 0 になるし、積分の外にでた に関する項は、端点条件から なので、これもまた 0 になる。よって、このような の一階微分がラグランジアンに加えられても、結局は同じラグランジアンと言ってしまっていいのである。 今回はこのような性質を用いて、ハミルトニアンの…