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- 作者: JST CREST 日比チーム
- 出版社/メーカー: 共立出版
- 発売日: 2011/09/23
- メディア: 単行本
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- 第１章 グレブナー基底の伊呂波
- 『多項式環のイデアル論を単項式の組合せ論に帰着させる魔術』
- 1.1
- 古典的な組合せ論の結果であるDicksonの補題から、グレブナー基底、Hilbert基底定理
- 単項式・多項式
- 加算と乗算ができるので多項式環
- 多項式と多項式の間には、「割り切る」「割り切られる」という関係がある
- 多項式環の元を考える。割り切る元の「最小」のものが極小元
- 変数の数が１個のとき、極小元は１個、変数の数が複数になると、１個ではなくなる
- 極小元がどうなっているかを調べる作業は組合せ論みたいな具合になっている。順序・半順序みたいにもなっている
- 極小元の個数は有限だ、というのがDickson の補題
- 多項式という元たちの間には、
というように、「商」qと「剰余」r(これらも多項式)というような関係がある
- 「余り」が出るのは、「きれい」じゃないので、「余り」の出ない関係にある元の集まりがあると、多項式環の中で「余りがなくてきれいな精鋭」のようなものができる。これをイデアルという(らしい)
- イデアルは集合。それを「生成する」部分があって、それを「生成系」という
- 順序・半順序。したがって束としてもとらえられる
- 多項式は単項式の和。単項式に順序があるとき、この多項式を構成する単項式にも順序があって、「一番」となる単項式もある。これをイニシャル単項式と言う
- イデアルのうち、単項式の元のをイニシャルイデアルと呼ぶ(らしい…本の表現が回りくどいように思えるので、誤解しているかもしれない)
- このイニシャルイデアルの生成系がグレブナー基底
- こうしてみてきたとおり、グレブナー基底は、「閉じている『きれいな』イデアル』を生成できていて、しかも単項式」。「余りのある」ものは、「余りのない」きれいなものを工夫して、作れる(作れそう…)なので、結局「グレブナー基底」は「きれい」で「生成能力」のある、「小さいやつ」の集合、ということ(らしい)
- 1.2
- 1.3 グレブナー基底の基礎理論のハイライトであるBuchberger判定法とBuchbergerアルゴリズム
- 1.4
- 消去定理→連立方程式の解法に有益
- 1.5
- 1.6
- 1.7
- グレブナー基底の歴史
- 第２章 数学ソフトウェア受身稽古
- 第３章 グレブナー基底の計算法
-
- できたみたいだけれど、まったく面白くない…
- 少し調べると…poly_gcd()が割り算、poly_grobner_equal()がグロブナー基底かどうかの判定、のようだ…
